专题5.2 菱形（高效培优讲义）数学浙教版八年级新教材下册

专题5.2 菱形 教学目标 1.理解菱形定义，掌握边、角、对角线的性质。 2.熟记菱形三种判定方法。 3.会用菱形性质进行计算和几何证明。 4.能区分菱形与平行四边形、矩形的异同 教学重难点 1.重点 （1）菱形性质的应用 （2）菱形的判定 （3）菱形性质与判定的互逆应用 （4）掌握中点四边形的性质 2.难点 （1）性质混淆：易与矩形对角线性质混淆（菱形对角线垂直，矩形对角线相等）。 （2）判定易错点：忽略判定前提，如直接用 “对角线垂直” 证菱形，未先证平行四边形。 （3）综合应用：结合对角线性质构造直角三角形，求解边长、角度；添加辅助线（连对角线）转化问题 知识点01 菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【即学即练】 1．如图，菱形的对角线交于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（   ） A．3 B．5 C．6 D．12 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得，则可证明是等边三角形，即可得到． 【详解】解：∵四边形是菱形，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在y轴的正半轴上，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长，交轴于点D，根据菱形的性质得出，，根据点A的坐标为，求出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：延长，交轴于点D，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点C在y轴的正半轴上， ∴轴， 即轴， ∵点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 知识点02 菱形形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【即学即练】 1．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用菱形四边相等、对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线的长度，再用菱形面积等于对角线乘积一半的公式计算面积． 【详解】解：∵菱形周长为，且菱形四条边相等， ∴菱形边长为 ． ∵菱形一条对角线长为，且菱形对角线互相垂直平分， ∴该对角线的一半长为 ． 根据勾股定理，可得另一条对角线的一半长为， 因此另一条对角线长为 ， ∴菱形面积为． 知识点03 菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形 【即学即练】 1．在中，相交于点，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴是菱形；不符合题意； B、∵，， ∴是菱形；不符合题意； C、∵，， ∴是矩形，不能判定是菱形；符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形；不符合题意； 故选C． 知识点04 中点四边形 1.定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形。 2.核心依据：三角形中位线定理（中位线平行且等于第三边的一半）。 3.形状规律（由原四边形对角线决定） ①任意四边形→中点四边形是平行四边形 ②对角线相等→中点四边形是菱形 ③对角线垂直→中点四边形是矩形 ④对角线相等且垂直→中点四边形是正方形 【关键结论】 ①所有中点四边形至少是平行四边形 ②周长=原四边形两条对角线长度之和 ③面积=原四边形面积的 【即学即练】 1．如图，在四边形中，点分别是各边的中点．甲说：若四边形是矩形，则四边形是菱形；乙说：若四边形是菱形，则四边形是矩形．下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】B 【分析】连接，根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线的性质可得，即可判断甲；四边形是菱形，只能判断，无法得到四边形是矩形． 【详解】解：如图，连接， ， 若四边形是矩形，则， 点分别是各边的中点， ， 四边形是菱形，故甲说法正确； 若四边形是菱形，则， ， 无法证明四边形是矩形，故乙说法错误． 2．顺次连接菱形各边的中点得到的四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】连接菱形的两条对角线，利用三角形中位线定理先证明所得四边形是平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，证明平行四边形有一个内角为直角，根据矩形的判定定理得到结果． 【详解】解：设菱形中，，，，分别是，，，的中点，连接，． ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理可得：，，，． ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 题型01 利用菱形的性质求角度 【典例1】如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交BC边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由菱形的性质得，可得，由作图过程可知，所作直线为线段的垂直平分线，可得，则，即可得． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴． 由作图过程可知，所作为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】如图，在菱形中，点，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质． 根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ，． 在和中， ， ． ， ， ． ，， ， ． 故选：A． 【变式2】如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，所以在菱形中，，即，在中，因为，三角形内角和为，所以，因为菱形的对边平行，即，根据两直线平行，内错角相等，所以． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，即，， 在中，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式3】如图，在菱形中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是利用菱形的性质求出角的度数，再结合等腰三角形的性质计算． 先根据菱形的性质求出的度数，再结合，利用等腰三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：四边形是菱形， 平分， ， ， 又 ， 是等腰三角形，， ． 故选：B． 题型02 根据菱形的性质求线段长 【典例2】如下图，菱形中，，，则的长为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质得出，根据即可得出是等边三角形，由等边三角形的性质即可得出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【变式1】已知菱形的周长为36，则边长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用菱形四条边相等的性质即可计算出边长． 【详解】解：∵菱形的四条边长度相等， ∴菱形周长边长， ∵已知该菱形周长为36， ∴边长． 【变式2】如图，菱形中，交于O，于E，连接，若，菱形周长为40，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据菱形的周长求出边长，利用菱形对角线互相垂直平分求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】在菱形中，其周长为40，， ∴，，， 在中，， ∴，即，点是的中点 ∵， ∴． 【变式3】如图，菱形的两条对角线、相交于点，点在上，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由菱形的性质得到，， 在中，利用勾股定理求出的长，根据求出的长， 在中，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， 在中，， ， ， ， 在中，． 题型03 根据萎形的性质求面积 【典例3】如图，菱形中，，，则菱形的面积为（   ） A．96 B．48 C．24 D．12 【答案】C 【分析】根据菱形的面积等于菱形对角线长度乘积的一半，即可求解． 【详解】解：根据题意得：菱形的面积为． 【变式1】如图，和是菱形的对角线．若，，则菱形的面积为（）　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由菱形的性质可得，，，则，然后通过勾股定理求出，所以，最后根据菱形的面积为即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【变式2】如图，四边形是菱形，，，于点，则的长度为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ，， ， ， 菱形的面积， 故选B． 题型04 添一条件使四边形是矩形 【典例4】在四边形中，，，则添加下列条件，能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件判定四边形是平行四边形，再结合菱形的判定定理判断选项即可． 【详解】解：∵在四边形中，，，四边形内角和为， ∴，即， 可得，同理可得， ∴四边形是平行四边形， 对各选项分析如下： 选项A：若，平行四边形是矩形，不能判定为菱形； 选项B： ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故平行四边形是菱形，符合要求； 选项C：若，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定为菱形； 选项D：平行四边形对边本来相等，是平行四边形的固有性质，无法判定为菱形． 【变式1】如图，下列四个条件中，能判定平行四边形为菱形的是（　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的判定定理和矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．在平行四边形中，，不能判定四边形为菱形，故选项A不符合题意； B．在平行四边形中，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即B选项正确，符合题意； C．由四边形是平行四边形，则，结合可得，即平行四边形是矩形，不是菱形，故选项C不符合题意； D.在平行四边形中，，不能判定四边形为菱形，故选项D不符合题意． 【变式2】下列四个条件中，能使如图所示的是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断即可． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴当时，是菱形． 故选：B． 【变式3】下列选项中能使成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．由菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：如图， A、∵四边形是平行四边形， ∴，故选项A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴为菱形，故选项B符合题意； C、∵四边形是平行四边形，， ∴为矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，， ∴为矩形，故选项D不符合题意； 故选：B． 题型05 菱形的判定 【典例5】如图，在中，，为的中线．，，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】根据，，得出四边形为平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，即可证明四边形为菱形． 【详解】证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中线， ∴， ∴四边形为菱形． 【变式1】如图，在平行四边形中，点分别在边上，，与相交于点． (1)求证：． (2)如果．求证：四边形是一个菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质得出 ，，，，证明 得到 ，从而，结合 证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分即可证得 ． (2) 由可得，根据 推出，得到 ，从而证得四边形是菱形． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵ ， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴四边形 是菱形． 【变式2】如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，接着根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【变式3】如图，菱形的对角线相交于点O，点E在线段上（不与点O，B重合），点F在线段上，且，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【分析】先根据菱形的性质得，，，即可得出，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形是平行四边形，然后“根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得出答案． 【详解】证明：四边形是菱形， ，，． ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 题型06 菱形的性质与判定综合 【典例6】如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的面积为4，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据“对角线互相平分”证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到，从而得出结论； （2）根据矩形的面积求出，由菱形的性质得到、，利用求解即可． 【详解】（1）证明：、， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：矩形的面积为4， ， 由（1）知，四边形是菱形， 、， ． 【变式1】如图，在四边形中，，，点E，F分别为的中点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据点E，F分别为的中点，得出，证明四边形为平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形进行作答即可； （2）根据菱形的性质得，再运用斜边上的中线等于斜边的一半得，最后由勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：由（1）得四边形为菱形， ∴， ∵，点E为的中点， ∴， 即， 在中，． 【变式2】如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，继而得到四边形是平行四边形，证明即可； （2）根据勾股定理，得到，设，得到 ，解方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是菱形； （2）解： 四边形是菱形，，， ，，，， ， ， 设， ， ， ， 解得． 【变式3】如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，再证出平行四边形为菱形，根据菱形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴． 题型07 中点四边形 【典例7】如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理得到，再根据菱形的判定解答． 【详解】（1）证明：、、、分别是四条边、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：、分别是四条边、的中点， 为的中位线， ， 当时，，则平行四边形是菱形． 【变式1】如图，顺次连接四边形各边中点，，，，得到的四边形是平行四边形吗？为什么？ 【答案】四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】连接，利用三角形中位线定理证明，进而即可得出结论. 【详解】解：四边形是平行四边形， 理由：连接， 点、是、的中点， 是△的中位线； ，； 同理：，； ， 四边形是平行四边形． 【变式2】如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得且，且，且，且，易证四边形为平行四边形，再由矩形的判定，即可求解． 【详解】解： 、、、分别是线段、、、的中点， ∴在中，为的中位线， 且；同理且，且，且， 则且，且， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形是矩形，则需，即， ，， 当时，，此时四边形是矩形． 【变式3】如图，在菱形中，、是对角线，点E、F、G、H分别为菱形边、、、边上的中点，连接、、、，若菱形的面积为4，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】，，四边形是矩形，面积即是． 【详解】解：由题意得，， 因为是菱形，所以四边形是矩形， 因为菱形的面积为4，即是， 因为中位线性质，所以， 则四边形的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键． 1．菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是（     ） A．邻边相等 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相平分 【答案】A 【详解】解：A．邻边相等的平行四边形为菱形，故符合题意； B．菱形和矩形都具有对角线相等的性质，故不符合题意； C．平行四边形的对边平行且相等，由于菱形和矩形都是特殊的平行四边形，都具有对边平行且相等的性质，故不符合题意； D．平行四边形的对角线互相平分，由于菱形和矩形都是特殊的平行四边形，都具有对角线互相平分的性质，故不符合题意． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，下列说法正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质，掌握“菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分”是解题的关键． 【详解】A．菱形的对角线互相垂直但不一定相等，仅当菱形为正方形时，故A错误； B．在菱形中，，，但不一定等于，故B错误； C．菱形的内角度数不确定，不一定等于，故C错误； D．根据菱形的性质，对角线互相垂直，，故D正确． 3．我国传统建筑中常应用菱形窗户，其设计美观大气．如图，该菱形窗户边框的长为则该菱形窗户的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查菱形的性质、菱形的周长等知识，推导出是解题的关键． 由菱形的性质得，因为，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴该菱形窗户的周长为， 故选：D． 4．一个菱形的面积是120，其中一条对角线的长为10，则另一条对角线长是（   ） A．10 B．12 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的面积公式对角线乘除的一半，求出另一条对角线的长即可． 【详解】解：由题意，菱形的另一条对角线的长为； 故选C． 5．如图，在菱形中，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线平分一组对角．根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ， 故选：D． 6．要检测一个四边形是不是菱形，下列方案可行的是（    ） A．任选两个角，测量它们的角度 B．测量四条边的长度 C．测量两条对角线的长度 D．测量两条对角线交点到四个顶点的长度 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，四条边相等的四边形是菱形． 【详解】A.任选两个角，测量它们的角度，不能判定，此选项错误； B.测量四条边的长度，可以判定，此选项正确； C.测量两条对角线的长度，不能判定，此选项错误； D.测量两条对角线交点到四个顶点的长度，不能判定，此选项错误． 故选：B． 7．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的周长为20，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理，菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而根据直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且周长为20， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选A． 8．菱形的一个外角为，边长为厘米，则此菱形较短的对角线的长等于______厘米． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，邻补角的性质，等边三角形的判定与性质，正确求出菱形的内角度数，判断较短对角线与邻边的关系是解题关键． 【详解】解：已知菱形的一个外角为，根据邻补角的性质，可得该外角相邻的内角为， 设菱形的边长为厘米，，连接，如图所示： 菱形的四条边相等， 厘米 又， 是等边三角形， 厘米， 菱形内角所对的对角线为菱形较短的对角线， 此菱形较短的对角线的长等于厘米． 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为________． 【答案】 【分析】延长交x轴于点D，根据菱形的性质可得，轴，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：延长交x轴于点D， ∵四边形是菱形， ∴， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 10．如图，中，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；②分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点P；③作射线，交于点E，连接．四边形的周长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质，由作图可得平分，，则，证明四边形为菱形，得出，再由四边形的周长为，计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 11．如图，四边形是菱形，点为、点为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质和坐标与图形的性质，勾股定理；根据、两点坐标，即可求出的长，再根据四边形是菱形，可求出，即可求出点坐标． 【详解】点为，点为 ，， ， 四边形为菱形， ， 点的坐标为． 故答案为：． 12．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，与相交于点，，，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：平行四边形中，，， 即， 又， ， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形是菱形． 13．如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，利用菱形的边、角特征结合全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）由菱形得，，由垂直得，即可用证全等； （2）勾股定理求，由全等得，结合菱形边长得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：在中， ， ∵， ∴， ∵菱形的边长为，即， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 菱形 教学目标 1.理解菱形定义，掌握边、角、对角线的性质。 2.熟记菱形三种判定方法。 3.会用菱形性质进行计算和几何证明。 4.能区分菱形与平行四边形、矩形的异同 教学重难点 1.重点 （1）菱形性质的应用 （2）菱形的判定 （3）菱形性质与判定的互逆应用 （4）掌握中点四边形的性质 2.难点 （1）性质混淆：易与矩形对角线性质混淆（菱形对角线垂直，矩形对角线相等）。 （2）判定易错点：忽略判定前提，如直接用 “对角线垂直” 证菱形，未先证平行四边形。 （3）综合应用：结合对角线性质构造直角三角形，求解边长、角度；添加辅助线（连对角线）转化问题 知识点01 菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【即学即练】 1．如图，菱形的对角线交于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（   ） A．3 B．5 C．6 D．12 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在y轴的正半轴上，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点02 菱形形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【即学即练】 1．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 知识点03 菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形 【即学即练】 1．在中，相交于点，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（   ） A． B． C． D． 知识点04 中点四边形 1.定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形。 2.核心依据：三角形中位线定理（中位线平行且等于第三边的一半）。 3.形状规律（由原四边形对角线决定） ①任意四边形→中点四边形是平行四边形 ②对角线相等→中点四边形是菱形 ③对角线垂直→中点四边形是矩形 ④对角线相等且垂直→中点四边形是正方形 【关键结论】 ①所有中点四边形至少是平行四边形 ②周长=原四边形两条对角线长度之和 ③面积=原四边形面积的 【即学即练】 1．如图，在四边形中，点分别是各边的中点．甲说：若四边形是矩形，则四边形是菱形；乙说：若四边形是菱形，则四边形是矩形．下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 2．顺次连接菱形各边的中点得到的四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 题型01 利用菱形的性质求角度 【典例1】如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交BC边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在菱形中，点，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在菱形中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型02 根据菱形的性质求线段长 【典例2】如下图，菱形中，，，则的长为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式1】已知菱形的周长为36，则边长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】如图，菱形中，交于O，于E，连接，若，菱形周长为40，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式3】如图，菱形的两条对角线、相交于点，点在上，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型03 根据萎形的性质求面积 【典例3】如图，菱形中，，，则菱形的面积为（   ） A．96 B．48 C．24 D．12 【变式1】如图，和是菱形的对角线．若，，则菱形的面积为（）　 A． B． C． D． 【变式2】如图，四边形是菱形，，，于点，则的长度为（    ） A． B． C．5 D． 【变式3】如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 题型04 添一条件使四边形是矩形 【典例4】在四边形中，，，则添加下列条件，能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，下列四个条件中，能判定平行四边形为菱形的是（　 ） A． B． C． D． 【变式2】下列四个条件中，能使如图所示的是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列选项中能使成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 题型05 菱形的判定 【典例5】如图，在中，，为的中线．，，连接，求证：四边形为菱形． 【变式1】如图，在平行四边形中，点分别在边上，，与相交于点． (1)求证：． (2)如果．求证：四边形是一个菱形． 【变式2】如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 【变式3】如图，菱形的对角线相交于点O，点E在线段上（不与点O，B重合），点F在线段上，且，连接．求证：四边形是菱形． 题型06 菱形的性质与判定综合 【典例6】如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的面积为4，求菱形的面积． 【变式1】如图，在四边形中，，，点E，F分别为的中点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【变式2】如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式3】如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，且，求的长． 题型07 中点四边形 【典例7】如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 【变式1】如图，顺次连接四边形各边中点，，，，得到的四边形是平行四边形吗？为什么？ 【变式2】如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在菱形中，、是对角线，点E、F、G、H分别为菱形边、、、边上的中点，连接、、、，若菱形的面积为4，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D．2 1．菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是（     ） A．邻边相等 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相平分 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，下列说法正确的是（） A． B． C． D． 3．我国传统建筑中常应用菱形窗户，其设计美观大气．如图，该菱形窗户边框的长为则该菱形窗户的周长为（    ） A． B． C． D． 4．一个菱形的面积是120，其中一条对角线的长为10，则另一条对角线长是（   ） A．10 B．12 C．24 D．26 5．如图，在菱形中，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 6．要检测一个四边形是不是菱形，下列方案可行的是（    ） A．任选两个角，测量它们的角度 B．测量四条边的长度 C．测量两条对角线的长度 D．测量两条对角线交点到四个顶点的长度 7．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的周长为20，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 8．菱形的一个外角为，边长为厘米，则此菱形较短的对角线的长等于______厘米． 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为________． 10．如图，中，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；②分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点P；③作射线，交于点E，连接．四边形的周长为_______． 11．如图，四边形是菱形，点为、点为，则点的坐标为______． 12．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，与相交于点，，，连接．求证：四边形是菱形． 13．如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $