第5章 特殊平行四边形（高效培优单元自测·强化卷）数学浙教版新教材八年级下册

第5章 特殊平行四边形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．菱形的边的长度为，则周长为（　　） A．6cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的四边相等，周长等于边长的4倍，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵菱形的边的长度为，且菱形的四边相等， ∴周长， 故选：C． 2．在矩形中，对角线、相交于点，，则等于（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，理解性质定理是关键．根据矩形的对角线相等，且互相平分即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，四边形是菱形，已知，则菱形的周长为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的四条边相等解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：A． 4．已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形是（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题主要考查特殊四边形的性质和判定，根据题意可知，；，，即可判定四边形是平行四边形，结合垂直即可判定为矩形． 【详解】解：如图， 四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点， 则，；，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴，， ∴边形是矩形． 故选A． 5．将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠，掌握折叠的性质是关键．根据展开后的图形即可作出判断． 【详解】 解：根据图③的剪法，展开后所得图形为， 故选：B． 6．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．测得．则该菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键． 根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可． 【详解】四边形是菱形， ， ， ， 故选：A． 7．如图，菱形的周长为16， ，对角线与交于点O， E为的中点，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据菱形的周长为16可得，根据对角线与交于点O可得为线段的中点，又由E为的中点，可得是的中位线，即，即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为16， ∴， ∵对角线与交于点O， ∴为线段的中点， ∵E为的中点， ∴是的中位线，即． 8．如图，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，连接，，，，，则下列结论不一定成立的是（    ） A．垂直平分 B． C．是等边三角形 D． 【答案】C 【分析】由尺规作图得到四边形是菱形，结合菱形性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：由题中作图方法可得， 四边形是菱形，是等腰三角形，不能得是等边三角形， 垂直平分、平分、， ，，故A、B、D均正确；C错误． 9．如图，七巧板是由宋代的宴几图演变而来的，小明用边长为的正方形纸板制作了一幅七巧板（图①），然后拼成“飞机”（图②），则“飞机尾翼”（阴影部分）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，根据图形可得“飞机尾翼”（阴影部分）为等腰直角三角形，腰长为正方形边长的，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：依题意，“飞机尾翼”（阴影部分）为等腰直角三角形，腰长为正方形边长的， ∵边长为的正方形纸板， ∴“飞机尾翼”（阴影部分）的面积为， 故选：A． 10．如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换性质和矩形性质，三角形面积公式，勾股定理．根据题意连接，根据三角形面积公式求出，得到，根据直角三角形判定得到，再根据勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是矩形 ∴ ∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， 故选：D． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，在中，若，则四边形是________． 【答案】菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，掌握其判定方法是关键，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴根据邻边相等的平行四边形是菱形， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形 ． 12．如图，将长方形沿折叠，使点D落在边上的点F，若，则__________°．    【答案】70 【分析】根据即可求解． 【详解】解：由题意得： ∵ 故答案为：70 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质．熟记相关结论即可． 13．如图，正方形的面积为，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】根据正方形性质和线段中点的性质得到，进而得到，同理可得，最后利用四边形的面积正方形的面积个小三角形面积求解，即可解题． 【详解】解：正方形的面积为4， ，， 点，，，分别为边，，，的中点， ， ， 同理可得， 四边形的面积为． 14．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用矩形的性质、勾股定理求出对角线的长，再利用圆的半径相等求出的长，然后求出的长，最后用勾股定理求出的长． 【详解】解：由题意可知，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ． 15．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长等于_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查在直角三角形中，斜边中线等于斜边一半，还综合利用了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和直角三角形性质是解题的关键．根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，为中点，从而求得的长． 【详解】解：∵菱形的周长等于24， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵H为边中点， ∴在中，为斜边上的中线， ∴． 故答案为：3． 16．如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是___________． 【答案】16 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，正方形的面积，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 利用正方形的性质证明，得到，进而得到，再利用正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 三﹑解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，菱形花坛的边长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．求： (1)两条小路的长度； (2)菱形花坛的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设与交于点O，根据菱形的性质得到，，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长即可； （2）根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，设与交于点O， ∵四边形是菱形，且边长为，， ∴，， ∴，则， ∴，则； （2）解：由（1）得． 18．（8分）已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求： (1)求的坐标； (2)求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题． （1）根据折叠性质得，，由勾股定理得，可得点坐标； （2）在中，根据勾股定理即可求点坐标． 【详解】（1）解：由折叠可知：， ， ，， 在中，由勾股定理得， 点坐标为； （2） ，， 由折叠可知：， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得：， 点坐标为． 19．（8分）如图，在与中，，，，相交于点．过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，，相交于点． (1)求证：； (2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法进行证明即可； （2）根据平行线的性质得到两组对边互相平行，证得四边形是平行四边形，根据的性质证得平行四边形是菱形，要使菱形是正方形，需要有一个角是，当时，时等腰直角三角形，进而证得，则四边形是正方形． 【详解】（1）证明：在和中， ； （2）解：，理由如下： 证明：， 四边形是平行四边形 平行四边形是菱形 ， 又 菱形是正方形． 20．（8分）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)10 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）如图，首先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可解决问题． （2）因为四边形为菱形，得，再结合矩形的对角线相等得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：依题意，连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴． 21．（10分）如图，已知，延长至点，使，连接，，，且； (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明对角线即可求证； （2）由（1）可得，由矩形的性质可得，，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）知，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 22．（10分）已知中，平分，交于E，交于F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)时，四边形是正方形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，正方形的判定等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）先通过题目条件证明是平行四边形，再通过平行线的性质和角平分线的定义得到，从而得到平行四边形一组邻边相等即可判断； （2）根据“有一个角是直角的菱形是正方形”即可解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． （2）时，四边形是正方形． ，四边形是菱形， 四边形是正方形． 23．（10分）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)四边形的面积不会发生变化，始终等于4 【分析】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点O作于点M，于点N，证明四边形是正方形，得，，再根据得，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得，则正方形的面积为4，由（1）可知和全等，则，由此得． 【详解】（1）解：过点O作于点M，于点N，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当点E在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： ∵四边形是正方形，点为对角线的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴ 则 由（1）得 ∴ 由（1）得，矩形是正方形， 则． 24．（10分）如图，将一张矩形纸片的边斜着向边对折，使点落在边上，记为，折痕为，再将边斜向上对折，使点落在上，记为，折痕为， (1)求证：； (2)根据以下描述：分别延长和交于点，过点作的平行线，分别交和的延长线于点和，请补全图形，并求的值． 【答案】(1)见解析 (2)图形见解析；1 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及折叠的性质，角平分线的性质： （1）根据矩形的性质以及折叠的性质可得，即可解答； （2）由折叠的性质得：，，，然后根据角平分线的性质可得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 特殊平行四边形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．菱形的边的长度为，则周长为（　　） A．6cm B． C． D． 2．在矩形中，对角线、相交于点，，则等于（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 3．如图，四边形是菱形，已知，则菱形的周长为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 4．已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形是（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形 5．将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（   ） A． B． C． D． 6．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．测得．则该菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的周长为16， ，对角线与交于点O， E为的中点，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．4 8．如图，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，连接，，，，，则下列结论不一定成立的是（    ） A．垂直平分 B． C．是等边三角形 D． 9．如图，七巧板是由宋代的宴几图演变而来的，小明用边长为的正方形纸板制作了一幅七巧板（图①），然后拼成“飞机”（图②），则“飞机尾翼”（阴影部分）的面积是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，在中，若，则四边形是________． 12．如图，将长方形沿折叠，使点D落在边上的点F，若，则__________°．    13．如图，正方形的面积为，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______． 14．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为______． 15．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长等于_____． 16．如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是___________． 三﹑解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，菱形花坛的边长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．求： (1)两条小路的长度； (2)菱形花坛的面积． 18．（8分）已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求： (1)求的坐标； (2)求的坐标． 19．（8分）如图，在与中，，，，相交于点．过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，，相交于点． (1)求证：； (2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 20．（8分）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 21．（10分）如图，已知，延长至点，使，连接，，，且； (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 22．（10分）已知中，平分，交于E，交于F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 23．（10分）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 24．（10分）如图，将一张矩形纸片的边斜着向边对折，使点落在边上，记为，折痕为，再将边斜向上对折，使点落在上，记为，折痕为， (1)求证：； (2)根据以下描述：分别延长和交于点，过点作的平行线，分别交和的延长线于点和，请补全图形，并求的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $