培优02 菱形的性质与判定（13大重难题型+强化训练）数学新教材浙教版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优02菱形的性质与判定13大重难题型+强化训练 划重点·冲 高分 题型八证明四边形是菱形 题型一菱形的性质与判定理解 题型九添加一个条件 使得四边形是菱形 ®菱形的判定 题型二利用菱形的性质求角度 题型十菱形与尺规作图 题型三利用菱形的性质求线段长度 。菱形 0菱形的性质 题型四利用菱形的性质求面积 题型十一菱形的性质与判定最值问题 题型五菱形中的实际应用问题 题型十二菱形的性质与判定多结论问题 目综合 题型六平面直角坐标系中菱形问题 题型十三中点四边形中相关求解 题型七利用菱形的性质证明 题型1菱形的性质与判定理解 解题大招 很多错误命题，都是把判定定理的前提条件弄丢了。我们整理高频易错点： 常见错误表述 正确判定定理 对角线互相垂 菱 直的四边形是 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 形 菱形 矩对角线相等的 对角线相等的平行四边形是矩形 形四边形是矩形 平一组对边平 行行，另一组对 四边相等的四边 组对边平行且相等的四边形是平行四边形 边形是平行四边 形形 正对角线互相垂 方 直且相等的四 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 形 边形是正方形 1 (重庆市潼南区梓潼初级中学校等学校联考2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷)下列各命题中， 1/26 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 不是真命题的是() A,对角线互相垂直的四边形是菱形 B.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 2.(25-26九年级上·江西抚州阶段检测)下列说法中，正确的是() A.四边相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对边相等的平行四边形是矩形 3.(25-26八年级下，广东惠州·期中)下列关于☐ABCD的叙述，正确的是() A.若AB=AC,则□ABCD是菱形 B.若AB⊥BC,则□ABCD是菱形 C.若AC⊥BD,则□ABCD是矩形 D.若AC=BD,则□ABCD是矩形 4.(25-26八年级下，云南曲靖期中)矩形具有而菱形不一定具有的性质是(） A,对边相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 题型2利用菱形的性质求角度 一”二”二新二一”一”一“—一—“”一”一二”一”一”一 解题大 一、先记牢：求角必用的菱形性质 ·1.边的性质：四条边都相等→自带等腰三角形（等边对等角） 2.角的性质：对角相等，邻角互补（加起来180°） 3.对角线性质： 「①对角线互相垂直（夹角=90°） 1②对角线平分一组对角（把内角分成两个相等的角） 4通用性质：对边平行→内错角相等、同位角相等 二、通用解题四步法（逢题必套） ·1标己知：把题目给的角度、对角线夹角、边长关系全部标在图上。 12用菱形性质转化： ①邻角互补：若已知一个内角，直接用180°-己知角求邻角。 2/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 |②对角线平分内角：若己知对角线夹角，先在直角三角形里求内角的一半，再×2。 ③边相等→等腰三角形：等边对等角，把未知角和已知角联系起来。 3结合三角形内角和： 对角线互相垂直，会分出4个直角三角形，直接用180°-90°-己知角求剩下的角。 14验证：对角相等、邻角互补，检查算出来的角度是否矛盾。 1.(25-26八年级下山东聊城期中)如图，BD是菱形ABCD的对角线，作BC的垂直平分线分别交BD、 BC于点E、F,连接AE、CE,若∠ABC=48°，则∠DAE的度数为(） F A.105° B.108° C.111 D.114 2.(25-26八年级下河北雄安·期中)如图，在菱形ABCD中，过点C作CP垂直于BC,交BD于点P,若 ∠BAD=124°，则∠CPB的度数是() A.58° B.620 C.68° D.74o 3.(25-26八年级下河北石家庄·期中)如图，菱形ABCD中，连接ACBD,若∠1=20°，则∠2的度数 为() D Y2 A B A.20 B.400 C.60° D.70o 4.(25-26八年级下·重庆合川期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,点E在AB边上， 连接CE交BD于点F.若∠ODC=60,CE平分∠ACB,则∠CEA的度数为() 3/26 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.95o B.105° C.100° D.135° 题型3利用菱形的性质求线段长度 解题大招 一、 先记牢：求线段必用的菱形性质 ,1.边的性质：四条边都相等菱形ABCD中，AB=BC-CD=DA,这是构造等腰/等边三角形的关键。 !2.对角线性质（核心）》 「①对角线互相垂直：AC⊥BD,把菱形分成4个全等的直角三角形 I②对角线互相平分：OA=OC=AC,OB=OD=BD 3通用性质：对边平行，邻角互补，对角线平分内角（辅助求角度，再求边长） 1.(2026年贵州遵义市新蒲新区九年级下学期第二次适应性考试数学)如图，菱形ABCD的两条对角线 交于点0，若AB=5,A0=3,则BD的长为() D A.4 B.8 c.22 D.V34 2.(25-26八年级下江苏南京期中)如图，菱形ABCD的边长是5，对角线AC的长是8，DE⊥AB,垂 足为E,则DE的长为() D A E B A.3 B.4 C.4.8 D.9.6 3.(25-26八年级下广西玉林期中)如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O,DH⊥AB于H,连接OH, 4/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC=16,AB=10,则0H=() 0 A.8 B.6 C.5 D.4 4.(25-26八年级下.重庆期中)四边形ABCD是菱形，对角线AC=16,BD=12,DH⊥AB于点H, 则DH的长为() A.4y5 B. c.号2 D.号 题型4利用菱形的性质求面积 解题 大招 菱形面积两个核心公式（必须背熟） 设菱形边长为a,对角线AC=m,BD=n,一个内角为a 「①公式1：（最常用）对角线法 S菱形=克×对角线×对角线2 S=青AC·BD ②公式2：（底高法）和平行四边形一样 S=底×高 ③公式3：（知边长+内角） S=a2.sina 初中重点用前两个。 1。一。一一。一。一。一。一一一一一。一一。一。一一一一一 1.(25-26八年级下：福建福州·期中)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E、F分别是 AB,BC的中点，连接EF,若EF=2,BD=6,则菱形ABCD的面积为(） 5/26 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C A.12 B.24 C.25 D.4y13 2.(2026辽宁沈阳.一模)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交于 点E,F.若AC=8,BD=4,则△BOE与△C0F的面积之和为() B A.1 B.2 C.4 D.43 3.(2026·陕西渭南模拟预测)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点E在AB边上，连 接OE,∠OAE=∠OEA.若0E=3,OB=4,则菱形ABCD的面积为() E B D A.20 B.24 C.36 D.48 4.(25-26八年级下江苏常州期中)如图，菱形ABCD中，点E、F分别是AD,CD的中点，连接BE、 BF、EF,则△BEF与菱形ABCD的面积之比是() D A.月 B. C. D. 6/26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型5菱形中的实际应用问题 解题大 一、 题型特点 ·生活实物抽象成菱形： 伸缩衣架、菱形地砖、菱形窗户、风筝、菱形铁丝网、可伸缩门等。 解题本质：把实际图形→转化为数学菱形，再用菱形性质求边长、对角线、角度、周长、面积。 1二、 用到的菱形核心性质 |1.四条边相等 2.对角线互相垂直平分 :3.对角线平分内角 !4面积：S=号×两条对角线乘积 I三、 解题通用四步法（应用题直接套） :1.建模：把实际物体画出菱形示意图 2标已知：把题目给的长度、距离、角度标在图上 3用性质+勾股：求边长、另一对角线、高 4.套公式：求周长、面积、用料长度 1.(25-26八年级下.福建福州·期中)如图，菱形花坛ABCD沿着对角线修建了两条小路AC和BD,若花 坛的面积为24m2,小路AC的长为6m,则小路BD的长为() A.6m B.8m C.12m D.24m 2.（25-26八年级下山东菏泽期中)风筝作为传统文化载体之一，是人们寄托情感、表达愿望等的一种方 式，凝聚着人们的美好祝福和吉祥期盼.四月，风和日丽，阳光朗润，正是放风筝的好时节.某数学兴趣 小组制作了一只菱形形状的风筝，如图，在菱形ABCD中，AB=50cm,AC=60cm,则菱形ABCD的 面积等于() 7/26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.4800cm2B.3000cm2 C.2400cm2 D.1500cm2 3.(2026广东深圳·二模)如图，城市道路上的“人行横道预告标线“为白色菱形图案.根据国家标准《道路 交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度AC为1.5m,纵向长度BD为3m,则菱形ABCD的 边长是() B A.35 m B.6 c. 35 m m D.3v5m 4.(25-26八年级下广西玉林期中)中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人 们对美好生活的祈盼.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,且AB=5,AC=6,则菱 形ABCD的高AE为() A.号 B.9 C.4 D.3 题型6平面直角坐标系中菱形狗题 解题 1必备公式 1中点公式：A(xy1),B(x3y2),则中点坐标为 () ·2.距离公式（求边长） AB= (x2-x)+(y2-y 8/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 |3.斜率垂直： k1k2=-1 1.