专题5.1 矩形（高效培优讲义）数学浙教版八年级新教材下册

专题5.1 矩形 教学目标 1.记住矩形定义，掌握矩形边角、对角线性质。 2.熟练掌握矩形三种判定方法。 3.掌握直角三角形斜边中线性质。 4.会用矩形性质和判定解题、证明 教学重难点 1.重点 （1）矩形性质的应用 （2）矩形的判定 2.难点 （1）矩形性质与判定的综合证明 （2）想不到 “延长中线构造矩形” 的辅助线，不理解直角三角形→矩形的转化思想 知识点01 矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 【即学即练】 1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 【答案】A 【详解】解：∵平行四边形的性质为：对边相等，对角相等，对角线互相平分. 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，额外具有四个角为直角，对角线相等的特有性质， ∴选项B，C，D中的性质都是矩形和一般平行四边形共有的，只有选项A的对角线相等是矩形具有而一般平行四边形不具有的性质. 2．如图，若将四根木条钉成的平行四边形木框变形为矩形的形状，则矩形的内角的大小为___________． 【答案】 【详解】解：矩形的四个内角都是直角， 则的大小为． 3．如图，在矩形中，F是的中点，E是上一点，且，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形内角和性质，直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形的性质，得，结合，则是直角三角形，因为F是的中点，则，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 则是直角三角形， ∵F是的中点， ∴， 故选：C 知识点02 矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【即学即练】 1．一个木匠制作了一块四边形的踏板．为了检验这块踏板是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（   ） A．测量踏板的对角线是否互相平分 B．测量踏板的对角是否相等 C．测量踏板的三个角是否都为 D．测量踏板的一组对边是否平行且相等 【答案】C 【分析】根据平行四边形和矩形的判定规则，逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：A：对角线互相平分的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意； B：对角相等的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意； C：四边形内角和为，若三个角都为，则第四个角也为，四个角都是直角的四边形是矩形，故该选项符合题意； D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意． 2．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，故该选项符合题意； 3．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：D． 题型01 利用矩形的性质求角度 【典例1】如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 【变式1】如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，在中利用两锐角互余求出的度数，进而得到的度数，最后利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，点是矩形内一点，连接、，．若，则的度数为_________． 【答案】40 【分析】先根据矩形性质得到，，再根据等边对等角和三角形的内角和定理得到，，然后进行角度运算可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质证得，根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ． 题型02 根据矩形的性质求线段长 【典例2】如图，在矩形中，，它的周长为20，E是的中点，连接，则的长为___． 【答案】5 【分析】根据矩形的性质以及已知条件可得，进而求得，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，它的周长为 20 ， ， ∵是的中点． ， 在中，． 【变式1】如图，在矩形中，点在边上，连接，，平分，若，则的长为（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】先根据矩形的性质得∴，可得，再根据角平分线的定义说明，然后根据勾股定理求出，进而求出，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即 ∴． 在中，， 即． 【变式2】如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据矩形的对角线相等且互相平分得，， 再根据得，则是等边三角形，由此得，即可得解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【变式3】如图，在矩形中,点是的中点，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：在矩形中,点是的中点，且， ，， ， ． 题型03 根据矩形的性质求面积 【典例3】如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，进而可得，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可. 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】首先根据题意得出矩形的面积，然后结合矩形的性质证明（），得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 【变式2】如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ， ∴， 又 ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：6． 【变式3】如图，在矩形中，对角线与相交于点O．若，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质．由矩形的性质推出，，求出，根据矩形的面积即可求出答案． 【详解】解：过点D作交于点H， 四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 故选：A． 题型04 矩形与折叠问题 【典例4】如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．求的长． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，，推出，由折叠知，推出，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ，，， ， 由折叠知，， ， ， 设，则， 则在中，，即， 解得， 即． 【变式1】如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，折痕为，若，，求的长． 【答案】 【分析】根据折叠找到相等线段，再由勾股定理得出的长，设，则，在中勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，. ∵沿折叠， ∴，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，由得：， 解得：，即的长为． 【变式2】如图，在矩形中，为边上一点，将矩形沿直线折叠，使点落在边上处．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，求解方程即可得到的长． 【详解】解：四边形为矩形， ，， 矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ∴，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 【变式3】如图，将一个邻边长分别为4，8的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，则的长度为 （    ） A．4 B．5 C．3 D．8 【答案】B 【分析】由折叠的性质可得，设，则，再利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 题型05 添一条件使四边形是矩形 【典例5】如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题已知四边形是平行四边形，需根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项的条件能否推出该平行四边形为矩形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 选项A：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）， 不能够判定为矩形，故A项不符合题意． 选项B：， 仅由，无法推出平行四边形中有一个角为直角或对角线相等，不能判定其为矩形．故B项不符合题意． 选项C：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能够判定为矩形，故C项不符合题意． 选项D：， ∵四边形是平行四边形，且 ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故D项符合题意． 【变式1】如图，在中，对角线与相交于点，则添加下列选项的条件后，能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．根据对角线相等的平行四边形是矩形或者有一个直角的平行四边形是矩形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，添加，则，不能证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，添加，则四边形是菱形，不能证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、∵四边形是平行四边形，添加，不能证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，添加，则四边形是矩形，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定条件寻找使平行四边形有一个角为直角的四边形的条件． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 结合图形，要使平行四边形为矩形，需有一个内角为． A选项，若，则，平行四边形为菱形，不符合题意； B选项，若，无法得到的内角为直角，不符合题意； C选项，若，无法得到内角为直角，不符合题意； D选项，若，则，平行四边形为矩形，符合题意； 故选：D． 【变式3】如图，的对角线相交于点．如果添加一个条件，使得是矩形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据矩形的判定定理进行判断即可， 本题主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定条件是关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 当时，是菱形，不是矩形，不符合题意， 当时，，是矩形，符合题意， 当时，是菱形，不是矩形，不符合题意， 当时，是平行四边形，不是矩形，不符合题意， 故选：． 题型06 矩形的判定 【典例6】如图，点M在的边上，连接、．若，．求证：为矩形． 【答案】见解析 【分析】先证明，得出，根据平行线的性质得出，则，最后根据矩形判定即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为矩形． 【变式1】如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先根据平行四边形的判定与性质证明四边形，再根据矩形的判定定理可得结论； （2）根据矩形性质得到，再由勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴平行四边形的面积． 【变式2】如图，在中，是的外角的平分线． (1)作的平分线交于点，在上截取，连接； (2)证明：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据作角的平分线及作线段的基本作图求解即可； （2）利用矩形的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：根据基本作图，画图如下： 则点D，点E即为所求； （2）证明：是的外角的平分线， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 平分， ， ， 故四边形是矩形． 【变式3】如图，在中，，分别是，的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形．理由见解析 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，推出，，再求得，，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可求解． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形．理由如下： ∵点是的中点，且， ∴， ∴， ∴是矩形． 题型07 矩形的性质与判定综合 【典例7】如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，为等边三角形，D为中点，连接．过点A，C分别作，，，相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据“两组对边互相平行的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，再结合等边三角形的“三线合一”性质，证得，最后运用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证得四边形是矩形； （2）先根据等边三角形的“三线合一”性质，证得，求出线段的长，再结合（1）中的结论，运用，求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又是等边三角形，D为中点， ∴于点D， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵D为中点，， ∴，于点D， ∴， ， 在中， ∵，，， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∴． 【变式2】如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形； (2)若，求该矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)60 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能求出四边形是矩形是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． （1）根据等角对等边得出，根据平行四边形性质求出，根据矩形的判定即可得解． （2）根据矩形的性质求出，再根据勾股定理求出，即可根据面积公式得到解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴又， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得： ， ∴的面积是． 【变式3】如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)先证明四边形是平行四边形，再证明对角线相等即可． (2)根据矩形的性质，等边三角形的判定和性质，运用勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∴四边形是矩形． （2）由（1）可知，四边形是矩形， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∴． ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 1．如图， 矩形的对角线， 相交于点O，若， 则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．利用矩形的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，， ∴， 故选：C． 2．如图，矩形的顶点，B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，平面直角坐标系，由已知点坐标可得，，进而可解． 【详解】解：矩形的顶点， ，，轴， B的坐标为． 故选：A． 3．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．先求出的长度，根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形为矩形， ． 故选：C． 4．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．在下列结论中，不属于矩形性质的是（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．邻边互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质，比较简单，熟记矩形的各种性质是解题关键．根据矩形的各种性质解答即可． 【详解】解：由矩形的性质可知：矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，邻边互相垂直．但矩形的两条对角线不一定互相垂直， 所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 6．如图，将矩形沿折叠，使得点C落在点E处，若，则 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，由此可得，，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， 由折叠可知，， 故选：B． 7．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作于点，若，，则的长为（　　） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】勾股定理求出的长，求出的面积，再根据三角形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：∵矩形，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴. 8．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、图形折叠的性质、全等三角形的判定定理、勾股定理等知识．首先根据矩形和折叠的性质获取相等的边与角，证明相关三角形全等以关联未知边；再设未知数，利用勾股定理列方程求出关键边的长度；最后结合三角形面积公式计算重叠部分的面积． 【详解】解：由折叠的性质及矩形的性质可得：，． 在 和 中， ， ． 设 ，则 ． 在 中， 解得：， ， . 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，将沿翻折．点落在点位置，交轴于点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、翻折的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 过点D作轴于点M，作轴于点N，则四边形是矩形，再证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可． 【详解】解：如图，过点D作轴于点M，作轴于点N， ∴四边形是矩形， ∴， ∵、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴点E的坐标为． 故选：B 10．如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解： 四边形 是平行四边形， 若添加条件， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 四边形 是矩形． 故答案为 （答案不唯一）． 11．如图，将矩形纸片折叠，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】由折叠的性质可知：，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∴． 12．如图，将含有的直角三角尺（）直角顶点A放到矩形的边上，若，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等． 设与的交点为点，由角的和差可求得，根据矩形的性质得到，从而，根据三角形的内角和定理求得，再根据对顶角相等即可得． 【详解】解：设与的交点为点， ∵，， ∴， ∵在矩形中，， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明全等、利用勾股定理建立方程是解题的关键． （1）由矩形的性质及已知，得；由平行线的性质得，结合，利用即可证明全等； （2）设，则；由（1）知，从而可得．在中，由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴， ∵，点E在上， ∴， 又∵， ∴． （2）解：设，则， 由（1）知：， ∴． 在中， ， ∴， 解得：， ∴． 即的长是． 14．如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． (1)求证：； (2)求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用． （1）可利用矩形的性质和折叠的性质，通过角相等得到边相等； （2）可设未知数，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， ∵由此矩形折叠情况可知：点C与点A重合，折痕分别交于点， ， ， ． （2）∵四边形是矩形，， ， 由折叠得：，设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得：， ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 矩形 教学目标 1.记住矩形定义，掌握矩形边角、对角线性质。 2.熟练掌握矩形三种判定方法。 3.掌握直角三角形斜边中线性质。 4.会用矩形性质和判定解题、证明 教学重难点 1.重点 （1）矩形性质的应用 （2）矩形的判定 2.难点 （1）矩形性质与判定的综合证明 （2）想不到 “延长中线构造矩形” 的辅助线，不理解直角三角形→矩形的转化思想 知识点01 矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 【即学即练】 1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 2．如图，若将四根木条钉成的平行四边形木框变形为矩形的形状，则矩形的内角的大小为___________． 3．如图，在矩形中，F是的中点，E是上一点，且，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 知识点02 矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【即学即练】 1．一个木匠制作了一块四边形的踏板．为了检验这块踏板是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（   ） A．测量踏板的对角线是否互相平分 B．测量踏板的对角是否相等 C．测量踏板的三个角是否都为 D．测量踏板的一组对边是否平行且相等 2．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 3．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 题型01 利用矩形的性质求角度 【典例1】如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点是矩形内一点，连接、，．若，则的度数为_________． 【变式3】如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为________． 题型02 根据矩形的性质求线段长 【典例2】如图，在矩形中，，它的周长为20，E是的中点，连接，则的长为___． 【变式1】如图，在矩形中，点在边上，连接，，平分，若，则的长为（   ） A．1 B．5 C． D． 【变式2】如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在矩形中,点是的中点，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 题型03 根据矩形的性质求面积 【典例3】如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【变式2】如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为_____． 【变式3】如图，在矩形中，对角线与相交于点O．若，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D．32 题型04 矩形与折叠问题 【典例4】如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．求的长． 【变式1】如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，折痕为，若，，求的长． 【变式2】如图，在矩形中，为边上一点，将矩形沿直线折叠，使点落在边上处．若，则的长为_____． 【变式3】如图，将一个邻边长分别为4，8的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，则的长度为 （    ） A．4 B．5 C．3 D．8 题型05 添一条件使四边形是矩形 【典例5】如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，对角线与相交于点，则添加下列选项的条件后，能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，的对角线相交于点．如果添加一个条件，使得是矩形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 题型06 矩形的判定 【典例6】如图，点M在的边上，连接、．若，．求证：为矩形． 【变式1】如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 【变式2】如图，在中，是的外角的平分线． (1)作的平分线交于点，在上截取，连接； (2)证明：四边形是矩形． 【变式3】如图，在中，，分别是，的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 题型07 矩形的性质与判定综合 【典例7】如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【变式1】如图，为等边三角形，D为中点，连接．过点A，C分别作，，，相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【变式2】如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形； (2)若，求该矩形的面积． 【变式3】如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 1．如图， 矩形的对角线， 相交于点O，若， 则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，矩形的顶点，B的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 5．在下列结论中，不属于矩形性质的是（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．邻边互相垂直 6．如图，将矩形沿折叠，使得点C落在点E处，若，则 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作于点，若，，则的长为（　　） A． B． C．4 D．3 8．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 9．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，将沿翻折．点落在点位置，交轴于点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____． 11．如图，将矩形纸片折叠，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，若，则的长为___________． 12．如图，将含有的直角三角尺（）直角顶点A放到矩形的边上，若，则的度数是______． 13．如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F． (1)求证：； (2)如果，求的长． 14．如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． (1)求证：； (2)求线段的长度． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $