专题4.1 多边形（高效培优讲义）数学浙教版新教材八年级下册

本讲义聚焦多边形核心知识，系统梳理多边形及正多边形概念、四边形不稳定性，深入讲解对角线（n-3条/顶点、n(n-3)/2条总数）、内角和（(n-2)×180°）与外角和（360°）公式，构建从概念到公式应用的学习支架。 资料设计“即学即练”即时巩固，“典例+变式”分层训练，结合木工六角尺、机器人行走等实例培养数学眼光，通过截角问题、复杂图形内角和等题型提升数学思维，助力教师授课与学生课后查漏补缺。

专题4.1 多边形 教学目标 理解多边形、内角、外角、对角线的概念；掌握多边形内角和公式与外角和定理；能进行简单角度计算。 教学重难点 1.重点 （1）掌握内角和、外角和、对角线条数公式，能解决边数、角度计算问题。 （2）学会在四边形中添加辅助线，将四边形转化为三角形或平行四边形求解 2.难点 （1）多边形对角线的条数问题 （2）多边形内角与外角综合运算 知识点01 多边形的相关概念和性质 1.定义 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2） 正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 2.性质:四边形具有不稳定性 【即学即练】 1．四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 知识点02 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 【即学即练】 1．若边形的每一个外角都是，则此边形的对角线总共有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 2．从多边形的一个顶点出发，最多可以作4条对角线，这个多边形的边数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 知识点03 多边形的内角和与外角和 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 （3）n 边形的外角和： 360° （4）正多边形每个外角的度数： 【即学即练】 1．一个正多边形的每个内角都等于，那么它是（    ） A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 2．已知一个正多边形的内角和为1800°，则这个多边形是（　　） A．正六边形 B．正十二边形 C．正八边形 D．正十边形 3．如图是某品牌的一款木工六角尺，它是一种多角度的测量工具，通常用于木工和其他精细工艺中．此款六角尺各角上标的度数实际是这个角对应的外角大小，已经标出的五个度数有，则未标度数的角处应填______． 题型01 四边形的不稳定性 【典例1】2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【变式1】如图，我们铁岭三中的电动伸缩校门利用的数学原理是（  ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【变式2】四边形没有稳定性，当四边形的形状发生改变时，发生变化的是（    ） A．四边形的外角和 B．四边形的边长 C．四边形的周长 D．四边形的对角线长 题型02 多边形对角线的条数问题 【典例2】过六边形的一个顶点可以引出几条对角线（    ） A． B． C． D． 【变式1】从多边形的一个顶点出发的对角线一共有7条，则这个多边形是（       ） A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形 【变式2】已知一个多边形从一个顶点只可以引出条对角线，那么这个多边形有（     ）条边． A． B．6 C． D．8 【变式3】九边形的对角线的条数是（       ） A．25 B．26 C．27 D．28 题型03 对角线分成的三角形个数问题 【典例3】过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了 4 个三角形，则这个多边形的边数是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】如果从多边形的一个顶点可以画出a条对角线，那么这a条对角线把该多边形分成的三角形的个数为（   ） A．a B． C． D． 【变式2】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 【变式3】过n边形的一个顶点可以画出10条对角线，将它分成m个小三角形，则的值是________． 题型04 多边形内角和问题 【典例4】历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式2】若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【变式3】如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则为（    ） A． B． C． D． 题型05 多边形截角后的问题 【典例5】若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 【变式1】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．7或8 B．8或9 C．7或9 D．7或8或9 【变式2】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【变式3】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 题型06 复杂图形的内角和 【典例6】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，的度数为___________． 【变式2】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 题型07 多边形外角和的实际应用 【典例7】一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为_____s． 【变式1】如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进3m到点处后又向右转，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了___________ 【变式2】冰裂纹是苏州园林花窗的一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．图是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图是该花窗中的部分图案．已知，，，则_____． 【变式3】完美五边形是指能够与其他一模一样的五边形拼合起来，既不重叠也不留缝隙，密铺出一个平面的五边形，如图是完美五边形的示意图，是完美五边形的外角，已知，则___________． 题型08 多边形内角和与外角和综合 【典例8】一个多边形的内角和比它的外角和的5倍多，求这个多边形的边数． 【变式1】一个多边形的所有内角与它的外角和的和是 (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数． 【变式2】已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【变式3】已知一个多边形的边数为． (1)若多边形的内角和为，求的值； (2)若多边形的每一个外角度数均为，求这个多边形的内角和． 1．已知一个四边形，它的外角和的度数是（   ） A． B． C． D． 2．一个边形的内角和为，则的值为（        ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 4．要使一个多边形具有稳定性，从该多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 5．如图，在五边形中，，直线与五边形的边分别相交于点则（    ） A． B． C． D． 6．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形的一个顶点的对角线条数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．若一个多边形的内角和为其外角和的2倍，则这个多边形为（　　） A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形 8．若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是______． 9．如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接，若，则等于______． 10．如图，五边形的一个内角是五边形的外角，则等于___________°． 11．若一个正多边形的内角和加上它的外角和等于900°，求这个正多边形的边数． 12．如图，在五边形中，平分，平分． (1)五边形的内角和为______度； (2)若，，，求的度数． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 多边形 教学目标 理解多边形、内角、外角、对角线的概念；掌握多边形内角和公式与外角和定理；能进行简单角度计算。 教学重难点 1.重点 （1）掌握内角和、外角和、对角线条数公式，能解决边数、角度计算问题。 （2）学会在四边形中添加辅助线，将四边形转化为三角形或平行四边形求解 2.难点 （1）多边形对角线的条数问题 （2）多边形内角与外角综合运算 知识点01 多边形的相关概念和性质 1.定义 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2） 正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 2.性质:四边形具有不稳定性 【即学即练】 1．四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【答案】A 【分析】四边形的不稳定性是指在边长固定的情况下，其形状可以发生改变，导致内角发生变化，而周长和内角和保持不变． 根据稳定性的变化逐一判断即可． 【详解】A：四边形边长固定时，通过调整形状，内角会改变，体现不稳定性，故A正确； B：不稳定性指边长固定时形状改变，边长本身不变，故B错误； C：周长是边长的总和，边长固定则周长不变，故C错误； D：四边形的内角和恒为，与形状无关，故D错误； 故选：A． 知识点02 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 【即学即练】 1．若边形的每一个外角都是，则此边形的对角线总共有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，首先利用多边形的每一个外角的度数求得多边形的边数，再求出此多边形的对角线的条数即可，解题的关键是熟悉边形对角线的条数的规律． 【详解】解：由题意得：， ∴对角线总条数为（条）， 故选：． 2．从多边形的一个顶点出发，最多可以作4条对角线，这个多边形的边数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，从边形的一个顶点出发，最多可以作条对角线，据此即可求解． 【详解】解：∵从边形的一个顶点出发，最多可以作条对角线， ∴这个多边形的边数为：， 故选：D． 知识点03 多边形的内角和与外角和 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 （3）n 边形的外角和： 360° （4）正多边形每个外角的度数： 【即学即练】 1．一个正多边形的每个内角都等于，那么它是（    ） A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形内角与外角的关系，由正多边形的每个内角求出对应的外角，再利用外角和为计算边数。 【详解】解：∵每个内角为， ∴每个外角为， ∴边数为， 故该正多边形是正十二边形， 故选：． 2．已知一个正多边形的内角和为1800°，则这个多边形是（　　） A．正六边形 B．正十二边形 C．正八边形 D．正十边形 【答案】B 【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°列方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形为n边形，由题意，得 (n-2)•180=1800， 解得n=12， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，熟记多边形内角和公式是解题的关键． 3．如图是某品牌的一款木工六角尺，它是一种多角度的测量工具，通常用于木工和其他精细工艺中．此款六角尺各角上标的度数实际是这个角对应的外角大小，已经标出的五个度数有，则未标度数的角处应填______． 【答案】 【分析】本题考查的是多边形的外角和的应用，根据多边形的外角和为，直接列式计算即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴未标度数的角处应填：； 故答案为： 题型01 四边形的不稳定性 【典例1】2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的性质在实际生活中的应用，理解不同的几何图形的特性是解决本题的关键． 由不同的几何图形的性质：三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，根据“伸缩自如，灵活性强”分析即可． 【详解】解：因为登月探测器的机械臂伸缩自如，灵活性强， 所以其设计需利用四边形的不稳定性来实现伸缩功能． 故选：B ． 【变式1】如图，我们铁岭三中的电动伸缩校门利用的数学原理是（  ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】本题考查了四边形的性质，根据电动伸缩门的工作原理，结合四边形的不稳定性即可得到答案，熟练掌握四边形的相关知识的解题的关键． 【详解】解：∵电动伸缩门的整体形状为四边形，且电动伸缩门的长度可以伸长和变短， ∴利用的数学原理是四边形的不稳定性， 故选：． 【变式2】四边形没有稳定性，当四边形的形状发生改变时，发生变化的是（    ） A．四边形的外角和 B．四边形的边长 C．四边形的周长 D．四边形的对角线长 【答案】D 【分析】根据四边形具有不稳定性，形状改变时，变的是内角的度数，边长不发生变化，即可进行解答． 【详解】解：当四边形的形状发生改变时，四边形的外角和、四边形的边长、四边形的周长不会发生变化，四边形的对角线长会变化； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握四边形的不稳定性． 题型02 多边形对角线的条数问题 【典例2】过六边形的一个顶点可以引出几条对角线（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据边形的一个顶点可以引出条对角线，即可求解． 【详解】解：过六边形的一个顶点可以引出对角线的数量为条． 【变式1】从多边形的一个顶点出发的对角线一共有7条，则这个多边形是（       ） A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形 【答案】C 【分析】从边形的一个顶点出发，除去自身和相邻两个顶点，一共可以引出条对角线，据此求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得， 解得， 因此这个多边形是十边形． 【变式2】已知一个多边形从一个顶点只可以引出条对角线，那么这个多边形有（     ）条边． A． B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查多边形的对角线，掌握相关知识是解决问题的关键．一个多边形从一个顶点引出的对角线数量等于总边数减3． 【详解】解：设多边形有n条边， 从一个顶点引出的对角线数为，且给定引出4条对角线， ， ， 因此多边形有7条边． 故选：A． 【变式3】九边形的对角线的条数是（       ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】C 【分析】根据多边形对角线条数公式计算即可． 【详解】解： 因此九边形对角线的条数为27． 题型03 对角线分成的三角形个数问题 【典例3】过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了 4 个三角形，则这个多边形的边数是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据过n边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵过边形的一个顶点的所有对角线把边形分成个三角形， 又由题可知，分得三角形的个数为， ∴可得方程 ， 解得． 即这个多边形的边数为6． 【变式1】如果从多边形的一个顶点可以画出a条对角线，那么这a条对角线把该多边形分成的三角形的个数为（   ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线，将n边形分为个三角形．据此求解即可． 【详解】解：设该多边形为边形， ∵从一个顶点可以作条对角线， ∴， ∴， ∵这a条对角线把该多边形分成的三角形的个数为， ∴三角形个数为． 【变式2】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查多边形的剖分．多边形的三角剖分是将边形用不相交的对角线划分为若干个三角形，每个三角形由多边形的边和对角线组成，根据多边形性质，剖分后三角形个数为． 【详解】解：对于一个边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数是个，这是多边形三角剖分的基本性质， 故答案为：． 【变式3】过n边形的一个顶点可以画出10条对角线，将它分成m个小三角形，则的值是________． 【答案】24 【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据过n边形的一个顶点可以画出条对角线，分成个三角形，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：24． 题型04 多边形内角和问题 【典例4】历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据边形的内角和为，进行求解即可. 【详解】解：. 【变式1】若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】利用公式列方程即可求解． 【详解】解：设多边形边数为， 根据题意列方程得， 解得， ∴这个多边形的边数是． 【变式2】若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】A 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：． 解得：． 所以这个多边形是七边形． 【变式3】如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和的知识，首先确定五边形的内角和为，然后根据求解即可． 【详解】解：根据题意，图中建筑可近似地看成一个五边形， 则其内角和为， ∵，， ∴ ． 故选：C． 题型05 多边形截角后的问题 【典例5】若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 【答案】D 【分析】根据多边形截角的不同情况（截线不过顶点、过一个顶点、过两个顶点），分析原多边形边数的可能情况．本题主要考查了多边形截角后边数的变化情况，熟练掌握多边形截角的三种不同情况是解题的关键． 【详解】解：一个多边形截去一个角，有三种情况： 截线不过任何顶点，此时边数增加，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过一个顶点，此时边数不变，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过两个顶点，此时边数减少，若截后是十四边形，则原多边形边数为． ∴ 原来的多边形的边数可能为或或． 故选：D． 【变式1】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．7或8 B．8或9 C．7或9 D．7或8或9 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，熟练掌握一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1、可能减少1或不变是解题的关键．求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设切去一角后的多边形为n边形． 则， 解得：， ∵一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1， ∴原多边形的边数可能为7或8或9， 故选：D． 【变式2】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 【变式3】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 题型06 复杂图形的内角和 【典例6】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式1】如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 题型07 多边形外角和的实际应用 【典例7】一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为_____s． 【答案】 【分析】本题中由于机器人最后必须回到起点，可知此机器人一共转了，得出机器人的行走路线是沿着一个正八边形的边长行走一周． 【详解】解：依据题中的图形，可知机器人一共转了， ∵， ∴机器人一共行走． ∴该机器人从开始到停止所需时间为． 【变式1】如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进3m到点处后又向右转，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了___________ 【答案】 【分析】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理是解决问题的前提．根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出多边形的周长即可． 【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个每条边都相等的多边形， 由于多边形的外角和是，且每一个外角为， ， 所以它是一个十八边形，且每条边都相等， 因此所走的路程为， 故答案为：． 【变式2】冰裂纹是苏州园林花窗的一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．图是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图是该花窗中的部分图案．已知，，，则_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的外角和，根据三角形内角和定理得，由平行线的性质得，根据多边形的外角和是即可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3】完美五边形是指能够与其他一模一样的五边形拼合起来，既不重叠也不留缝隙，密铺出一个平面的五边形，如图是完美五边形的示意图，是完美五边形的外角，已知，则___________． 【答案】/285度 【分析】本题考查了多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形外角和为． 利用多边形外角和为，结合已知，求出的度数． 【详解】， ， 故答案为：． 题型08 多边形内角和与外角和综合 【典例8】一个多边形的内角和比它的外角和的5倍多，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数是13 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和．n边形的内角和为，外角和为．根据“内角和比它的外角和的5倍多”列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， ， 解得， 答：这个多边形的边数是13． 【变式1】一个多边形的所有内角与它的外角和的和是 (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数． 【答案】(1)该多边形的边数为6 (2) 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和． （1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可； （2）利用（1）的结论，根据多边形的外角和定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为6； （2）解：由（1）可得该多边形是正六边形， 每一个外角的度数． 【变式2】已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)5 (2)或或 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式、外角和是列方程求解即可； （2）由题意分情况讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是； （2）解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了． 截完后所形成的新多边形的边数可能是或或， ①当多边形为四边形时，其内角和为； ②当多边形为五边形时，其内角和为； ③当多边形为六边形时，其内角和为； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【变式3】已知一个多边形的边数为． (1)若多边形的内角和为，求的值； (2)若多边形的每一个外角度数均为，求这个多边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式与外角和定理，熟练掌握多边形内角和公式（且为整数 ）以及多边形外角和为是解题的关键． （1）根据多边形内角和公式（且为整数 ），已知内角和为，通过列方程求解的值． （2）因为多边形外角和是固定的，已知每个外角度数为，先求出边数，再利用内角和公式计算内角和． 【详解】（1）解：多边形内角和公式为，且内角和为 （2）解：多边形外角和为，每个外角是 边数 又多边形内角和公式为 内角和为 1．已知一个四边形，它的外角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】牢记“任意多边形的外角和恒为”，直接利用该定理即可确定四边形的外角和度数． 【详解】解：任意多边形的外角和恒为，四边形是多边形， 四边形的外角和度数为， 故选：． 2．一个边形的内角和为，则的值为（        ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查多边形内角和定理，利用边形内角和公式列一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵边形的内角和公式为，已知该多边形内角和为， ∴列方程得， 方程两边同时除以得， 解得． 3．已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查多边形对角线的条数问题，根据过n边形一个顶点的对角线数量公式：条（n为多边形边数且）进行解答即可． 【详解】解：∵过n边形一个顶点的对角线数量为条（） 又∵该多边形是十一边形，即 ∴过其一个顶点的对角线数量为条 故选：B 4．要使一个多边形具有稳定性，从该多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，设多边形的边数为n，根据n边形从一个顶点出发画对角线，可分成个三角形进行计算． 【详解】解：设多边形的边数为n，则： ， 解得． 故选：C． 5．如图，在五边形中，，直线与五边形的边分别相交于点则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角，对顶角等知识，熟练掌握以上知识点是关键．根据正五边形的性质和多边形内角和定理求出，根据四边形内角和是求出，然后根据邻补角定义和对顶角性质求解即可． 【详解】解：由正五边形性质可知， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形的一个顶点的对角线条数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：A ． 7．若一个多边形的内角和为其外角和的2倍，则这个多边形为（　　） A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和定理和外角和．多边形的外角和是，则内角和是．设这个多边形是n边形，内角和是，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 ， 解得：，即这个多边形为六边形． 故选：A． 8．若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是______． 【答案】4 【分析】设该多边形的边数为，根据“内角和与外角和之和是”列方程求解． 【详解】解：设该多边形的边数为， 根据题意得，． 解得． ∴该多边形的边数是4． 9．如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接，若，则等于______． 【答案】 【分析】根据得出，根据四边形内角和即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴． 10．如图，五边形的一个内角是五边形的外角，则等于___________°． 【答案】288 【分析】首先根据邻补角的性质求出 的外角，然后利用多边形的外角和定理，用减去 的外角，即可得到 的度数． 【详解】解：∵， ∴ 的外角为， ∵ 五边形的外角和为 ， ∴． 11．若一个正多边形的内角和加上它的外角和等于900°，求这个正多边形的边数． 【答案】5 【分析】根据多边形的内角和公式与外角和定理列式求解即可．本题考查了多边形的内角和与外角和定理，熟记多边形的内角和公式以及外角和定理是解题的关键． 【详解】设这个多边形的边数是， 则， 解得． ∴这个正多边形的边数是5． 12．如图，在五边形中，平分，平分． (1)五边形的内角和为______度； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形的内角和问题，与角平分线有关的计算，三角形的内角和定理： （1）根据多边形的内角和公式，进行计算即可； （2）根据（1）中结果，求出的度数，角平分线的定义，求出的度数，三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $