第5章 特殊平行四边形（高效培优单元自测·提升卷）数学浙教版新教材八年级下册

**基本信息** 第5章特殊平行四边形单元提升卷，120分钟120分，覆盖矩形、菱形、正方形性质判定及综合应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，培养几何直观、推理能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|矩形菱形性质比较、正方形动态角度计算|结合中国结文化情境，基础概念辨析与空间观念考查| |填空题|6/18|菱形对角线计算、矩形折叠问题|融入折纸操作（黄金矩形），体现数学眼光与应用意识| |解答题|8/72|菱形证明、垂美四边形新定义探究、矩形折叠综合|设置分层设问（如作图与计算结合），突出推理能力与创新应用，适配单元复习拔高需求|

第5章 特殊平行四边形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查矩形与菱形的性质，掌握两种图形性质的区别是解题关键，对比两个图形的性质逐一判断选项即可解答． 【详解】解：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，平行四边形对边相等，对角线互相平分， 选项对边相等、选项对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，不符合题意； 矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，仅特殊菱形即正方形对角线相等， 选项对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质，符合题意； 菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直， 选项对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质，不符合题意． 2．如图，、是菱形的对角线，．若，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得，，结合可求出，进而判定为等边三角形，即可得出的长 ． 【详解】解：四边形是菱形 ， ， 是等边三角形 ． 3．如图，在菱形中，，过点作于点，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∵于点， ∴， ∴． 4．下列命题不正确的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断选项，找出错误命题即可． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，命题正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是菱形的判定定理，命题正确，不符合题意； C、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形；只有对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，因此该命题错误，符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是正方形的判定定理，命题正确，不符合题意． 5．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．主体部分是一个菱形，如图所示，若菱形的边长为，对角线的长为，则另一条对角线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是菱形，且边长为，对角线的长为， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的性质证明，得到；再结合得到等腰三角形的等角关系，设，通过三角形内角和与直角三角形的角度关系列方程求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵在和中， ， ∴（）． ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， ∴，即． 8．如图，正方形的边长是2，是边上一点，连接，平分交于点，连接．若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质得到，，设，则，作交于G，证明，得到，，证明，得到，则，根据勾股定理求出x的值，即可求出的长度． 【详解】解：∵正方形的边长是2， ∴，， 设，则， 作交于G， ∵平分交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴． 9．如图，在边长为8的正方形中，E，F分别是边、的中点：连接，，G，H分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，通过证明得到，，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接并延长交于点，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 点是的中点，， ． 10．图1是有一个内角为的平行四边形透明纸片，它的邻边的长分别为，，沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放在同一平面内．给出下面四个结论，所有正确结论的序号是（    ） ①是等边三角形； ②四边形为菱形； ③六边形的周长是； ④存在，，使四边形的面积与的面积之比为． A．①② B．②④ C．①③ D．①②④ 【答案】D 【分析】由题意得，，据此可判断①；根据，可得，同理可得，据此可判断②；由题意得，，，可得六边形的周长，从而判断③；分别过点A和点T作的垂线，垂足分别为P，Q，利用含30°角直角三角形的性质和勾股定理，得到，若四边形的面积与的面积之比为，得到，则可推出，据此可判断④． 【详解】解：由题意得，， ∴是等边三角形，故①符合题意； ∴， 根据题意得， ∴，即， 同理可证明， ∴四边形为菱形，故②符合题意； 由题意得，，， 则六边形的周长为，故③不符合题意； 如图所示，分别过点A和点T作的垂线，垂足分别为P，Q， ， ， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴， 根据勾股定理得， ， ∵四边形的面积与的面积之比为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，满足四边形的面积与的面积之比为，故④符合题意； 综上所述，①②④符合题意． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，能够熟练掌握这些知识点是解题的关键． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，在平面直角坐标系中，，，菱形的边在轴上，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据点、的坐标可得、的长，在中利用勾股定理求出的长，由菱形的性质可得，结合点的坐标及图形中点的位置即可求解． 【详解】解：，， ，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是菱形， ， 边在轴上，且由图可知点在点的上方， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 12．如图，四边形是正方形，以为边在正方形内部作等边，连接，则______． 【答案】75 【分析】根据正方形的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，所以，，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可求得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 解得． 13．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为__________． 【答案】 【分析】先利用菱形对角线性质和面积公式求出的长度，再根据直角三角形斜边中线定理得到的长度． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点， ，， ， ， 菱形的面积为， ， 解得， ， ， ． 14．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】由点是边的中点得，要求周长最小，实际是求最小,先找出运动轨迹，由线段旋转，可得三垂直全等，进而推出点在平行于，且与的距离为的直线上运动，再作对称求解即可. 【详解】解：∵，点M是边的中点， ∴， 如图，过点作，交、于、，过点作于点， 四边形为矩形， ， ， ∴， ∴， 四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得， ， ， ， 点在平行于，且与的距离为的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 此时周长取得最小值，最小值为， ， ． 15．阅读下面的折纸过程： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形．然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出矩形的对角线，并把折到图3中所示的处． 第四步，展平纸片如图4，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形． 请写出黄金矩形的边长之比，即_______________． 【答案】 【分析】设正方形的边长为，根据折叠性质得出的长，在中利用勾股定理求出的长，由折叠性质得，进而求出的长，最后计算比值． 【详解】解：设正方形的边长为，则 由第二步折叠可知，为的中点 在中，由勾股定理得 由第三步折叠可知， ． 16．如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，______． 【答案】3或6 【分析】先求出，，，再分三种情况：①，②，③，利用勾股定理和正方形的性质求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，，． ①如图1，当时，为直角三角形， ∴， ∴点三点共线， ∵在中，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即； ②如图2，当时，为直角三角形， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴； ③如图3，当时，为直角三角形， ∵， ∴在中，斜边，不符合题意，舍去； 综上，或． 三﹑解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，矩形中，点在上，，且，垂足为．证明：． 【答案】见解析 【分析】利用矩形的性质结合证明≌，由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】证明：在矩形中，，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 18．（8分）如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 【答案】见解析 【分析】利用菱形的性质，证明即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∵在与中 ∴， ∴， ∴． 19．（8分）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 【答案】(1)6，4 (2) 【分析】（1）由矩形的性质及勾股定理可得出答案； （2）设，由勾股定理可得，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，，是 折叠得到， ∴．， ∴在中，， ∴． （2）解：设， ∴，． 在中，， ∴， 解得：， ∴． 20．（8分）如图，在中，，． (1)请用尺规作图的方法作一个菱形，使点D在线段上；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理、菱形的判定及性质、尺规作垂直平分线以及尺规作线段，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点O，交于点D，在线段的垂直平分线上取，连接、、，则四边形为所求作的四边形； （2）由菱形的性质得，再根据勾股定理构造方程即可得解． 【详解】（1）解：四边形为所求作的四边形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， 设， ∵，，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 即，解得， ∴， ∴． 21．（10分）结合图形，解决以下问题： (1)在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点．求证：四边形是菱形．请你帮小明写出证明过程． 【类比应用】 (2)如图2，王老师要求小明将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交矩形的边于点，若，求折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先结合矩形的性质，证明，得到，先证明四边形是平行四边形，再证明菱形即可； （2）连接，，由折叠性质可知垂直平分，由（1）得：四边形是菱形，设，利用勾股定理，列方程求出，再结合菱形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 垂直平分， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：如图2，连接，， 将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合， 垂直平分， 由（1）得：四边形是菱形， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 解得， ， ， ， ； 22．（10分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． (1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； (2)性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． 【答案】(1)①③ (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据垂美四边形的定义进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，，，，即可得出结论； （3）连接，，设交点为，根据勾股定理得出，证明，得出，证明，得出，根据解析（2）的结论可知，，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：正方形的对角线互相垂直平分且相等； 矩形的对角线互相平分且相等； 菱形对角线互相垂直平分； 平行四边形的对角线互相平分； 因此是垂美四边形的是①③； （2）解：；理由如下： ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）解：连接，，如图所示：设交点为， ∵在中，，， ∴， ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据解析（2）的结论可知，， ∵，， ∴， ∴． 23．（10分）如图1，在正方形中，，为对角线的交点，是边上一动点（不与，重合）． (1)当时，的长是__________； (2)探究与存在怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图2，，是边上两点，，，求的长． 【答案】(1) (2)；理由见详解 (3) 【分析】（1）取正方形边的中点F，连接，由正方形的性质得出，，再根据三角形中位线的判定和性质得出，，最后根据勾股定理求解即可． （2）同（1）取正方形边的中点F，连接，则，，，设，则，利用勾股定理得出，再求出，即可求解． （3）将绕点O顺时针旋转得到，连接，证明，由全等三角形的性质得出，设，则，，由勾股定理求出y的值，再结合（2）的结论即可求出． 【详解】（1）解：取正方形边的中点F，连接， ∵是正方形， ∴，， ∵O为与的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ． （2）解：；理由如下： 同（1）取正方形边的中点F，连接， 则，，， 设，则， 在中，， ∵， ∴． （3）解：如图，将绕点O顺时针旋转得到，连接， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴，． 由（2）知， ∴， ∴． 24．（10分）综合与探究 问题情境：如图1，在矩形中，，，点E和点P分别在边和上，将矩形沿直线折叠． (1)若顶点C恰好落在顶点A处，求的长． 特例探究： (2)如图2，若点C恰好落在边的中点处，连接，设与交于点F，求的长． 拓展延伸： (3)如图3，F为的中点，点C恰好落在（含端点）上的点处，当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质得，，设，则，在中，由列方程求解即可； （2）先求出，再根据折叠的性质得，， ，，设，则，在中，由， 解得，最后在中，利用勾股定理计算； （3）由F为的中点，得到，则，即中，当为直角三角形时，或，此时是等腰直角三角形，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，， 根据折叠的性质得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即； （2）解：∵点是的中点， ∴， 在中，， 根据折叠的性质得，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 在中，； （3）解：∵矩形中，，，F为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，， 设，则， ∵中， ∴当为直角三角形时，或， 当时，，则，，即可得到，解得； 当时，，则，即可得到，解得； 综上所述，当为直角三角形时，或． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 特殊平行四边形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2．如图，、是菱形的对角线，．若，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 3．如图，在菱形中，，过点作于点，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．下列命题不正确的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 5．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．主体部分是一个菱形，如图所示，若菱形的边长为，对角线的长为，则另一条对角线的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的边长是2，是边上一点，连接，平分交于点，连接．若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在边长为8的正方形中，E，F分别是边、的中点：连接，，G，H分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A．4 B． C． D． 10．图1是有一个内角为的平行四边形透明纸片，它的邻边的长分别为，，沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放在同一平面内．给出下面四个结论，所有正确结论的序号是（    ） ①是等边三角形； ②四边形为菱形； ③六边形的周长是； ④存在，，使四边形的面积与的面积之比为． A．①② B．②④ C．①③ D．①②④ 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，在平面直角坐标系中，，，菱形的边在轴上，则点的坐标是_____． 12．如图，四边形是正方形，以为边在正方形内部作等边，连接，则______． 13．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为__________． 14．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为___________． 15．阅读下面的折纸过程： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形．然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出矩形的对角线，并把折到图3中所示的处． 第四步，展平纸片如图4，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形． 请写出黄金矩形的边长之比，即_______________． 16．如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，______． 三﹑解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，矩形中，点在上，，且，垂足为．证明：． 18．（8分）如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 19．（8分）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 20．（8分）如图，在中，，． (1)请用尺规作图的方法作一个菱形，使点D在线段上；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 21．（10分）结合图形，解决以下问题： (1)在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点．求证：四边形是菱形．请你帮小明写出证明过程． 【类比应用】 (2)如图2，王老师要求小明将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交矩形的边于点，若，求折痕的长． 22．（10分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． (1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； (2)性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． 23．（10分）如图1，在正方形中，，为对角线的交点，是边上一动点（不与，重合）． (1)当时，的长是__________； (2)探究与存在怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图2，，是边上两点，，，求的长． 24．（10分）综合与探究 问题情境：如图1，在矩形中，，，点E和点P分别在边和上，将矩形沿直线折叠． (1)若顶点C恰好落在顶点A处，求的长． 特例探究： (2)如图2，若点C恰好落在边的中点处，连接，设与交于点F，求的长． 拓展延伸： (3)如图3，F为的中点，点C恰好落在（含端点）上的点处，当为直角三角形时，请直接写出的长． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $