专题5.3 正方形（高效培优讲义）数学浙教版八年级新教材下册

专题5.3 正方形 教学目标 1.理解正方形定义，掌握其边、角、对角线性质。 2.掌握正方形的判定方法。 3.理清正方形、矩形、菱形、平行四边形的从属关系。 4.能运用性质和判定进行计算与几何证明。 教学重难点 1.重点 （1）掌握正方形的双重属性（矩形 + 菱形），理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。 （2）熟记正方形的性质与判定定理，能准确区分判定条件的前提（如 “矩形 + 邻边相等”）。 （3）灵活运用面积、边长、对角线的关系进行计算。 2.难点 （1）判定定理的灵活选择：根据题干条件（如已知平行四边形 / 矩形 / 菱形），选择最简判定路径，避免逻辑混乱。 （2）综合题的辅助线添加：学会连对角线将正方形转化为等腰直角三角形，利用勾股定理或全等解题。 （3）从属关系的理解：突破 “正方形是特殊的矩形 / 菱形，矩形 / 菱形不一定是正方形” 的逻辑辨析，构建知识体系。 （4）折叠与坐标系综合题：结合方程思想，解决含未知线段的计算问题，考虑多解情况。 知识点01 正方形的性质概念与性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【即学即练】 1．正方形的一条对角线长为4，则该正方形的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】正方形是特殊的菱形，可利用菱形面积等于对角线乘积一半的公式计算，正方形对角线长度相等，代入已知对角线长度即可求解． 【详解】解：∵正方形是特殊的菱形，且正方形的对角线长度相等，该正方形一条对角线长为4， ∴该正方形另一条对角线长也为， 根据菱形面积公式，得该正方形面积 ． 2．如图，正方形的边长等于4，点、分别在、边上，点关于的对称点恰好是边的中点，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由轴对称的性质可得，求出；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由轴对称的性质可得， ∵正方形的边长等于4， ∴， ∵点是边的中点， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 3．如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，，则，，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 知识点02 正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【即学即练】 1．下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边互相垂直的矩形是正方形 【答案】C 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，∵对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，∴A选项说法错误； B选项，∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，∴B选项说法错误； C选项，∵矩形本身对角线相等，对角线互相垂直的矩形符合正方形判定定理，∴对角线互相垂直的矩形是正方形，C选项说法正确； D选项，∵矩形四个角都是直角，任意邻边本来就互相垂直，因此有一组邻边互相垂直的矩形仍是矩形，不一定是正方形，∴D选项说法错误． 2．已知平行四边形的对角线、相交于点，下列补充条件中，能判定这个平行四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题已知四边形是平行四边形，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐一分析选项，正方形是同时满足矩形和菱形性质的平行四边形． 【详解】解：∵原四边形是平行四边形， 对选项A：∵， ∴平行四边形是矩形，又与是等价的，都能判定该平行四边形是矩形，不能判定为正方形，故A不符合题意； 对选项B：∵平行四边形对角线互相平分， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∵平行四边形既是矩形又是菱形，因此是正方形，故B符合题意； 对选项C：∵， ∴平行四边形是菱形，菱形本身对角线互相垂直，因此不能推出它是正方形，故C不符合题意； 对选项D：平行四边形对角线本来互相平分，恒成立，仅能推出平行四边形是矩形，不能判定是正方形，故D不符合题意． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理、矩形的判定定理和正方形的判定定理，平行四边形的判定定理，逐一判断即可得出结论． 本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定等知识，熟记各判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有一组邻边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，错误，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是正方形，错误，不符合题意； D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意； 故选：D． 题型01 利用正方形的性质求角度 【典例1】如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形、等边三角形的性质，得出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图所示，在正方形中，是上的一点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在正方形中，平分， ． ， ． 又， ． 【变式2】如图，在正方形中，在的延长线上取一点E，使，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再根据三角形的内角和求出，则，即可解答． 【详解】解：正方形中，， ∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，已知正方形通过逆时针旋转得到正方形，，则旋转的角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，根据正方形性质得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵正方形通过逆时针旋转得到正方形， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角为， 故选：C． 题型02 根据正方形的性质求线段长 【典例2】如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出，根据旋转的性质可得，，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴． 【变式1】如图，已知正方形的边长为4，点分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，，然后证明得，进一步得，从而知，利用勾股定理求出的长即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式2】如图，已知正方形的边长为6，P是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】连接，由正方形的性质可得，，，证明四边形是矩形，得出，，从而可得是等腰直角三角形，即可得出，结合题意求出，，从而可得，，再证明，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式3】如图，在正方形中，点在的垂直平分线上，连接、，于点，，若，则的长为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】证明为等边三角形，根据由题意求得，即可求得的长，利用． 【详解】解：在正方形中，，， 点在的垂直平分线上， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 题型03 根据正方形的性质求面积 【典例3】如图，点在正方形内，满足，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．18 B．19 C．25 D．31 【答案】B 【详解】解：由勾股定理得， ． 【变式1】在正方形中，对角线，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方形的面积等于对角线乘积的一半求解，即可选出正确选项． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴正方形对角线相等且互相垂直，， ∵正方形的面积等于对角线乘积的一半， ∴正方形的面积． 【变式2】如图，在正方形中，点是上任意一点，，垂足分别为点，若该正方形的面积为50，则的值为（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，得到，利用正方形的面积公式求得正方形的边长，据此求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，即， ∵， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵正方形的面积为50， ∴边长为， ∴， ∴的值为5． 【变式3】如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ）． A．98 B．60 C．48 D．38 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的应用，正方形的性质，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．由题意可知：，，从而求出的长度，根据正方形的性质得到，，利用求出结果即可． 【详解】解：如图． 由题意可知：，， ，， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，， ， 故选：C． 题型04 添一条件使四边形是正方形 【典例4】已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件推出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， A、菱形对边相等，是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； B、菱形对角线平分内角，平分是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； C、根据正方形的判定，对角线相等的菱形是正方形， ∴添加，可判定菱形是正方形，正确； D、平行四边形对角相等，原本就成立，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误． 【变式1】如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：在中，， ∴四边形是矩形． A、当时，矩形是正方形，故A选项不符合题意； B、当时，矩形是正方形，故B选项不符合题意； C、当时，无法确定矩形就是正方形，故C选项符合题意； D、当时，则，，，矩形是正方形，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形．据此解答即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足条件． 故选：C． 【变式3】如图，已知四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判断，正方形的判断，等边对等角，三角形内角和定理，根据等边对等角和三角形内角和定理可证明，据此可判断A；根据对角线相等的四边形或一组邻边相等的四边形是矩形，对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形可判断B、C、D． 【详解】解：A、由可得，则四边形不是正方形，故此选项符合题意； B、由可证明四边形是矩形，再由 可证明四边形是正方形，故此选项不符合题意； C、由可证明四边形是矩形，再由可证明四边形是正方形，故此选项不符合题意； D、由可证明四边形是矩形，再由可证明四边形是正方形，故此选项不符合题意； 故选：A． 题型05 正方形的判定 【典例5】如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证；． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）先证明四边形是矩形， 再根据角平分线的性质得出，即可求证； （）证明即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵于点， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵于点， ∴ ， ∵平分，， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，在中，，点为其内一点，且，分别平分．若于点，于点，则四边形是正方形吗请说明理由． 【答案】四边形为正方形,理由见解析 【分析】此题考查了正方形的判定，以及角平分线定理；过作垂直于点，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形为矩形，由为角平分线，利用角平分线定理得到，同理得到，等量代换得到，利用邻边相等的矩形为正方形即可得证． 【详解】解：：四边形是正方形，理由如下： 过作，交于点，    ， 四边形为矩形， 平分，，， ； 平分，，， ， ， 四边形为正方形． 【变式2】如图，菱形的对角线相交于点O，在上截取，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】由菱形性质得 ，；由 及 ，得 ，即 与 互相平分且相等，故四边形 是矩形；再由 ，得矩形 是正方形． 【详解】证明： 四边形 是菱形， ，． ， ． 与 互相平分，且 ． 四边形 是矩形． 又， 矩形 是正方形． 【变式3】如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的判定定理判断四边形是矩形；再结合等腰直角三角形中是中点，利用等腰直角三角形的性质推导，进而根据正方形的判定定理证明该四边形为正方形． （2）因为四边形是正方形，所以与正方形的边长有关；先根据和等腰直角三角形的性质、中点的性质求出正方形的边长，再利用正方形的对角线公式计算的长度． 【详解】（1）证明：∵ ，，， ∴ ， ∴四边形是矩形． 连接，如图， ∵等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形． （2）解：∵ ，∴ ， 由（1）可知是中点、是中点， ∴ ，． 在中，，由勾股定理得． 题型06 正方形的性质与判定综合 【典例6】如图1，四边形是一个边长为4的正方形，点和分别是边和上的动点（点与点不重合，点与点不重合），且，连接，，相交于点． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，当点，运动到，的中点时，连接，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，，再利用证明得到，证明，得到，即可证明； （2）如图，延长，交于点，证明，得到，则， 则由直角三角形斜边上的中线的性质即可得到． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下：   如图，延长，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ 由题意可得点是的中点， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由①得， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即． 【变式1】如图，在中，的角平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． （1）首先可根据，判定四边形是平行四边形，然后根据平分，可得，进而得到，由此可判定四边形是菱形； （2）根据题意可得四边形是正方形，求出，可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：， 菱形是正方形， ， 在中，， 四边形的面积为∶． 【变式2】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 【答案】(1)见解析 (2)135° 【分析】（1）先由两组对边平行证明四边形OCED是平行四边形，再由OD=OC证明四边形OCED是菱形； （2）先证矩形ABCD是正方形，再由正方形的性质得∠BDC=∠ACD=，再由平行线的性质得∠EDC=∠ACD=45°，由此可解． 【详解】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O， ∴OD=OC． ∴四边形OCED是菱形． （2）解：∵矩形ABCD中，AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°， ∴∠BDC=∠ACD=． ∵DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD=45°， ∴∠ADE=90°+45°=135°． 【点睛】本题考查菱形的判定、正方形的判定与性质以及平行线的性质，由正方形的性质得出∠BDC=∠ACD=是解题的关键． 【变式3】如图，在正方形中，，点是上的一点，连结．过点作，交于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若恰为的中点，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点，于点，利用正方形性质推出，并证明四边形是矩形，进而证明，结合全等三角形性质推出，即可证明矩形是正方形； （2）连接，结合正方形性质，以及线段中点特点，推出，再利用勾股定理求出，，由（1）得，设，则，结合勾股定理求出的值，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）证明：如图，作于点，于点． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． （2）解：如图，连接， 为的中点， ， ，， 在中，， ∵四边形是正方形， ， ，即， 解得， ∴， 由（1）得，设，则． ∴， 解得(负值舍去)，即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线性质，勾股定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． 1．如图，在正方形中，对角线的长为，则该正方形的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可得，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：正方形， ， 在中，，， ∴， ∴， ∴该正方形的面积为． 2．如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形的一条对角线平分正方形的一组对角，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O， ∴，，， ∴， ∴说法不正确的只有D选项， 故选：D． 3．在如图所示的正方形中，点E在边上，把绕点C顺时针旋转得到，且，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得到，，由旋转的性质推出，求出，即可得到答案； 【详解】解：四边形是正方形， ，， 由旋转得， ， ， ， 旋转角的度数是， 故选：C． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 4．下列命题是真命题的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据几种特殊的平行四边形的判定及性质逐项判定即可． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题为假命题，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题为假命题，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题为假命题，不符合题意； D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，为真命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握几种特殊的平行四边形的判定及性质等知识是解答此题的关键． 5．如图，阴影部分为正方形，，，则四边形的面积为（   ） A．146 B．76 C．84 D．60 【答案】D 【分析】本题考查求四边形面积，涉及正方形性质、勾股定理及梯形面积公式等知识，熟记正方形性质、勾股定理及梯形面积公式等知识是解决问题的关键． 先由正方形性质得到，，在中，由勾股定理求出正方形边长，最后由梯形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：在正方形中，，， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 四边形的面积为， 故选：D． 6．如图，延长到点E，使，以正方形的对角线为一边，以为另一边作菱形．若菱形的面积为，则正方形的边长为（   ） A．2.5 B．3 C．4 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质等知识点，理解菱形的性质是解题的关键． 设正方形的边长为，则，再根据菱形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 依题意，得：，即，解得（舍去负值）． 故选C． 7．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交于点N，M．已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．首先根据已知条件设出和的长度，再利用勾股定理求出的长度，最后再次利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵正方形中， ∴， ， 设， 由题意得，， ， ， ，负值舍去， ， ， ， 故选： 8．如图，正方形由四个全等的直角三角形（），和中间一个小正方形组成，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查全等图形，勾股定理，关键是由全等三角形的性质推出，由勾股定理求出的长． 由正方形的面积公式求出，由全等三角形的性质推出，求出，由勾股定理得到． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 9．如图，在正方形中，E为上一点．若，则________． 【答案】70 【分析】由正方形的性质可得，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，平分， ， ， ． 10．如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求得，进而可得 ，结合已知可得 ，根据，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为，对角线，交于点， ，，， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 的长为． 11．如图，将一张矩形纸片对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下（剪口与折痕成度角），得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是_______． 【答案】正方形 【分析】根据图中的折叠过程保证了剪得的四边形上、下、左、右四条边都相等，且每个内角的度数均为，再由正方形的判定方法即可求解． 【详解】解：由图中的折叠过程可知剪得的四边形上、下、左、右四条边都相等，且每个内角的度数均为， 即得到的平面图形是正方形． 12．如图，四边形是正方形，延长到点，使，连接交于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，根据正方形的性质可得，根据，可得，由此即可求出，进而可得． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 13．如图，点分别在正方形的边上，，点在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识的综合，掌握正方形的性质是关键． （1）根据题意证明，即可求解； （2）根据题意证明，在中，运用勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：由，得， ∴， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 正方形 教学目标 1.理解正方形定义，掌握其边、角、对角线性质。 2.掌握正方形的判定方法。 3.理清正方形、矩形、菱形、平行四边形的从属关系。 4.能运用性质和判定进行计算与几何证明。 教学重难点 1.重点 （1）掌握正方形的双重属性（矩形 + 菱形），理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。 （2）熟记正方形的性质与判定定理，能准确区分判定条件的前提（如 “矩形 + 邻边相等”）。 （3）灵活运用面积、边长、对角线的关系进行计算。 2.难点 （1）判定定理的灵活选择：根据题干条件（如已知平行四边形 / 矩形 / 菱形），选择最简判定路径，避免逻辑混乱。 （2）综合题的辅助线添加：学会连对角线将正方形转化为等腰直角三角形，利用勾股定理或全等解题。 （3）从属关系的理解：突破 “正方形是特殊的矩形 / 菱形，矩形 / 菱形不一定是正方形” 的逻辑辨析，构建知识体系。 （4）折叠与坐标系综合题：结合方程思想，解决含未知线段的计算问题，考虑多解情况。 知识点01 正方形的性质概念与性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【即学即练】 1．正方形的一条对角线长为4，则该正方形的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．如图，正方形的边长等于4，点、分别在、边上，点关于的对称点恰好是边的中点，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 3．如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 知识点02 正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【即学即练】 1．下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边互相垂直的矩形是正方形 2．已知平行四边形的对角线、相交于点，下列补充条件中，能判定这个平行四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．下列说法中，正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 题型01 利用正方形的性质求角度 【典例1】如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，在正方形中，是上的一点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在正方形中，在的延长线上取一点E，使，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知正方形通过逆时针旋转得到正方形，，则旋转的角度是（   ） A． B． C． D． 题型02 根据正方形的性质求线段长 【典例2】如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D．9 【变式1】如图，已知正方形的边长为4，点分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式2】如图，已知正方形的边长为6，P是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【变式3】如图，在正方形中，点在的垂直平分线上，连接、，于点，，若，则的长为（  ） A．1 B． C． D． 题型03 根据正方形的性质求面积 【典例3】如图，点在正方形内，满足，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．18 B．19 C．25 D．31 【变式1】在正方形中，对角线，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在正方形中，点是上任意一点，，垂足分别为点，若该正方形的面积为50，则的值为（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式3】如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ）． A．98 B．60 C．48 D．38 题型04 添一条件使四边形是正方形 【典例4】已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（    ） A． B．平分 C． D． 【变式1】如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 题型05 正方形的判定 【典例5】如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证；． 【变式1】如图，在中，，点为其内一点，且，分别平分．若于点，于点，则四边形是正方形吗请说明理由． 【变式2】如图，菱形的对角线相交于点O，在上截取，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形是正方形． 【变式3】如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 题型06 正方形的性质与判定综合 【典例6】如图1，四边形是一个边长为4的正方形，点和分别是边和上的动点（点与点不重合，点与点不重合），且，连接，，相交于点． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，当点，运动到，的中点时，连接，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】如图，在中，的角平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【变式2】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 【变式3】如图，在正方形中，，点是上的一点，连结．过点作，交于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若恰为的中点，请求出的长． 1．如图，在正方形中，对角线的长为，则该正方形的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 2．如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在如图所示的正方形中，点E在边上，把绕点C顺时针旋转得到，且，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题是真命题的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 5．如图，阴影部分为正方形，，，则四边形的面积为（   ） A．146 B．76 C．84 D．60 6．如图，延长到点E，使，以正方形的对角线为一边，以为另一边作菱形．若菱形的面积为，则正方形的边长为（   ） A．2.5 B．3 C．4 D．12 7．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交于点N，M．已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方形由四个全等的直角三角形（），和中间一个小正方形组成，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 9．如图，在正方形中，E为上一点．若，则________． 10．如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 11．如图，将一张矩形纸片对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下（剪口与折痕成度角），得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是_______． 12．如图，四边形是正方形，延长到点，使，连接交于点，求的度数． 13．如图，点分别在正方形的边上，，点在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $