假期作业5 离散型随机变量及其分布列和数字特征-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假作业

三0022 二数类为 服即刻扫码 假期作业5离散型随机变量及其分布列和数字特征 AI伴学助手 答幸速查手册 口同步学习微 考点复习攻路 思维整合室 (2)方差 1.随机变量的概念 称D(X)= 为随机变 量X的方差，有时也记作：Var(X),并称 一般地，对于随机试验样本空间 √D(X)为随机变量X的标准差.记作： 随机变量 中的每个样本点w,都有 σ(X).它们都可以度量随机变量最值与其 的概念 与之对应，我们称X为 均值的偏离程度】 随机变量、 4.均值与方差的性质 离散型随 可能取值为 或可以 (1)E(aX+b)= 机变量的 的随机变量，称为离散型随 (2)D(aX+b)= 概念 机变量 【《技能提升台 2.离散型随机变量的分布列 1.抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X,那么 (1)定义：设离散型随机变量X的可能取值为 X=4表示的随机试验结果是 () x1x2,…,xn,我们称X取每一个值x:的 A.两颗都是4点 概率P(X=x,)=p,i=1,2,…,n为X的 B.两颗都是2点 概率分布列，简称分布列. C.一颗是1点，一颗是3点 (2)表示：表格 D.一颗是1点，另一颗是3点或者两颗都是 2点 X 2.今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达 P P P2 发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85， (3)性质：①p:≥0，i=1,2,…,n 设发现目标的雷达台数为，则E()= ②p1十p2十…十pn=1. 3.离散型随机变量的均值与方差 A.0.765 B.1.75 般地，若离散型随机变量X的分布列为 C.1.765 D.0.22 3.设随机变量X的分布列为 P X 1 0 1 (1)均值 1 2 3 称E(X)= = xp,为 若Y=2X+2,则DY)= 随机变量X的均值或数学期望. 它反映了随机变量取值的 A.-1 D20 9 飞受快乐假明 00= 4.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分 6.(多选)编号为1,2,3的三位学生随意入 座编号为1,2,3的三个座位，每位学生 别为pppp,且之p:=1,则下面四种 坐一个座位，设与座位编号相同的学生 情形中，对应样本的标准差最大的一组是 的人数是，则 A.的所有取值是1,2,3 A.p1=p,=0.1,p2=p3=0.4 B.P(g=1)=2 B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1 C.E()=1 D.D()=1 C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3 7.(2022·浙江高考)现有7张卡片，分别写上 D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2 数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取 5.(多选)受轿车在保修期内维修费等因素的 3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 P(=2)= ,E()= 影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首 8.盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2 次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产 个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放 甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从 回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄 球的个数为，则P(=0)= ,E() 该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50辆，统计数据如表： 9.某投资公司在2024年年初准备将1000万 品牌 甲 元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供 乙 选择： 首次出现故 0 1<x 0<x x>2 x>2 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该 障的时间x(年 1 ≤2 ≤2 项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损 轿车数量（辆） 2 3 45 5 45 15%,且这两种情况发生的概率分别为 每辆利润（万元 1.8 2.9 将频率视为概率，则 ( 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项 A.从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一 目上，到年底可能获利50%，可能损失 30%,也可能不赔不赚，且这三种情况发生 辆，其首次出现故障发生在保修期内的 的概率分别为，}和5 概率为号 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选 择一个合理的项目，并说明理由， B.若该厂生产的轿车均能售出，记生产一 辆甲品牌轿车的利润为X1,则E(X)= 2.86(万元) C.若该厂生产的轿车均能售出，记生产一 辆乙品牌轿车的利润为X,则E(X,)= 2.99(万元) D.该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相 当，由于资金限制，只能生产其中一种品 牌的轿车.若从经济效益的角度考虑，应 生产甲品牌的轿车 10 三0022 高二数学型 10.(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体 育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方 续航测试中结果为优秀的，率为号，良好的 得10分，负方得0分，没有平局.三个项目 概率为，两项测试相互独立，互不影响，该 比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已 型号新能源汽车两项测试得分之和记为 知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 (1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有 0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互 一次为合格的概率； 独立. (2)求离散型随机变量的分布列与期望 (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分 布列与期望. 《益智欢乐谷 新题快递 竹子用了4年的时 2023年12月11日至12日中央经济工作会 间，仅仅长了3cm,在第 议在北京举行，会议再次强调要提振新能源 五年开始，以每天30cm 汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车 的速度疯狂的生长，仅仅 大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某 用了六周的时间就长到了15米. 地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要 其实，在前面的四年，竹子将根在土壤里 经过多项检测，检测合格后方可销售，其中 延伸了数百平米. 关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测 做人做事亦是如此，不要担心你此时此刻 试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、 的付出得不到回报，因为这些付出都是为了 合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可 扎根 得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结 人生需要储备！多少人，没熬过那三 果为优秀的概率为}，良好的概率为？：在 厘米！三0022 8.解析：依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方 案共CA=36种，其中甲、乙参加同一项目的方案A=6 种，则所求的参赛方案一共有36一6=30种：因为甲、乙两人 不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目，则 甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有 CCA=24种方案，若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分 别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一，故总 共有AC=4种不同的方案；若甲和一人一起选择跳台滑 雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2 个项目，故共有CA=4种不同的方案；同理，乙单独选择 跳台滑雪，有AC=4种不同的方案；乙和一人共同选择跳 台滑雪，有CA号=4种不同的方案，总共有18种方案，所以 16 P(B1A)=PAB)_302 P(A) 243 30 答案：30 3 9.解：设A:在班内任选1名学生，该学生属于第一小组，B:在 班内任选1名学生，该学生是团员. ①PA)-I8-号 (2)P(B)=15-3 408 (3)P(AB)=40-10 41 1 A--变-忘 P(B) 3 8 10.解：(1)平均年龄x=(5×0.001+15×0.002+25×0.012 +35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75× 0.006+85×0.002)×10=47.9(岁). (2)设A={一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)》， 则P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002) ×10=1-0.11=0.89. (3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)}，C={任选一 人患这种疾病》，则由条件概率公式，得P(CB)= P(BC) P(B) _0.1%×0.023×10_0.001X0.28=0.0014375 16% 0.16 ≈0.0014. 即此人患这种疾病的概率为0.0014. 新题快递 1.解析：从10人中任选3人的事件个数为C。=10×9X8 3×2×1 =120, 哈有1名男生2名女生的事件个数为CC4×X=60, 则格有1名男生2名女生的燕摩为品-0,5. 答案：0.5 2.解析：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n,6n, 所以总数为15n, 所以甲盒中黑球个数为40%×5n=2n,白球个数为3： 乙盒中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3： 富二数学 丙盒中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3： 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件 A,所以P(A)=0.4×0.25×0.5=0.05: 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B, 黑球总共有2m十n十3n=6n个，白球共有9m个， 所以P(B)= 15n 答案：0.05或(0)）是（或0.6 假期作业5 思维整合室 1.2唯一的实数X(w)有限个一一列举 3.(1)x1p1十x2p2十…十xnpm平均水平 (2)(x1-E(X)2p十(x-E(X)p+…十(xn-E(XD)2p. SG-E(XY 4.aE(X)+6 a'D(X) 技能提升台 1.D[X=4表示抛掷两颗骰子，所得点数之和为4的所有结果， 可能是一颗1点，另一颗3点，也可能是两颗均为2点.] 2.B[设A、B分别为每台雷达发现飞行目标的事件，的可 能取值为0、1、2. P(=0)=P(AB)=P(A)P(B) =(1-0.9)×(1-0.85)=0.015. P(=1)=P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.9×0.15+0.1×0.85=0.22. P(e=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.9×0.85 =0.765. 所以E()=0×0.015+1×0.22+2×0.765 =1.75.] 3.D[由题意知，B0X)=-1X号+0X号+1×日 日做0-(-1+号)×号+(o+号)×号+(+号)】 x名-号m-ex+a-0x号-] 4.B[X的可能取值为1,2,3,4，四种情形的数学期望E(X) =1×p十2×p:十3×p十4×p4都为2.5，方差D(X)= [1-E(X)]2×p,+[2-E(X)]2×p2+[3-E(X)]×p十 [4-E(X)]×p,标准差为√D(X).A选项的方差D(X) =0.65;B选项的方差D(X)=1.85:C选项的方差D(X)= 1.05:D选项的方差D(X)=1.45.可知选项B的情形对应 样本的标准差最大.故选B.] 5.BD[设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事 件A,则P(A)= 2+31 5010 依题意得，X1的分布列为 P 1 3 9 25 10 快乐假期 0M= EX,)=1X+2X +3×是--2.86（万元）.X的 50 E(X1)=300×9 +(-150)×号=20（万元） 分布列为 若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为 500,-300,0.则X2的分布列为： X21.82.9 X 500 -300 0 1 1010 P 3 5 3 15 :E(X,)=500X号+(-30)×3+0X 3 1 1 BX)=1.8×0+2.9X0-=2.79(万元). =200(万元)， 因为E(X)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车.门 D(X)=(300-2002X号+(-150-2002×9 =35000, 6.BCD[ξ的所有可能取值为0,1,3，=0表示三位同学全坐 错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号 DX:)=(500-20)°×号+(-30-20)2×号+ 5 为2,3,1或3,1,2的学生， (0-20)°× =140000. 21 则P(=0)= =3:1表示三位同学只有1位同学坐 所以E(X)=E(X2),D(X1)<D(X2), 对了，则P(-1)= 这说明虽然项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一更 A=2 稳妥 =3表示三位同学全坐对了，即对号入座， 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资 则P=3)=是=合所以的分有到为 1 10.解：(1)记甲学校获得冠军为事件A, A 则P(A)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8+ (1一0.5)×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8=0.6，所以甲学校 0 获得冠军的概率是0.6. (2)X的可能取值为0,10,20,30. 则P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16, 3 2 6 P(X=10)=0.5×0.4×(1-0.8)十0.5×(1-0.4)×0.8 +(1-0.5)×0.4×0.8=0.44, B8)=0x号+1X号+3×=1. P(X=20)=0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)×(1 D()= 3×0-1+2×1-1+日×(8-10-1.] 0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)=0.34, P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06, 7.解析：P(=2)= C2C:+C2CL _16 .X的分布列为 5 0 10 20 9 专的所有可能取值为1,2,3,4. p(e1)=g=3品P(=2)=35'FP3)二C、 P 0.160.44 0.340.06 C35 X的期望值为E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+ P(=4)= 30×0.06=13 新题快递 故E9=1×品+2x+3×品+4×3-号， 解：(1)记事件A,为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得 分为i分(i=1,3,5)”, 答案：8号 则PA,)=合PA,)=3PA)=1-合-3-日 8.解析：=0表示停止取球时没有取到黄球，所以P(=0)= 记事件B,为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为i }十}×号-日随机交量的所有可能取位为01,2，则 分(i=1,3,5)”, 则PB)=名P)=号PCB)=1-号-音 记事件C为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为 2 合格”， 4 3 2 P(C)=P(A:B )+P(A:B)+P(A:B)+P(A Bs) 4 =×号+×+日×号+×号= 所以E9=0X+1X号+2×-1 则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次合格的概率 答案：号 1 9.解：若按“项目一”投资，设获利为X万元，X的所有可能 (2)由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2,4,6， 取值为300，一150.则X,的分布列为 8,10, X 300 -150 7 2 9 9 =0=×+日×号= 42 三022 高二教恐， P-6)=×日+×号+×号-品 8.解析：由题意知，X服从二项分布， P(E=8)= 1×2十3×21 2 所以PCX=)=C(传)广(1-吉) 5 、5 =3 P=10)=×号=日 =C(分)广（号）0<k≤20且eN 则离散型随机变量￡的分布列为 由不等式PX=6士1D≤1(0≤k≤19且k∈N,得20-× P(X=k) k十1 2 6 10 号≤1，解得≥6 P 3 30 10 3 所以当k≥6时，P(X=k)≥P(X=k十1)；当k6时，P(X =k+1)>P(X=k). 2 3 所以数学期望E()=2×30十4×后十6×品+8×3 +10 因为当且仅当k=6时，P(X=k十1)=P(X=k), ×1=106 所以当k=6或k=7时，P(X=k)取得最大值. 5 15 答案：6或7 假期作业6 9.解：(1)甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率P= 思维整合室 1.(1)可能结果重复(2)Cp*(1-p)”- (2-品 (2)甲班级能正确回答题目人数为X,则X的可能取值为1， X-B,p）2.(1CSCM(2mD CN 技能提升台 2.Px-- 1.B[设此射手射击四次命中次数为5，一次射击命中的概率 P(X=2)=C=1 为p,所以B(4,p). C2' 依题喜可知，P≥1D=贺所以1-P=0)=1-C1-p -=8贺所以1-p)=司所以p=子.] X0=(-)×+(-)×- 2.C[由题意可知随机变量X服从参数为N=12,M=5,= 乙班级能正确回答题目人数为Y,则Y的可能取值为0,1， 6的超几何分布. 由公式P(X=)=C5,C,马知CC表示的是X=3的取 2所以YB(,是） 值概率.门 EW=2x-8D)=2x量×4-g aB[P(X=3=C×(侵)×（侵）广-2-6] .E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),这说明虽然甲、乙两班级能 正确回答题目的期望值相等，但甲班更稳妥，所以由甲班级 4.D[“至少有一个是一等品”包含取出的3个中有1个一等 代表学校参加大赛更好 品，取出的3个中有2个一等品和取出的3个中有3个一等 10.解：(1)该同学政治原始成绩为91分，在区间[82,94]上，赋 品三种情况，其概率应为C.C+CC+C] 分区间为[86,100]， 5.CD[由XB(20,0.3),所以E(X)=20×0.3=6,所以A 故转模后的学数分为器器-”品。 错误；计算P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.72,所以B错 解得T≈97分， 误；又D(X)=20×0.3×0.7=4.2,所以C正确； (2)设等级分为95分对应的原始分为X, 计算P(X=10)=C8×0.30×0.710=C0×0.211°，所以D 正确.] 由题意得94二=1005，解得≈89.7分， x-8295-86 6.D[为学习女排精神，A,B两校排球队进行排球友谊赛，采 设等级分为97分对应的原始分为y, 取五局三胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛 中A校排球队胜B校排球队的概率为号，设各局比赛相互 由题意得4这19解释14会。 即政治的等级分不小于95分的学生有8人，政治等级分不 间没有影响，在此次比赛中，四局结束比赛包含两种情况：① 小于97分人数为3人， 前3局A两胜一负，第四局A胜；②前3局A一胜两负，第 四局A负，则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为P= 则X的取值可以为0,1,2,3， c()(号)()+c()(号)广()器J X-o》-8-a 7解折：由题可得一火活动中，甲获胜的概奉为号×-号： P(X=1)=Cg·C_15 281 则在3次活动中，甲至少拔胜2次的概率为C×(号)× P(X=2)-C:C=15 C8561 号+（号）-器 p(X-3)=老 C_1 答案：号9 则X的分布列为 43