(重庆市潼南区梓潼初级中学校等学校联考2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷)如图在平面直 角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(-6,0)，(4,0)，点D在y轴上，则点C的坐 标是() C A.(6,8) B.(10,8) c.(10,6) D.(4,6) 2.(25-26八年级下.黑龙江哈尔滨期中)如图，四边形ABCD是菱形，C,D两点的坐标分别是(5,0)， (0,2),点A,B在坐标轴上.那么点A的坐标为( y D B A.(0,5) B.(-5,0 c.(2,0) D.(0,-2 3.(25-26八年级下·陕西渭南·期中)己知菱形ABC0在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点C的 坐标是(3,4)，则顶点B的坐标是 A 4.(25-26八年级下，福建厦门期中)如图，在平面直角坐标系中，A(0,-3),B(4,0),菱形ABCD的 边AD在y轴上，则点D的坐标是· 9/26 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 题型7利用菱形的性质证明 解题大招 、先背：菱形可直接用的5条性质（证明直接写）己知四边形是菱形，可直接得出： I1.四条边都相等：AB=BC-CD=DA 12.对边平行 3对角相等，邻角互补 !4.对角线互相垂直 ·5.对角线平分一组内角 二、证明常考4类结论解题套路 11.证线段相等 |思路： 1①用菱形四边相等、对边相等；②对角线平分得线段相等；③先证三角形全等→对应边相等 2.证角相等/证角平分 ！思路 ··①菱形对角线平分内角；②对边平行→内错角相等；③等边对等角、全等三角形对应角相等 3.证线段垂直 思路： 直接用：菱形的对角线互相垂直，一步得垂直。4.证等腰三角形、等边三角形 1思路 ①菱形四边相等，任取两边就是等腰△；②有一个内角60°一必出等边三角形 1.(2026陕西西安三模)如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在AD,CD边上，∠ABF=∠CBE,求 证：BE=BF. 10/26 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 2.(25-26八年级下江苏无锡期中)如图，菱形ABCD中，AB=AC,点E、F分别为边AB、BC上的点， 且AE=BF,连接CE、AF交于点H,连接DH交AC于点O. A D B (1)求证：△ABF兰△CAE: (2)HD平分∠AHC吗？为什么？ 3.(25-26八年级下·湖北黄冈期中)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DEAC且 2DE=AC,连接AE交OD于点F,连接OE B (1)求证：AF=EF; (2)已知AB=2,若AB=2DE,求AE的长. 4.(25-26八年级下.重庆期中)如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CEBD,EBAC,连接 OE,交BC于F. (1)求证：OE=CB: (2)如果0C:0B=1:3,OE=4V5,求菱形ABCD的面积. 题型8证明四边形是菱形 11/26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 w 解题大招 三条解题路径（看题目给什么条件就用哪条） !路径一：先证平行四边形→再证一组邻边相等 1适用：给边平行、边相等、对角线互相平分 「步骤： I①先证是平行四边形：②再证有一组邻边相等；③结论：是菱形 |路径二：直接证四条边都相等 适用：容易求出四条边长都相等，不用证平行四边形 步骤： I1.证AB=BC-CD=DA 2.直接判定：四边形是菱形 !路径三：先证平行四边形一再证对角线互相垂直适用：题目给对角线垂直相关条件 丨步骤： |1先证是平行四边形 12.再证对角线互相垂直 !3结论：是菱形 1.(25-26八年级下.湖南常德期中)如图，平行四边形ABCD中，AE,CF分别是∠BAD、∠BCD的平分 线，且E、F分别在边BC,AD上，AE=AF, D (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若∠ABC=60°，AB=4,求平行线AB与DC间的距离. 2.(25-26八年级下.江苏盐城期中)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DB平分 ∠ADC,AEI‖BD,DEI AC. (1)求证：四边形ABCD是菱形： 12/26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若BC=10,求0E的长， 3.(25-26八年级下江苏泰州期中)如图，把一张矩形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合， D' A B (1)连接CE,求证：四边形AECF是菱形： (2)若BC为9，AB为3，求EF的长. 4.(25-26八年级下山东菏泽.期中)如图，在△ABC中，分别以AB,BC,AC为边作等边三角形ABD ,等边三角形BCF,等边三角形ACE,连接DE,EF. D (1)求证：四边形BFED是平行四边形； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形BFED是菱形？ 题型9添动加一个条件使得四边形是菱形 解题大招 」分两种情况：前提不一样，加的条件不一样 情况一：已知已经是平行四边形 只需要加任意一个就行： ·1.一组邻边相等 ,2对角线互相垂直 !情况二：已知是普通任意四边形只可以加： 丨四条边都相等 1.(25-26八年级下江苏南京期中)如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD应满足的条件是· 13/26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A E B 2.(25-26八年级下.宁夏吴忠期中)如图，E、F,G、H分别为四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点， 当四边形ABCD满足条件 时，四边形EFGH是菱形；当四边形ABCD满足条件 时，四 边形EFGH是矩形.（请填上你认为正确的一个条件即可） D G H B E 3.(2026江苏无锡.一模)如图，在口ABCD中，AC与BD相交于点O,请添加一个条件，使四边形 ABCD是菱形.添加的条件是·（写出符合题意的一个条件即可） B 4.(25-26八年级下.四川广安期中)如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是线段AD、BC的中点，G、 H分别是线段BD、AC的中点，当四边形ABCD的边满足时，四边形EGFH是菱形. D 题型10菱形的性质与判定与尺规作图 解题大招 :菱形3种标准尺规作图方法（步骤可直接写考试） 方法一：利用「四边相等」作菱形 I己知：边长a 丨步骤： 14/26 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 |1.作线段AB=a |2.分别以A、B为圆心，a为半径画弧，交于点D、C 3连接AD、DC、CB四边形ABCD即为菱形。 !方法二：利用「平行四边形+邻边相等」作菱形 ·己知：一边和一个内角 11.作∠A等于己知角 I2.在角两边截取AB=AD=定长 「3.分别以B、D为圆心，AB长为半径画弧交于C |4连BC、DC即成菱形。 方法三：利用「对角线」作菱形（最常考）已知两条对角线长 !1.作线段AC=长对角线 ·2.作AC的垂直平分线 3.以中点O为圆心，半短对角线长为半径，在垂直平分线上截得B、D4.顺次连接A、B、C、D !原理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 1.(25-26九年级下，北京·月考)如图，∠M0N=,以点0为圆心，任意长为半径画弧，交射线0M于 点A,交射线ON于点B,分别以A,B为圆心，OA长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C,连接AC ,BC,则∠OCB的度数为() A.专c B.a C.2 D.180°- 2.(25-26九年级上，内蒙古包头期末)按如下步骤作四边形ABCD:①画∠MAN;②以点A为圆心，1 个单位长为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D;③分别以点B,D为圆心，1个单位长为半径画弧，两 弧交于点C;④连接BC,CD,BD.若∠A=44°，则∠CBD的大小是() M B DN A.640 B.66° C.680 D.70o 15/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(25-26九年级上四川期中)如图，按如下步骤作四边形ABCD:①画∠MAN;②以点A为圆心，1 个单位长为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D;③分别以点B,D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧 交于点C:④连接BC,CD,BD.若∠A=38°，则∠CBD的大小是() M B D N A.520 B.142° C.680 D.71° 4. (25-26九年级上·广东佛山·月考)在下列方案中，能够得到0C是∠A0B的平分线的是() 方案： 方案： A B 取 D B 取OA=OB,以 OA=OB,以A,B为顶点作平行 A,B为顶点作矩形ADBE,连接AB,DE交 四边形OACB,连接0C。 于点C,连接0C. A.方案1可行，方案I不可行 B.方案、川都可行 C.方案1不可行，方案Ⅱ可行 D.方案1、I都不可行 题型11菱形的性质与判定最值问题 解 题大招 三大必考最值模型+解题套路 模型1：菱形边上动点→线段最小值 1题型：P是菱形边上一动点，求AP最小值 1方法： 11.定点A,动点P在直线边上运动 ·2.过A作这条边的垂线段 3.垂线段长就是最小值 16/26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 |4.用菱形高、内角、勾股直接计算 结论：菱形边上点到定点最短=垂线段（菱形的高) 模型2：将军饮马型最值（两线段和最小PA+PB) !题型：P在菱形某一边上，求PA+PB最小值 1套路： 1.作其中一点关于菱形边的对称点 「2.连接对称点与另一个定点，线段长就是最小值 「3利用菱形边长、角度，勾股求长度 |本质：翻折化折为直，用“两点之间线段最短” 模型3：菱形内动点构成图形周长面积最值 :1)周长最值 ·利用菱形四边相等、对边平行 把周长转化为两条定线段和 再用垂线段/将军饮马找最小 12)面积最值 底固定一高最大最小时，面积最大/最小 菱形内三角形，高受菱形边长、角度限制 有60°/120°优先用等边三角形求高 -一。一一一一。一一一一一一一一。一。一一一一 1.(25-26八年级下.甘肃平凉期中)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点0，点P为AB边上一 动点（不与点A,B重合），PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,若AC=8,BD=6,则EF的最小值为 () D A.3 B.2 c.号 D. 2.(25-26九年级下.黑龙江鸡西·期中)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4,点E、F分别为边 BC、CD上的动点，且始终保持∠EAF=60°.连接AEAF、EF,点P为EF的中点，连接AP,则线段 AP长度的最小值为() 17/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.1 B.5 C.2 D.3 3.(25-26八年级下广东东莞期中)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B均在x轴上， 点D在y轴上，点C在第一象限，己知点A坐标为(-3,0)，点D坐标为(0,4)，点P是直线BD上一动点， 则AP+OP的最小值为() A.45 B.5V2 c.V41 D.5 4.(25-26八年级下.重庆期中)如图，菱形ABCD的边长为2V5,∠A=120°，点E和点P分别为边 BC和对角线BD上的动点，当PC+PE的取值最小时，△PEC的周长为() A.3 B.4 c.2W3+1 D.3+V5 题型12菱形的性质与判定多结论问题 解题大 高频易错陷阱 11.菱形对角线垂直但不相等（不是正方形） 2看到像相等的线段、角度，必须推理论证，不能目测 18/26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 |3.对角线平分内角，不要当成对角线等于内角 4.有60°不一定所有三角形都是等边，要看边是否相等 1.(25-26八年级下.广西玉林.期中)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,BD平分∠ADC 交BC于点B,点E是AD上一点，且∠ADC=60°，AE=AD,连接OE,下列结论：①∠C0D=90 ；②S-ABcD=支AB·AC;③OB=0D;④0E=BC,成立的个数有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(25-26八年级下.北京海淀期中)图1是有一个内角为60°的平行四边形透明纸片，它的邻边的长分别 为2m,2n(m<n),沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放在同一平面内.给 出下面四个结论，所有正确结论的序号是() ①△ABG是等边三角形： ②四边形GTSH为菱形； ③六边形ABCD EFI的周长是8n+4m: ④存在m,n,使四边形GTSH的面积与△ABG的面积之比为12 2m 60° 2n 图1 图2 A.①② B.②④ C.①③ D.①②④ 3.(25-26八年级下.北京·课后作业)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O,E为 CD延长线上一点，且CD=DE,连接BE,分别交AC,AD于点F、G,连接OG、AB,则下列结论： ①0G=专AB; ②四边形ABDE是菱形； ③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等. 其中正确的有() 19/26 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D E A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.(21-22八年级下山东济南期中)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E,F分别是AB,AD的中点， DE,BF相交于点G,连接BD,CG,有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG;③ △BDF兰△CGB:@SA4BD-号AB2其中正统的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型13中点四边形中*相关求解 解题大招 ]原四边形→中点四边形形状对照表 原四边形特征 中点四边形形状 任意四边形 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线互相垂直 矩形 对角线相等且垂直 正方形 1.(25-26八年级下.湖北武汉·月考)如图，长方形ABCD中，AD=8,AB=6,顺次连接各边中点，得 到四边形A1B1C1D1,顺次连接A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2,以此类推，则A11B11=() 20/26 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D A B2 61 C B B A.最 B.高 c.是 D.寻 2.(24-25八年级下广西南宁月考)如图，己知矩形ABCD的邻边长分别为a、b,进行如下操作：第一 次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1;第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的 中点，得到四边形A2B2C2D2…则第2025次操作后，得到四边形A202sB2025C202sD2025的面积是（) D A器 B.融 c ab D.20 3.(25-26八年级下山东德州期中)如图，点E,F,G,H分别是四边形ABCD的各边中点，顺次连接E 、F、G、H,当()时，四边形EFGH是菱形 B A.AD=BC B.AC⊥BD C.AC=BD D.AC=BD且AC⊥BD 4.(2026·安徽阜阳·二模)如图，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是各边的中点，甲说：若四边形 ABCD是矩形，则四边形EFGH是菱形；乙说：若四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD是矩形.下列判 断正确的是() A.甲、乙都正确 B.甲正确，乙错误 C.甲错误，乙正确 D.甲、乙都错误 21/26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26九年级上贵州贵阳阶段检测)如图，点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四条边AB,BC, CD,DA的中点，若AC+BD=3,则四边形EFGH的周长为() A.2 B.3 C.4 D.4.5 强化训练 2026 一、单选题 1.(25-26八年级下河南许昌·期中)矩形具有而菱形不具有的性质是() A.对角线互相垂直 B.四条边都相等 C.两组对边分别平行 D.对角线相等 2.(25-26八年级下·广东东莞期中)已知四边形ABCD是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱 形.在下列所给的条件中，不能添加的条件是() A.AB=BCB.AC⊥BD C.AC平分∠BAD D.AC=BD 3.(25-26八年级下广西玉林.期中)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点0， AC=4cm,BD=6cm,则这个菱形的周长是() A B D A.4v13cm B.813cm C.85cm D.4v5cm 4.(25-26八年级下山东淄博.期中)如图，若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0)，(-2,0)， 点D在y轴上，则点C的坐标是() 22/26 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B O A.(-5,5) B.(-5,4) c.(-4,5) D.(-4,4) 5,(2026湖北宜昌.一模)如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C 时停止.设点P的运动路程为x,PO的长为V,y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC的中点时， P0的长为() 4 图1 图2 A. B.2 c.号 D. 6.(25-26八年级下江苏宿迁·期中)如图，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按 ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2026米停下，则这个微型机器人所停的点是() G A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 7.(25-26八年级下江西赣州期中)如图所示，把一张矩形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，若 得到一个钝角为120·的菱形，则剪口与第二次折痕所成角的度数应为() A.30°或50°B.40°或50° C.30°或60° D.40°或60° 8.(2026辽宁大连.二模)如图，在菱形ABCD中，连接BD.若BD=24,AD=15,以点C为圆心， CB长为半径作弧，交AB边于另一点F,再分别以B,F为圆心，大于专BF的长为半径作弧，两弧相交于 点P,连接CP交AB边于点E,则CE的长为() 23/26 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.兽 B.号 c.65 D.12 二、填空题 9.(25-26八年级下江苏盐城期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，若AC=6, BD=4,则菱形ABCD的面积为 10.(25-26八年级下·广东珠海期中)顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做四边形的中 点四边形，矩形的中点四边形是 11.(25-26八年级下·河北保定·期中)如图，在四边形ABCD中，ADBC, ∠B=90°，AD=24cm,BC=26cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；同时点Q从点 C出发，以3C/S的速度向点B运动.规定：其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设 运动时间为t,若在点P,Q的运动过程中，四边形PDCQ可以构成菱形，则AB的长为cm. 12.(25-26八年级下江苏宿迁期中)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,E是边 BC上一点（不与B,C重合），过点E作EF⊥AC于点F,EG⊥BD于点G,若AC=16,BD=12,设 FG的长为x,则x的取值范围是一 D B 24/26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 13.(25-26八年级下.云南昆明期中)如图，在四边形ABCD中，AB‖ICD,AD‖BC,点E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点，且四边形EFGH是菱形. A H D G B (1)求证：四边形ABCD是矩形： (2)若菱形EFGH的面积为120，四边形ABCD的周长为52，求EF的长. 14.(25-26八年级下·吉林长春期中)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称 为格点，每个小正方形的边长为1，点A、B均在格点上. A A B B 图① 图② 图③ (1)在图①中，以AB为边画一个四边形ABCD,使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且点C、D在格 点上； (2)在图②中，以AB为边画一个□ABEF,使其面积为10，且点E、F在格点上； (3)在图③中，以AB为边画一个菱形ABGH,使点G、H在格点上，且AG≠BH. 15.(2026黑龙江哈尔滨.一模)在△ABC中，AB=AC,点M在BA的延长线上，点N在BC的延长线上， AD平分∠CAM,CDIAB 图1 图2 (1)如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形： 25/26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，当∠ABC=60°时，连接BD,交AC于点O,过点D作DE⊥BD,交BN于点E,在不添加任 何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形 26/26 培优02菱形的性质与判定13大重难题型+强化训练 题型1菱形的性质与判定理解 很多错误命题，都是把判定定理的前提条件弄丢了。我们整理高频易错点： 图形 常见错误表述 正确判定定理 菱形 对角线互相垂直的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 矩形 对角线相等的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 平行四边形 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 正方形 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 1．（重庆市潼南区梓潼初级中学校等学校联考2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷）下列各命题中，不是真命题的是（     ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，能够熟练掌握相关判定是解题的关键． 【详解】解：A.对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直无法判定四边形是菱形，则该选项为假命题，故符合题意； B.一组对边平行，可得同旁内角互补，结合一组对角相等，可推出另一组对角也相等，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，则该选项为真命题，故不符合题意； C.根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则该选项为真命题，故不符合题意； D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，所以对角线相等且互相平分的四边形是矩形，则该选项为真命题，故不符合题意． 2．（25-26九年级上·江西抚州·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A．四边相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对边相等的平行四边形是矩形 【答案】C 【分析】根据菱形、矩形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故A错误． B选项，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故B错误． C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合矩形的判定定理，故C正确． D选项，对边相等是所有平行四边形都具有的性质，无法判定该平行四边形是矩形，故D错误． 3．（25-26八年级下·广东惠州·期中）下列关于的叙述，正确的是（    ） A．若，则是菱形 B．若，则是菱形 C．若，则是矩形 D．若，则是矩形 【答案】D 【分析】由矩形和菱形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， A：若，无法推出平行四边形邻边相等，不满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，故A错误； B：若，可得，由有一个内角是直角的平行四边形是矩形，判定是矩形，但不一定是菱形，故B错误； C：若，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定是菱形，但不一定是矩形，故C错误； D：若，由对角线相等的平行四边形是矩形，判定是矩形，故D正确． 4．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查矩形与菱形的性质，掌握两种图形性质的区别是解题关键，对比两个图形的性质逐一判断选项即可解答． 【详解】解：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，平行四边形对边相等，对角线互相平分， 选项对边相等、选项对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，不符合题意； 矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，仅特殊菱形即正方形对角线相等， 选项对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质，符合题意； 菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直， 选项对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质，不符合题意． 题型2利用菱形的性质求角度 一、先记牢：求角必用的菱形性质 1.边的性质：四条边都相等→自带等腰三角形(等边对等角) 2.角的性质：对角相等，邻角互补(加起来180°) 3.对角线性质： ①对角线互相垂直(夹角=90°) ②对角线平分一组对角(把内角分成两个相等的角) 4.通用性质：对边平行→内错角相等、同位角相等 二、通用解题四步法(逢题必套) 1.标已知：把题目给的角度、对角线夹角、边长关系全部标在图上。 2.用菱形性质转化： ①邻角互补：若已知一个内角，直接用180°-已知角求邻角。 ②对角线平分内角：若已知对角线夹角，先在直角三角形里求内角的一半，再×2。 ③边相等→等腰三角形：等边对等角，把未知角和已知角联系起来。 3.结合三角形内角和： 对角线互相垂直，会分出4个直角三角形，直接用180°-90°-已知角求剩下的角。 4.验证：对角相等、邻角互补，检查算出来的角度是否矛盾。 1．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得，，，证明并结合线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴． 4．（25-26八年级下·重庆合川·期中）如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，则，再由平行线的性质求出的度数，由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 题型3利用菱形的性质求线段长度 一、先记牢：求线段必用的菱形性质 1.边的性质：四条边都相等菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA,这是构造等腰/等边三角形的关键。 2.对角线性质(核心): ①对角线互相垂直：AC⊥BD,把菱形分成4个全等的直角三角形 ②对角线互相平分：OA=OC=AC,OB=OD=BD 3.通用性质：对边平行，邻角互补，对角线平分内角(辅助求角度，再求边长) 1．（2026年贵州遵义市新蒲新区九年级下学期第二次适应性考试数学）如图，菱形的两条对角线交于点，若，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得到，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的两条对角线交于点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ ． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，菱形的边长是5，对角线的长是8，，垂足为E，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．9.6 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求出另一条对角线的长，再利用菱形面积的两种计算方法（底乘高和对角线乘积的一半）建立等式求解． 【详解】解：连接与交于点， 四边形是菱形， ，，， ∴在中， ， ， ，， ， ． 3．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，在菱形中，交于，于，连接，，，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，且， ∴，，，即点是的中点， ∵， ∴， 又∵， ∴在中，． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）四边形是菱形，对角线，，于点H，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理，得，利用菱形面积的两种表示法建立等式求解即可． 【详解】解：因为四边形是菱形，对角线，， ，，， ， ， ， ， 解得． 题型4利用菱形的性质求面积 菱形面积两个核心公式(必须背熟) 设菱形边长为a,对角线，一个内角为α ①公式1：(最常用)对角线法 ②公式2：(底高法)和平行四边形一样 ③公式3：(知边长+内角) 初中重点用前两个。 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．25 D． 【答案】A 【分析】根据中位线定理，得，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵E、F分别是的中点，， ∴， ∴菱形的对角线相交于点O，， ∴菱形的面积为， 2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解． 【详解】解：∵菱形，，， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 3．（2026·陕西渭南·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、交于点O，点E在边上，连接，．若，，则菱形的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】根据等角对等边得出，结合菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线、的长，利用菱形面积公式求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ，， 菱形的面积． 4．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据菱形的性质可得，再由点、分别是，的中点，可得，，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点、分别是，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴与菱形的面积之比是． 题型5菱形中的实际应用问题 一、题型特点 生活实物抽象成菱形： 伸缩衣架、菱形地砖、菱形窗户、风筝、菱形铁丝网、可伸缩门等。 解题本质：把实际图形→转化为数学菱形，再用菱形性质求边长、对角线、角度、周长、面积。 二、用到的菱形核心性质 1.四条边相等 2.对角线互相垂直平分 3.对角线平分内角 4.面积：两条对角线乘积 三、解题通用四步法(应用题直接套) 1.建模：把实际物体画出菱形示意图 2.标已知：把题目给的长度、距离、角度标在图上 3.用性质+勾股：求边长、另一对角线、高 4.套公式：求周长、面积、用料长度 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，菱形花坛沿着对角线修建了两条小路和，若花坛的面积为，小路的长为，则小路的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：设交于，   ， 在菱形中，，且相互平分， ， ∴． 2．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）风筝作为传统文化载体之一，是人们寄托情感、表达愿望等的一种方式，凝聚着人们的美好祝福和吉祥期盼．四月，风和日丽，阳光朗润，正是放风筝的好时节．某数学兴趣小组制作了一只菱形形状的风筝，如图，在菱形中，，则菱形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出的长，得出另一条对角线的长，再利用菱形面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：设 与 交于点 ， 四边形 是菱形， ， ， ， 在 中， 由勾股定理得： ， ， ． 3．（2026·广东深圳·二模）如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案．根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度为，纵向长度为，则菱形的边长是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接、交于， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， 4．（25-26八年级下·广西玉林·期中）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】由菱形的性质推出，， ，由勾股定理求出的长，由列式计算可得的长． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，， ， ， ，即， ． 题型6平面直角坐标系中菱形问题 必备公式 1.中点公式：，则中点坐标为 2.距离公式(求边长) 3.斜率垂直： 1．（重庆市潼南区梓潼初级中学校等学校联考2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷）如图在平面直角坐标系中，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理，能够将平面直角坐标系中点的特点与菱形的性质相结合是解题的关键． 根据题意可知，，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵，的坐标分别为，， ∴， 四边形为菱形， ，, 在中，， 则点的坐标为． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形是菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上．那么点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质以及坐标与图形的性质，根据菱形的对角线互相平分，结合点在坐标轴上的位置，可得点与点关于原点对称，进而求解． 【详解】解：四边形是菱形，且点、、、均在坐标轴上 对角线、互相垂直平分，交点为坐标原点 点与点关于原点对称 点的坐标为 点的坐标为 3．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】延长交轴于，根据菱形的性质求解即可 【详解】解：延长交轴于， 四边形是菱形， 轴， ， ，， 点的纵坐标为， 在中，， ， ， 点的横坐标为， ． 4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，菱形的边在轴上，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据点、的坐标可得、的长，在中利用勾股定理求出的长，由菱形的性质可得，结合点的坐标及图形中点的位置即可求解． 【详解】解：，， ，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是菱形， ， 边在轴上，且由图可知点在点的上方， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 题型7利用菱形的性质证明 一、先背：菱形可直接用的5条性质(证明直接写)已知四边形是菱形，可直接得出： 1.四条边都相等：AB=BC=CD=DA 2.对边平行 3.对角相等，邻角互补 4.对角线互相垂直 5.对角线平分一组内角 二、证明常考4类结论解题套路 1.证线段相等 思路： ①用菱形四边相等、对边相等；②对角线平分得线段相等；③先证三角形全等→对应边相等 2.证角相等/证角平分 思路 ·①菱形对角线平分内角；②对边平行→内错角相等；③等边对等角、全等三角形对应角相等 3.证线段垂直 思路： 直接用：菱形的对角线互相垂直，一步得垂直。4.证等腰三角形、等边三角形 思路 ①菱形四边相等，任取两边就是等腰△；②有一个内角60°→必出等边三角形 1．（2026·陕西西安·三模）如图，在菱形中，点E，F分别在，边上，，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】利用角度和差关系得出，再利用菱形的性质得出，，证明，得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点． (1)求证： ； (2)平分吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)平分．理由见解析 【分析】（1）根据菱形的性质，邻边相等，结合条件，得到等边三角形，根据等边三角形性质，每个角都是，再结合夹着的两组对边分别相等，利用判定三角形全等； （2）过点作于点，作交的延长线于点，根据三角形内角和，求出，根据四边形内角和，求出，再根据邻补角互补得一组相等角，利用判定三角形全等，根据全等三角形性质得，最后根据角平分线的判定定理证明结论． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中，， ． （2）答：平分． 理由如下：过点作于点，作交的延长线于点， 四边形为菱形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 平分． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、三角形内角和、四边形内角和、邻补角互补、角平分线的判定定理．解决本题的关键的辅助线的构造和全等三角形的判定． 3．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接交于点，连接 (1)求证：； (2)已知，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质得到，则可证明，进而证明四边形为平行四边形，则； （2）连接，证明四边形为平行四边形，进而证明为矩形则；证明为等边三角形，得到，则，利用勾股定理得到，则，据此可得． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ， ，即， ； 又， ∴四边形为平行四边形， ； （2）解：如图所示，连接， 四边形为菱形， ，， ，即， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， ∵， 为矩形， ； ∵， 为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， 在中，由勾股定理得． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明四边形是矩形即可求证； （）由（）可得，设，，利用勾股定理可得，即得，，得到，，再根据菱形的面积公式计算即可求解； 本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴可设，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴，， ∴，， ∴． 题型8证明四边形是菱形 三条解题路径（看题目给什么条件就用哪条） 路径一：先证平行四边形→再证一组邻边相等 适用：给边平行、边相等、对角线互相平分 步骤： ①先证是平行四边形；②再证有一组邻边相等；③结论：是菱形 路径二：直接证四条边都相等 适用：容易求出四条边长都相等，不用证平行四边形 步骤： 1.证AB=BC=CD=DA 2.直接判定：四边形是菱形 路径三：先证平行四边形→再证对角线互相垂直适用：题目给对角线垂直相关条件 步骤： 1.先证是平行四边形 2.再证对角线互相垂直 3.结论：是菱形 1．（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，平行四边形中，分别是、的平分线，且E、F分别在边上，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求平行线与间的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，再根据等角对等边得，即可得，，然后根据可得，接下来说明四边形是平行四边形，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案； （2）连接，先说明是等边三角形，再根据菱形的性质可得．，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得， 所以平行线与之间的距离是． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，根据平行四边形的性质可得，推出，得到，进而得，即可得证； （2）根据菱形的性质可得，证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ． 四边形是平行四边形， ∴， ． ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ， ． ∵，， 四边形是平行四边形． 四边形是矩形． ． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，把一张矩形纸片折叠起来，使其对角顶点A、C重合， (1)连接，求证：四边形是菱形； (2)若为9，为3，求EF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据矩形的性质，折叠的性质，推出，即可得证； （2）勾股定理求出的长，再根据菱形的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）证明：连接， ∵矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，四边形为菱形； ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，分别以，，为边作等边三角形，等边三角形，等边三角形，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形 【分析】（1）证明，，得到，即可得证； （2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到当时，四边形是菱形． 【详解】（1）证明：、、都是等边三角形， ，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， 、是等边三角形， ，， 又， ， 平行四边形是菱形. 题型9添加一个条件使得四边形是菱形 分两种情况：前提不一样，加的条件不一样 情况一：已知已经是平行四边形 只需要加任意一个就行： 1.一组邻边相等 2.对角线互相垂直 情况二：已知是普通任意四边形只可以加： 四条边都相等 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形应满足的条件是______． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质和判定，中位线定理，利用三角形中位线定理证得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理，由邻边相等推导出原四边形对角线的关系即可． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵，分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ 当时 ∴ ∴平行四边形是菱形． ∴当时,四边形是菱形． 2．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，分别为四边形各边的中点，当四边形满足条件_________时，四边形是菱形；当四边形满足条件________时，四边形是矩形．（请填上你认为正确的一个条件即可） 【答案】 【分析】连接，利用三角形的中位线定理，先证明四边形为平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形为菱形，有一个角是直角的平行四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵分别为四边形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ∵， ∴当时，四边形为菱形， 当，即时，四边形为矩形， ∵， ∴当时，四边形为矩形． 3．（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是_____．（写出符合题意的一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进行解答． 【详解】解：由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可添加（或或或）； 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可添加． 4．（25-26八年级下·四川广安·期中）如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 【答案】 【分析】本题可根据菱形的定义来求解．、分别是，的中点，那么就是三角形的中位线，同理，是三角形的中位线，因此、同时平行且等于，因此，，因此四边形是平行四边形，、是，的中点，那么，要想证明是菱形，那么就需证明，那么就需要、满足的条件． 【详解】解：当时，四边形是菱形．理由如下： 点，分别是，的中点， ，同理， ， ∵， 四边形是平行四边形． ，又可同理证得， ， ， 四边形是菱形． 故当四边形的边满足，四边形是菱形． 题型10菱形的性质与判定与尺规作图 菱形3种标准尺规作图方法(步骤可直接写考试) 方法一：利用「四边相等」作菱形 已知：边长a 步骤： 1.作线段AB=a 2.分别以A、B为圆心，a为半径画弧，交于点D、C 3.连接AD、DC、CB四边形ABCD即为菱形。 方法二：利用「平行四边形+邻边相等」作菱形 已知：一边和一个内角 1.作∠A等于已知角 2.在角两边截取AB=AD=定长 3.分别以B、D为圆心，AB长为半径画弧交于C 4.连BC、DC即成菱形。 方法三：利用「对角线」作菱形(最常考)已知两条对角线长 1.作线段AC=长对角线 2.作AC的垂直平分线 3.以中点O为圆心，半短对角线长为半径，在垂直平分线上截得B、D4.顺次连接A、B、C、D 原理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 1．（25-26九年级下·北京·月考）如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图过程可证四边形是菱形，再根据菱形的对角相等且对角线平分对角即可解答． 【详解】解：∵以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点， ∴， ∵分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，即选项A符合题意． 2．（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 判定出四边形为菱形，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·四川·期中）如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质．根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．（25-26九年级上·广东佛山·月考）在下列方案中，能够得到是的平分线的是（   ） 方案I： 取，以，为顶点作平行四边形，连接． 方案II： 取，以为顶点作矩形，连接，交于点，连接． A．方案I可行，方案II不可行 B．方案I、II都可行 C．方案I不可行，方案II可行 D．方案I、II都不可行 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质与判定、矩形的性质，解题的关键是正确推理． 根据菱形的性质与判定和矩形的性质证明即可． 【详解】解：方案Ⅰ： 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， （菱形的性质）， 是的平分线； 方案Ⅱ： 矩形， （矩形的性质）， ，， ， ， 是的平分线； 综上所述，方案Ⅰ、Ⅱ都可行． 故选：B． 题型11菱形的性质与判定最值问题 三大必考最值模型+解题套路 模型1：菱形边上动点→线段最小值 题型：P是菱形边上一动点，求AP最小值 方法： 1.定点A，动点P在直线边上运动 2.过A作这条边的垂线段 3.垂线段长就是最小值 4.用菱形高、内角、勾股直接计算 结论：菱形边上点到定点最短=垂线段（菱形的高） 模型2：将军饮马型最值（两线段和最小PA+PB） 题型：P在菱形某一边上，求PA+PB最小值 套路： 1.作其中一点关于菱形边的对称点 2.连接对称点与另一个定点，线段长就是最小值 3.利用菱形边长、角度，勾股求长度 本质：翻折化折为直，用“两点之间线段最短” 模型3：菱形内动点构成图形周长/面积最值 1）周长最值 利用菱形四边相等、对边平行 ·把周长转化为两条定线段和 再用垂线段/将军饮马找最小 2）面积最值 底固定→高最大/最小时，面积最大/最小 ·菱形内三角形，高受菱形边长、角度限制 ·有60°/120°优先用等边三角形求高 1．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得，，，所以，由勾股定理求出，连接，可证四边形是矩形，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小，如图， ∴， ∴， ∴的最小值为． 2．（25-26九年级下·黑龙江鸡西·期中）如图，在菱形中，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（   ） A．1 B．5 C．2 D．3 【答案】D 【分析】证明，根据等边三角形的性质，要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小，即线段长度最小． 【详解】解：菱形中，， ， 为等边三角形，， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， 点为的中点， ，， ， 要求线段长度的最小值，即求的最小值， 当时，最小， 当时， 为等边三角形， ， ， 则， 即线段长度的最小值为． 3．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、均在轴上，点D在轴上，点在第一象限，已知点坐标为，点坐标为，点是直线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】先由勾股定理求出菱形边长并确定各顶点坐标，再利用菱形对角线的对称性将转化为，最后根据两点之间线段最短，计算的长度即为的最小值． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， 如图，连接，过点作轴于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标为， ∵菱形的对角线是其对称轴， ∴点关于直线的对称点是点， ∴对直线上任意一点，都有， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、、三点共线（即点运动到图中位置）时，取得最小值，最小值为线段的长度， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的对称性可知点与点关于直线对称，则，故，当三点共线且时，的值最小，此时的周长即为的长，求出和的长即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴关于对称， ∴ ∴， ∵点在上，点在上， ∴当三点共线且时，最小， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 题型12菱形的性质与判定多结论问题 高频易错陷阱 1.菱形对角线垂直但不相等(不是正方形) 2.看到像相等的线段、角度，必须推理论证，不能目测 3.对角线平分内角，不要当成对角线等于内角 4.有60°不一定所有三角形都是等边，要看边是否相等 1．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点，点E是上一点，且，连接，下列结论： ； ； ； ，成立的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先证明，得到四边形是菱形，利用菱形的性质，三角形中位线求解即可； 【详解】解：平行四边形的对角线交于点 ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 故， 故正确； ； 故错误； ， 故正确； ， ， 故正确； 2．（25-26八年级下·北京海淀·期中）图1是有一个内角为的平行四边形透明纸片，它的邻边的长分别为，，沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放在同一平面内．给出下面四个结论，所有正确结论的序号是（    ） ①是等边三角形； ②四边形为菱形； ③六边形的周长是； ④存在，，使四边形的面积与的面积之比为． A．①② B．②④ C．①③ D．①②④ 【答案】D 【分析】由题意得，，据此可判断①；根据，可得，同理可得，据此可判断②；由题意得，，，可得六边形的周长，从而判断③；分别过点A和点T作的垂线，垂足分别为P，Q，利用含30°角直角三角形的性质和勾股定理，得到，若四边形的面积与的面积之比为，得到，则可推出，据此可判断④． 【详解】解：由题意得，， ∴是等边三角形，故①符合题意； ∴， 根据题意得， ∴，即， 同理可证明， ∴四边形为菱形，故②符合题意； 由题意得，，， 则六边形的周长为，故③不符合题意； 如图所示，分别过点A和点T作的垂线，垂足分别为P，Q， ， ， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴， 根据勾股定理得， ， ∵四边形的面积与的面积之比为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，满足四边形的面积与的面积之比为，故④符合题意； 综上所述，①②④符合题意． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，能够熟练掌握这些知识点是解题的关键． 3．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连接，分别交，于点F、G，连接、，则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③四边形与四边形面积相等． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】①由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；②先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，则四边形是菱形，②正确；③由菱形的性质可得，由中线的性质，即可得四边形与四边形面积相等，得出③正确． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中位线， ∴，故①正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴、是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形与四边形面积相等，故③正确； 故正确的结论有3个． 4．（21-22八年级下·山东济南·期中）如图，在菱形中，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质得到，由三角形的内角和为求出的值，得出，由直角三角形的性质得到，即可得到；在直角三角形中，，故与不全等，由三角形的面积公式即可判断． 【详解】解：菱形， 是等边三角形，是等边三角形， ， 分别是的中点， ，故①正确； ， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 是直角三角形， ， 与不全等，故③错误； ， ， ，故④正确； 综上，正确的有3个． 题型13中点四边形中相关求解 原四边形 → 中点四边形 形状对照表 原四边形特征 中点四边形形状 任意四边形 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线互相垂直 矩形 对角线相等且垂直 正方形 1．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）如图，长方形中，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出，再根据三角形中位线的性质可得，观察图形找出变化规律，即可求解． 【详解】解：如图，连接． 矩形中，，， ， 分别是和的中点， ， 以此类推，，， …… ， ． 2．（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，已知矩形的邻边长分别为、，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形则第次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律，找出规律、的表示方法是解题的关键．记四边形， 的面积为，易知四边形为菱形，四边形为矩形，，，，……，推出依此可得，最后令即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵顺次连接矩形各边的中点，得到四边形， ∴四边形 是矩形， ∴，. 同理，，， ∴， ∴， ∵顺次连接四边形，各边的中点，得到四边形， ∴，， ∴， 依此可得， ∴四边形的面积是． 故选：B． 3．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理，将四边形的边长与原四边形的对角线和的长度建立联系，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答． 【详解】解：如图，连接，， 点，，，分别是四边形的各边中点， ，， ， 同理可得，， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ，即， 故选：． 4．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在四边形中，点分别是各边的中点．甲说：若四边形是矩形，则四边形是菱形；乙说：若四边形是菱形，则四边形是矩形．下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】B 【分析】连接，根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线的性质可得，即可判断甲；四边形是菱形，只能判断，无法得到四边形是矩形． 【详解】解：如图，连接， ， 若四边形是矩形，则， 点分别是各边的中点， ， 四边形是菱形，故甲说法正确； 若四边形是菱形，则， ， 无法证明四边形是矩形，故乙说法错误． 5．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题考查了中点四边形，根据点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，得出，是，的中位线，同理分别是的中位线，故四边形的周长为，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理得分别是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：B． 2026 一、单选题 1．（25-26八年级下·河南许昌·期中）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．四条边都相等 C．两组对边分别平行 D．对角线相等 【答案】D 【分析】根据矩形和菱形的性质逐一判断选项，即可得到答案。 【详解】解：A 对角线互相垂直是菱形具有矩形不具有的性质，不符合要求； B 四条边都相等是菱形具有矩形不具有的性质，不符合要求； C 两组对边分别平行是矩形和菱形都具有的性质，不符合要求； D 对角线相等是矩形具有而菱形不具有的性质，符合要求。 2．（25-26八年级下·广东东莞·期中）已知四边形是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形．在下列所给的条件中，不能添加的条件是（  ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】结合菱形、矩形的判定定理逐一判断选项即可得到结果. 【详解】解：∵四边形是平行四边形 对于A选项，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于B选项，，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于C选项，如图， 平分， ， 又∵， ， 可得， ，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于D选项，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知平行四边形是矩形，不能成为菱形，符合要求. 3．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，则这个菱形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质，得，，利用勾股定理，菱形的性质求解即可； 【详解】解：菱形的性质，得，，， 故， 故菱形的周长为； 4．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，进而求出点坐标． 【详解】解：菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上， ，，， 即轴， 在中，由勾股定理得：， 点的坐标是：． 5．（2026·湖北宜昌·一模）如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再得出，，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴在中，， ∴点运动到的中点时，的长为． 6．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2026米停下，则这个微型机器人所停的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据菱形的四条边都相等可知，微型机器人行走一周的路程为8米，用2026除以8，再根据余数确定停靠的点即可． 【详解】解：两个全等菱形的边长为1米， 一个微型机器人由点开始按的顺序沿菱形的边行走一周走过的路程为（米）， ， 行走2026米与行走2米后停下的点相同， 由图可知，行走2米后停在点， 这个微型机器人停在点． 7．（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图所示，把一张矩形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，若得到一个钝角为的菱形，则剪口与第二次折痕所成角的度数应为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：和，根据菱形的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在菱形中，若， ∴， ∴与的夹角为，即剪口与第二次折痕所成角的度数应为 若时， ∵， ∴， ∴， ∴与的夹角为，即剪口与第二次折痕所成角的度数应为， 综上所述，剪口与第二次折痕所成角的度数应为或． 8．（2026·辽宁大连·二模）如图，在菱形中，连接．若，，以点C为圆心，长为半径作弧，交边于另一点F，再分别以B，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接交边于点E，则的长为（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹可知，即为菱形的高，利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出另一条对角线长，再利用等面积法求解即可 【详解】解：设与交于点，连接， 四边形是菱形， ， 在中，， ， 由作图可知，，且垂直平分， ， ， ， ． 二、填空题 9．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解答． 【详解】解：∵菱形中，，， ∴菱形的面积为． 10．（25-26八年级下·广东珠海·期中）顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做四边形的中点四边形，矩形的中点四边形是___________． 【答案】 菱形 【分析】利用三角形中位线定理可得中点四边形对边平行且等于原矩形对角线的一半，结合矩形对角线相等的性质，可得中点四边形邻边相等，根据平行四边形和菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：设矩形，，，，分别是，，，的中点，连接，， 根据三角形中位线定理，可得：，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 矩形的对角线相等， ， ， ， 平行四边形是菱形． 11．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动．规定：其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，若在点P，Q的运动过程中，四边形可以构成菱形，则的长为_____． 【答案】 【分析】结合题意得：，，当时，而，可得四边形为平行四边形，求解，当时，四边形为菱形，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 当时，而， ∴四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴， 当时，四边形为菱形， 如图， 过作于，而，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边上一点（不与B，C重合），过点E作于点F，于点G，若，设的长为x，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】连接，由菱形对角线互相垂直平分可得，则可由勾股定理求出，证明四边形是矩形，则，进一步求出即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ∵于点F，于点G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵E是边上一点（不与B，C重合）， ∴当时，取得最小值，， 此时， ∴， 则， ∴设的长为x，则x的取值范围是． 三、解答题 13．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，，，点E、F、G、H分别是、、、的中点，且四边形是菱形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的面积为120，四边形的周长为52，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质与面积，矩形的判定与性质，完全平方公式，解题的关键是理清楚题中条件，掌握相关性质，作出辅助线． （1）连接，，根据，可得四边形为平行四边形，根据菱形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，，可以得到，即可求证； （2）连接，交于点，由题意可得，四边形为矩形，设，，则，，根据题意可得，，，由勾股定理可得，求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如下图： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵点E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，， ∵四边形是菱形． ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：连接，交于点，如下图： 根据题意可得，，，，， ∴，， 设，，则，， 由菱形的面积为120可得，解得， 由四边形的周长为52可得，即， 对进行平方可得，，则， 由勾股定理可得． 14．（25-26八年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，点A、B均在格点上． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且点C、D在格点上； (2)在图②中，以为边画一个，使其面积为10，且点E、F在格点上； (3)在图③中，以为边画一个菱形，使点G、H在格点上，且． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）根据题意画一个平行四边形即可； （2）由题意，将先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，构造平行四边形即可； （3）根据题意将先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，画出菱形即可. 【详解】（1）解：如图①，四边形即为所求； （2）解：如图②，即为所求； 由图可知，的面积为； （3）解：如图③，菱形即为所求； 15．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，． (1)如图，求证：四边形是平行四边形； (2)如图，当时，连接，交于点，过点作，交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用等腰三角形的性质、角平分线的定义及三角形外角性质可证，得到，即可求证； （）由可证是等边三角形，得到，即得平行四边形是菱形，即得到，，再证明是等边三角形，得到，即得到，得，又根据菱形的性质得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴与面积相等的三角形有． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $