专题4.2 平行四边形及其性质（高效培优讲义）数学浙教版新教材八年级下册

本初中数学讲义聚焦平行四边形及其性质核心知识点，系统梳理定义、对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分的性质，以及边、角、对角线相关判定方法，结合平行线间距离，构建从基础到综合应用的学习支架。 资料通过“即学即练”与分层题型（典例+变式）设计，培养学生抽象能力与推理意识，综合题（如动点、折叠）发展几何直观，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题4.2 平行四边形及其性质 教学目标 1.理解平行四边形的定义，掌握其对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分的性质，能规范用数学语言表述。 2.能运用性质进行线段、角度的计算与简单几何证明。 教学重难点 1.重点 （1）平行四边形的定义，以及对边相等、对角相等、对角线互相平分三大核心性质的理解与证明。 （2）运用平行四边形的性质进行线段、角度的计算和简单几何证明。 （3）平行四边形中心对称性的理解与应用。 2.难点 （1）理解并掌握 “将平行四边形转化为三角形” 的推理思路，规范完成性质定理的演绎证明过程。 （2）平行四边形性质的灵活综合运用，尤其是在复杂图形中快速提取等量关系、选择合适性质解题。 （3）结合中心对称、对角线性质解决动点、折叠等综合问题，辅助线的合理构造。 知识点01 平行四边形的性质 1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3.对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【即学即练】 1．如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键。根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴, ∵, ∴, ∵， ∴, ∴, 故选：A． 2.如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论。 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ,, 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ,, , , , ． 3.如图，在平行四边形中，，，．的周长是（   ） A．16 B．32 C． D．24 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质：对边相等，对角线互相平分，分别求出 、、 的长，即可求出 的周长。 【详解】解：∵ 四边形 是平行四边形， ∴,,． ∵,, ∴,． ∴的周长． 知识点02 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【即学即练】 1.下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．, B．, C．, D．, 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定。需根据平行四边形的判定定理逐一分析选项。 【详解】解：A、，，相邻角相等无法保证对边平行或对角相等，不能判定为平行四边形，本选项不符合题意； B.，，邻边相等可能形成筝形或菱形，但无法保证对边相等或平行，不能判定为平行四边形，本选项不符合题意； C.，，两组对边分别相等，符合“两组对边相等的四边形是平行四边形”的判定定理，可判定为平行四边形，本选项符合题意； D.，，一组对边平行且另一组对边相等可能形成等腰梯形，而非平行四边形，本选项不符合题意； 故选：C． 2.在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可。 【详解】解：在四边形中，， A.当时，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B.当时，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； C., , 又， , 则表明， 由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； D.当时，必有，这是已知条件推导得到的必然结论，该条件没有提供新的有效信息，无法推出另一组对边平行或，即不能判定四边形是平行四边形，符合题意。 3.如图，已知，增加下列条件可使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理。根据平行四边形的判定定理即可求解。 【详解】解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形；   故选项正确，符合题意；   B．增加不能判定四边形是平行四边形；故选项不符合题意； C．增加不能判定四边形是平行四边形；故选项不符合题意；    D．增加不能判定四边形是平行四边形；故选项不符合题意； 故选：A． 知识点03平行线之间的距离与平行四边形的综合 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之 间的距离. 性质：平行线之间距离处处相等 【即学即练】 1．在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，若a与b的距离为3，a与c的距离为4，则b与c是距离为___________． 【答案】1或7 【分析】本题考查平行线之间的距离，解题的关键是理解：从一条平行线上的任意一点向另外一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等． 因为直线c的位置不明确，所以分直线a和c在直线b同侧和异侧两种情况讨论． 【详解】解：①当直线a和c在直线b的两侧时，如图， ∵a与b的距离为3，a与c的距离为4， ∴b与之间的距离为：； ②当a和c在b的同侧时，如图， ∵a与b的距离为3，a与c的距离为4， ∴a与c之间的距离为：； 综上，b与c之间的距离为1或7， 故答案为：1或7． 题型01 数图形中平行四边形的个数 【典例1】在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】首先根据已知条件找出图中的平行线，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， , ， 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可得图中平行四边形有：, 共6个． 【变式1】如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 【变式2】如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】A 【分析】本题考查了正三角形的性质和平行四边形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．根据正三角形的性质和平行四边形的定义结合题意分为当为平行四边形的对角线时，和当为平行四边形的一边时分别画图即可． 【详解】解：如图所示，当为平行四边形的对角线时，共有1种放法； 当为平行四边形的一边时，共有3 种放法．故共有4种放法， 故选：A． 【变式3】如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：图中的平行四边形为：，，，，，，，，，共个， 故选：A． 题型02 根据平行四边形的性质求边长 【典例2】如图，在中，的平分线交于点E，若，，则的长为（　　） A．15 B．11 C．20 D．52 【答案】A 【详解】解：∵的平分线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】由作图可得，则为等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，，结合勾股定理可得，由平行四边形的性质可得，结合平行线的性质得出，从而可得，即可得出结果． 【详解】解：由作图可得：， ∴为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】如图，已知在中，对角线相交于点O，若，则的周长为（   ） A．18 B．30 C．32 D．36 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的周长为． 【变式3】如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，结合平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，，即可得出，，根据等角对等边得出，，根据线段的和差关系即可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 题型03根据平行四边形的性质求角度 【典例3】如图，点，在的对角线上，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边对等角，根据等边对等角，以及三角形的外角的性质，求出的度数，平行线的性质，得到，再利用角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【变式1】如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质来建立角度关系进行计算． 利用平行四边形“对角相等”的性质，得出，再根据“邻角互补”的性质，计算出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式2】如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，由，可得，，由直角三角形两锐角互余可得，． 本题主要考查了平行四边形的性质和直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3】如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质及四边形内角和；由折叠的性质及平行四边形的性质，，，由四边形内角和即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∴， 故选：A． 题型04 根据平行四边形的性质求点坐标 【典例4】在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质．本题可根据平行四边形对边平行且相等的性质，求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵已知，， ∴的长度为，且在轴上， ∴的长度也为6，且，即平行于轴． 已知D点， 平行于轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，为5， 又∵，点的横坐标为2， ∴点的横坐标为， ∴顶点的坐标是． 故选：D． 【变式1】如图所示，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，平行四边形的性质，准确分析计算是解题的关键． 利用平行四边形的性质得出，，可看作将平移到，转化成点的平移计算即可． 【详解】四边形是平行四边形， ，，故可看作将平移到，即到，到． ，， 将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 故将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到点． ， ． 故选． 【变式2】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0， 2），（-1，-1）（2， -1），则顶点D的坐标是（    ） A．(-3， 2) B．(3， -2) C．(3， 2) D．(2， 2) 【答案】C 【分析】由B，C的坐标求解线段BC的长度，再利用平行四边形的性质可得答案． 【详解】解： 的顶点A，B，C的坐标分别是，，， ， ∵轴，， 轴， ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质”是解本题的关键． 【变式3】四边形具有不稳定性，在如图所示平面直角坐标系中，矩形的边固定在轴上， ．推动矩形得到平行四边形，点的对应点恰好落在轴上．若，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由矩形性质得到，再结合四边形的不稳定性，由平行四边形性质得到，，轴，在中，由勾股定理可得，即可得到点的对应点的坐标． 【详解】解：矩形的边固定在轴上， ， ， 推动矩形得到平行四边形，点的对应点恰好落在轴上， ，，轴， 在中，由勾股定理可得， 点的对应点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查图形与坐标，涉及平行四边形性质、矩形性质、勾股定理等知识，理解四边形的不稳定性，数形结合求出相关线段长度是解决问题的关键． 题型05 平行四边形的判定 【典例5】如图， 在四边形中， ，是边的中点，连接并延长，交延长线于点 ．若，求证：四边形 是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先根据证明，得，从而得，结合根据对边平行的四边形是平行四边形得证． 【详解】证明： 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形． 【变式1】如图，已知，，分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质和判定证得，再根据平行四边形的判定即可证得结论． 【详解】证明：， ， 又 ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【变式2】如图，点，，，在同一直线上，，，．连接，． 求证： (1)四边形是平行四边形； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意易得，，，然后可得，则有，再证明，进而问题可求证； （2）由（1）可得，然后根据平行四边形的判定定理可进行求证． 【详解】（1）证明：， ． ， ． ， ，即． 在和中， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）知， ． 又， 四边形是平行四边形． 【变式3】如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直线平行的判定与性质，平行四边形的判定，掌握相关定理与性质是解题的关键． （1）由，得到，接着证明即可得到； （2）根据题意可得，即，再证明，得到，进而根据对边平行且相等的四边形为平行四边形即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 所以四边形为平行四边形． 题型06 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【典例5】在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 【变式1】已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：设点D的坐标为，当、为平行四边形对角线或当、为对角线或、为对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：设点D的坐标为， 当、为平行四边形对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 【变式2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 【变式3】已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为___________． 【答案】 【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定D的位置． 【详解】解：由图可知，满足条件的点D坐标为 故答案为： 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 题型07 利用平行四边形的判定与性质求解 【典例7】如图，在四边形中，，，，，是的中点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据平行线的性质可知，根据中点的定义可知，可证，根据全等三角形的性质可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证结论成立； (2)利用勾股定理可得，过点作，根据三角形的面积公式可以求出，利用勾股定理可以求出，根据平行四边形的对边相等可知． 【详解】（1）证明： ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如下图所示，过点作， 平分，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， , 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的判定、勾股定理． 【变式1】如图，在四边形中，对角线，交于点O．已知，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴四边形的面积． 【变式2】如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、等边对等角等知识，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据矩形的性质和已知即可证明四边形是平行四边形； （2）先求出，由矩形的性质和等边对等角得到，最后由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 在矩形中，， ∴， 在中，． 【变式3】如图，在平行四边形中，点E，F分别在边上，，连接 (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，继而证明，则四边形是平行四边形，即可解答； （2）先证明四边形是菱形，则，，继而求出，则四边形的面积，即可解答． 【详解】（1） 证明：∵四边形平行四边形， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 如图，连接交于O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 题型08求平行线间的距离 【典例8】在同一平面内，，，是三条互相平行的直线，已知与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间的距离，因为直线的位置不明确，所以分①直线在直线、外，②直线在直线、之间两种情况讨论．解题的关键是理解：从一条平行线上的任意一点向另外一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等． 【详解】解：①当直线在直线、外时，如图， ∵与之间的距离为，与之间的距离为， ∴与之间的距离为：； ②当直线在直线、之间时，如图， ∵与之间的距离为，与之间的距离为， ∴与之间的距离为：； 综上，与之间的距离为或， 故选：C． 【变式1】平面内自上而下有三条直线a，b，c，且，若a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（    ） A．3cm B．7cm C．2cm D．5cm 【答案】B 【分析】本题考查了平行线之间的距离．由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 故选：B． 【变式2】如图，已知直线，则下列能表示直线m，n之间距离的是（　　） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离．熟练掌握平行线间的距离是解题的关键． 根据平行线间的距离定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，表示直线m，n之间距离的是线段的长， 故选：B． 题型09 利用平行线间距离解决问题 【典例9】如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且 若与的距离为，与的距离为，则的面积为__________． 【答案】 【分析】先过点作，交于，交于，由于，，易知，那么，，而，可得，根据同角的余角相等可得，根据可证，于是，，在中利用勾股定理可求，进而可求的面积． 【详解】过点作，交于，交于，如图， ，， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线之间的距离，作辅助线，构造全等三角形，并证明是解题的关键． 【变式1】如图，直线，点，位于直线上，点，位于直线上，且，如果的面积为，那么的面积为________．    【答案】20 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可得点C到与点B到的距离相等，设点C到与点B到的距离为h，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点C到与点B到的距离相等， 设点C到与点B到的距离为h， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为20， 故答案为：20． 【变式2】如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为________． 【答案】/ 【分析】此题主要考查利用平行线的间距解决问题，三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，连接，由，，可得出，进一步可得出，同理：，则． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴； 同理： ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，在四边形中，，对角线交于点，若的面积为，的面积为，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线间的距离相等，三角形的面积，由可得点、点到的距离相等，即得，进而得到，求出即可求解，掌握平行线之间的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点、点到的距离相等， ∴， ∴， 即， ∵的面积为，的面积为， ∴， ∴， 故答案为： 1．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，由平行四边形对边平行结合平行线的性质可得，则由已知条件可得，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．两组对边分别相等 C．对角线相等 D．中心对称性 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称以及平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分．根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分，平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是其对称中心； ∴平行四边形不一定具有的性质对角线相等． 故选：C． 3．如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形，A正确，符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意； 当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意； 故选：A． 4．北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形． 北北的作法： 如图1，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点E，再以点D为圆心，为半径作弧交边于点F，连结，则得到的四边形是菱形． 仑仑的作法： 如图2，在中，以点D为圆心，为半径作弧交边于点G，再以点G为圆心，为半径作弧交边于点H，连结，则得到的四边形是菱形． 下列说法正确的是（   ） A．北北和仑仑的作法都正确 B．北北和仑仑的作法都错误 C．北北的作法正确，仑仑的作法错误 D．北北的作法错误，仑仑的作法正确 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由北北的作法得，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形，得北北的作法正确，由仑仑的作法得，无法通过一组对边平行一组对边相等证明四边形是平行四边形，故仑仑的作法错误，即可作答． 【详解】解：由北北的作法得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故北北的作法正确； 由仑仑的作法得 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴无法证明四边形是平行四边形， ∴更无法证明四边形是菱形， 故仑仑的作法错误， 故选：C 5．如图，在中，平分，，，则的周长是（   ） A．16 B．14 C．20 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的等角对等边是解答的关键．根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，等腰三角形的判定求得即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故选：C． 6．如图，在中，对角线，相交于点，．若，则的长为（　　） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的运用，掌握平行四边形的性质是关键． 根据题意得到，则，由勾股定理得，，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 7．如图，是直线上一动点，，是直线上的两个定点，且直线，对于下列各值：点到直线的距离；的周长；的面积；的度数其中不会随点的移动而变化的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线间的距离，解题关键是明确平行线间的距离相等；直接根据平行线间的距离相等判断即可． 【详解】解：直线， 点到直线的距离不会随点的移动而变化；故符合题意； 、的长度随点的移动而变化， 的周长会随点的移动而变化，故不符合题意； 点到直线的距离不变，的大小不变， 的面积不变，故符合题意； 直线，之间的距离不随点的移动而变化，的大小随点的移动而变化， 故不符合题意； 综上所述，不会随点的移动而变化的是． 故选：． 8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，各小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，P都在格点上，且点P在的外部，，，的面积都相等，则满足条件的点P的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，根据网格的特点得到，，证明出四边形是平行四边形，得到的面积等于的面积，同理得到，，的面积都相等，进而求解即可． 【详解】如图所示， 由网格可得，， ∴四边形是平行四边形 ∴的面积等于的面积 同理可得，四边形，是平行四边形 ∴的面积等于，的面积 ∴，，的面积都相等 ∴满足条件的点P的个数为3个． 故选：C． 9．观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是 _______ ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查平行四边形的判定，由平行四边形的判定方法，即可判断． 【详解】解：①、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的上下一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故①不符合题意； ②、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的左右一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故②不符合题意； ③、由同旁内角互补，两直线平行，判定四边形的上下一组对边平行，并且上下一组对边相等，判定四边形是平行四边形，故③符合题意． ∴判定四边形一定是平行四边形的只有③． 故答案为：③． 10．如图，在中，，分别是，边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．由，可知，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 11．如图1，在平行四边形纸片中，，对角线，且，作于，将纸片沿剪开后得到纸片①②③．如图2，先让②③两张纸片的较大锐角完全重叠，再让①③的长直角边重叠且保证C，E两点重合，最后摆成了“”型图，若图2中纸片①的斜边恰好经过纸片②的顶点，则的长度为_______，的长度为_______． 【答案】 1 /2.5 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的性质，勾股定理，理解图形是解题的关键． 易证为斜边上的中线，则．设，则．由，，可得，解得．所以． 【详解】解：根据图1和图2，可得 为边上的中线，， ∵平行四边形，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， 解得， ∴，即． 故答案为：①1，②． 12．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的各个性质是解题关键． （1）由平行四边形的性质结合角平分线的定义证得，即可求解； （2）由平行四边形的性质结合角平分线的定义可得，再求出，即可求解的长． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，，， 平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ． 13．如图，点E是的边的中点，延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形性质、勾股定理，掌握定理以及性质是解题的关键． （1）要证明即可证明； （2）根据（1）中的结论和勾股定理、平行四边形的性质可以求得的长． 【详解】（1）明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得． 14．如图，在四边形中，，，，，．动点M从点B出发沿边以每秒1个单位的速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． (1)请求出的长； (2)是否存在t的值，使得四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)连接，，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)存在， (3)， 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先过点作，证明四边形是矩形，得，运用度所对的直角边是斜边的一半，得，即可作答． （2）依题意，得，结合平行四边形的性质得，代入数值计算，即可作答． （3）先整理，结合是以为腰的等腰三角形，进行分类讨论，运用勾股定理列式计算，以及根据判别式的意义进行作答即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ （2）解：存在，理由如下： 如图，连接， ∵动点M从点B出发沿边以每秒1个单位的速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得； （3）解：连接，如图所示： 由（1）得， 由（2）得， 则， ∴， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴当时，则， ∴， 则， 整理得， ， ∴当时，过点作， 同理证明四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵ 则， ∴， 整理得 ， 此时方程无解， 综上：满足题意的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 平行四边形及其性质 教学目标 1.理解平行四边形的定义，掌握其对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分的性质，能规范用数学语言表述。 2.能运用性质进行线段、角度的计算与简单几何证明。 教学重难点 1.重点 （1）平行四边形的定义，以及对边相等、对角相等、对角线互相平分三大核心性质的理解与证明。 （2）运用平行四边形的性质进行线段、角度的计算和简单几何证明。 （3）平行四边形中心对称性的理解与应用。 2.难点 （1）理解并掌握 “将平行四边形转化为三角形” 的推理思路，规范完成性质定理的演绎证明过程。 （2）平行四边形性质的灵活综合运用，尤其是在复杂图形中快速提取等量关系、选择合适性质解题。 （3）结合中心对称、对角线性质解决动点、折叠等综合问题，辅助线的合理构造。 知识点01 平行四边形的性质 1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3.对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【即学即练】 1．如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 2.如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3.如图，在平行四边形中，，，．的周长是（   ） A．16 B．32 C． D．24 知识点02 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【即学即练】 1.下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．, B．, C．, D．, 2.在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3.如图，已知，增加下列条件可使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 知识点03平行线之间的距离与平行四边形的综合 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之 间的距离. 性质：平行线之间距离处处相等 【即学即练】 1．在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，若a与b的距离为3，a与c的距离为4，则b与c是距离为___________． 题型01 数图形中平行四边形的个数 【典例1】在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【变式3】如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 题型02 根据平行四边形的性质求边长 【典例2】如图，在中，的平分线交于点E，若，，则的长为（　　） A．15 B．11 C．20 D．52 【变式1】如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【变式2】如图，已知在中，对角线相交于点O，若，则的周长为（   ） A．18 B．30 C．32 D．36 【变式3】如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型03根据平行四边形的性质求角度 【典例3】如图，点，在的对角线上，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 题型04 根据平行四边形的性质求点坐标 【典例4】在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0， 2），（-1，-1）（2， -1），则顶点D的坐标是（    ） A．(-3， 2) B．(3， -2) C．(3， 2) D．(2， 2) 【变式3】四边形具有不稳定性，在如图所示平面直角坐标系中，矩形的边固定在轴上， ．推动矩形得到平行四边形，点的对应点恰好落在轴上．若，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型05 平行四边形的判定 【典例5】如图， 在四边形中， ，是边的中点，连接并延长，交延长线于点 ．若，求证：四边形 是平行四边形． 【变式1】如图，已知，，分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形． 【变式2】如图，点，，，在同一直线上，，，．连接，． 求证： (1)四边形是平行四边形； (2)四边形是平行四边形． 【变式3】如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 题型06 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【典例5】在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 【变式1】已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【变式2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【变式3】已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为___________． 题型07 利用平行四边形的判定与性质求解 【典例7】如图，在四边形中，，，，，是的中点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 【变式1】如图，在四边形中，对角线，交于点O．已知，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 【变式2】如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【变式3】如图，在平行四边形中，点E，F分别在边上，，连接 (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 题型08求平行线间的距离 【典例8】在同一平面内，，，是三条互相平行的直线，已知与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式1】平面内自上而下有三条直线a，b，c，且，若a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（    ） A．3cm B．7cm C．2cm D．5cm 【变式2】如图，已知直线，则下列能表示直线m，n之间距离的是（　　） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 题型09 利用平行线间距离解决问题 【典例9】如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且 若与的距离为，与的距离为，则的面积为__________． 【变式1】如图，直线，点，位于直线上，点，位于直线上，且，如果的面积为，那么的面积为________．    【变式2】如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为________． 【变式3】如图，在四边形中，，对角线交于点，若的面积为，的面积为，则的面积是______． 1．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．两组对边分别相等 C．对角线相等 D．中心对称性 3．如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 4．北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形． 北北的作法： 如图1，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点E，再以点D为圆心，为半径作弧交边于点F，连结，则得到的四边形是菱形． 仑仑的作法： 如图2，在中，以点D为圆心，为半径作弧交边于点G，再以点G为圆心，为半径作弧交边于点H，连结，则得到的四边形是菱形． 下列说法正确的是（   ） A．北北和仑仑的作法都正确 B．北北和仑仑的作法都错误 C．北北的作法正确，仑仑的作法错误 D．北北的作法错误，仑仑的作法正确 5．如图，在中，平分，，，则的周长是（   ） A．16 B．14 C．20 D．24 6．如图，在中，对角线，相交于点，．若，则的长为（　　） A． B．2 C． D．2 7．如图，是直线上一动点，，是直线上的两个定点，且直线，对于下列各值：点到直线的距离；的周长；的面积；的度数其中不会随点的移动而变化的是（   ）    A． B． C． D． 8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，各小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，P都在格点上，且点P在的外部，，，的面积都相等，则满足条件的点P的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是 _______ ．（填序号） 10．如图，在中，，分别是，边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为______． 11．如图1，在平行四边形纸片中，，对角线，且，作于，将纸片沿剪开后得到纸片①②③．如图2，先让②③两张纸片的较大锐角完全重叠，再让①③的长直角边重叠且保证C，E两点重合，最后摆成了“”型图，若图2中纸片①的斜边恰好经过纸片②的顶点，则的长度为_______，的长度为_______． 12．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)若，，求线段的长． 13．如图，点E是的边的中点，延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 14．如图，在四边形中，，，，，．动点M从点B出发沿边以每秒1个单位的速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． (1)请求出的长； (2)是否存在t的值，使得四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)连接，，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出此时t的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $