5.1矩形讲义（知识梳理+题型突破）2025-2026学年八年级数学下册浙教版

5.1 矩形 讲义 基础知识梳理 1. 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形是特殊的平行四边形。 2. 矩形的性质（5 条必背） 设矩形 ，对角线交于 。 ①角：四个角都是直角， ②边：对边平行且相等， ③对角线：相等且互相平分， ④对称性：既是中心对称，又是轴对称（2 条对称轴） ⑤直角三角形推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3. 矩形的判定定理（3 条） ①定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形 ②对角线相等：对角线相等的平行四边形是矩形 ③三个直角：有三个角是直角的四边形是矩形 4. 常用公式 周长：；面积：；对角线： 5. 重要结论 ①矩形对角线把矩形分成4 个等腰三角形 ②若对角线夹角为 ，则必出现等边三角形 ③直角三角形斜中线 = 斜边一半（高频考点） 技巧总结归纳（解题直接用） 1.见矩形，想直角 + 对角线相等 2.求线段：用勾股、用中点、用斜中线 3.求角度：用等腰、用外角、用直角 4.判定矩形三步走： ① 先看是不是平行四边形 ② 再看：有一个直角 / 对角线相等 ③ 直接：三个直角 5.折叠问题：全等 + 勾股 6.最小值问题：转化为 “点到直线垂线段最短” 7.坐标系矩形：对边平行、横纵坐标差相等 8.易错提醒 ①对角线相等的四边形不一定是矩形（必须先平行四边形） ②矩形对角线不垂直（垂直变正方形） 典例精讲 题型一 矩形的判定（基础） 典例 1如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】C 【详解】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 变式 1-1如图，平行四边形对角线交于点O，请添加一个条件：_____使得是矩形（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形，添加，使得是矩形；其它选项的条件都不能使得是矩形；故选：D． 变式 1-2如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】或 【详解】解：分别是的中点， ， 当时，四边形DFGE是平行四边形， ， 四边形DFGE是矩形； 当时，四边形DFGE是平行四边形， ， 四边形DFGE是矩形； 故答案为：或． 题型二 矩形性质：求角度 典例 2如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 【技巧点拨】矩形对角线 ⇒ 等腰三角形 ⇒ 角相等。 变式 2-1如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 【答案】B 【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，， ∴∠ADO=55°， ∵，即∠AED=90°， ∴∠DAE=35°． 故选：B 变式 2-2如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧．交于点，再分别以点A、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若．则 ． 【答案】/22度 【详解】解：由作法得垂直平分， ， ∵， ， 设与相交于点，如图， 四边形为矩形， ， ∴， ． 故答案为：． 题型三 矩形性质：求线段长 典例 3如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D ． 【技巧点拨】矩形对角线夹角 必出等边三角形。 变式 3如图，，点在上，四边形是矩形，且，连接交于点，连接．则 ． 【答案】 【详解】解：四边形是矩形，对角线，交于点， ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ． 故答案：． 题型四 直角三角形斜中线定理 典例 4如图，在中，是边上的中线，且，则的长是（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【详解】解：∵是边上的中线，且， ∴； 故选D． 变式 4-1如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵公路与互相垂直， ∴， ∵公路的中点与点被湖隔开， ∴是的中线， ∴， 故选：B 变式 4-2如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 矩形的对角线，交于点O， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型五 矩形性质在求面积中的应用 典例 5如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积与矩形的面积都等于2个的面积，即可得两个矩形的面积关系． 【详解】∵，， ∴． 故选：B． 变式 5如图，在矩形中，分别为的中点，若，四边形的周长是40，则矩形的面积是 ． 【答案】192 【详解】在和中， ∵， ∴， ∴， 同理，即四边形为菱形． 又∵四边形的周长是40cm， ∴ ． ∵， 设，则． 由勾股定理得，，即， ∴， 矩形的面积． 故答案为：192． 题型六 矩形判定证明问题 典例 6如图，在中，点E在边上，和分别是和的角平分线，以为对角线向外作四边形，使，．求证：四边形是矩形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，． ∵，， ∴，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∵和分别是和的角平分线， ∴，． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 变式 6在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝2，求△OEC的面积． 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． （2）解：作OF⊥BC于F，如图所示． ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD， ∴AO＝BO＝CO＝DO， ∴BF＝FC， ∴OF＝CD＝1， ∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°， ∴∠EDC＝45°， 在Rt△EDC中，EC＝CD＝2， ∴△OEC的面积＝•EC•OF＝1． 题型七 矩形综合问题点与最值 典例 7-1在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 典例 7-2在 中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， ， ，，， ， ， ， 的最小值是， 故选：B． 变式 7-1如图，矩形中，，，是对角线上的两个动点，分别从同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若分别是的中点，且，当为顶点的四边形为矩形时，的值为 ． 【答案】或 【详解】解：如图所示，连接， ∵矩形中，，，分别是的中点， ∴， ∵是上的动点，速度均为，运动时间为秒， ∴， 当为顶点的四边形为矩形时，则， ∴①，解得，； ②，解得，； 综上所述，当为或时，为顶点的四边形为矩形， 故答案为：或． 变式 7-2如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接，已知线段，，，设． (1)用含x的代数式表示的长； (2)请问点C满足什么条件时，最小？最小为多少？ 【详解】（1）解：∵， ∴都是直角三角形， ∵，， ∴， 在中， ∴， ， ∴； （2）解：当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值为的长， 过A作交的延长线于F， ∴， ， 四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值是10． 课堂小结（必背） 1. 性质 四个直角；对角线相等且平分；轴对称 + 中心对称；直角三角形斜中线 = 斜边一半 2. 判定 平行四边形 + 一个直角；平行四边形 + 对角线相等；三个直角的四边形 3. 模型 夹角 等边三角形；最小值 ⇒ 垂线段最短 4. 易错 对角线相等不能直接判矩形，必须先平行四边形；矩形对角线不垂直 题型一．矩形的性质 1．（2025春•玉环市期中）矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 【答案】D 【分析】根据矩形的性质得OB＝OC，则∠OBC＝∠1＝40°，再由三角形的外角性质即可得出结论． 【解析】如图，∠1＝40°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠1＝40°， ∴∠AOB＝∠OBC+∠1＝2∠1＝80°，即两条对角线相交所成的锐角是80°．故选：D． 2．（2025春•德清县期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠BAC＝∠DAC B．AC⊥BD C．BA＝BO D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴BO＝DO＝AO＝COACBD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC， ∴AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC不一定成立，AB＝AO一定不成立，BOAC，一定成立，故选：D． 3．（2025春•临海市校级月考）如图，两对全等的直角三角形拼成矩形ABCD，中空的部分是矩形EFGH，连结DE，若点M是GF的中点，BE＝3，AB＝3，AD＝2，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形性质得DG＝BE＝3，证明△DGM和△EFM全等得DG＝EF＝GH＝3，则DH＝6，在Rt△ADH中，由勾股定理得AH＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝9，则HE＝AE﹣AH＝7，然后在Rt△DHE中，由勾股定理即可求出DE的长． 【解析】∵Rt△ABE≌Rt△CDG，BE＝3， ∴DG＝BE＝3， ∵四边形EFGH是矩形， ∴DH∥BF，GH＝EF，∠DHE＝90°， ∴∠DGM＝∠EFM，∠GDM＝∠FEM， ∵点M是GF的中点， ∴GM＝FM， 在△DGM和△EFM中，， ∴△DGM≌△EFM（AAS）， ∴DG＝EF＝3， ∴GH＝EF＝3， ∴DH＝DG+GH＝6， 在Rt△ADH中，AD， 由勾股定理得：AH2， 在Rt△ABE中，AB， 由勾股定理得：AE9， ∴HE＝AE﹣AH＝9﹣2＝7， 在Rt△DHE中，由勾股定理得：DE，即DE的长为．故选：B． 4．（2025春•上城区校级期中）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝8，OM＝3，则线段OB的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．1 【答案】A 【分析】已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出． 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°， ∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点， ∴O M是△ADC的中位线，OM∥AD， ∵OM＝3， ∴AD＝2OM＝6， ∵CD＝AB＝8， ∴， ∴． 故选：A． 5．（2025春•拱墅区校级期中）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，则∠BAC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】C 【分析】由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠BAE＝∠CAE＝∠ACE，由角的数量关系可求解． 【解析】∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∵AE＝CE， ∴∠ACE＝∠EAC， ∴∠BAE＝∠CAE＝∠ACE， ∵∠BAE+∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠BAE＝∠CAE＝∠ACE＝30°， ∴∠BAC＝60°， 故选：C． 6．（2025春•柯桥区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在线段BD上（不与点B，D重合），∠AED＝2∠ADE，则DE的长为（　　） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】连接AC交BD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，先求出BD＝10得OA＝OD＝5，进而得∠AOE＝2∠ADE＝∠AED，则△AOE是等腰三角形，由此得OE＝2OF，再由三角形的面积公式求出AF，由勾股定理求出OF，则OE＝2OF，然后根据DE＝OD+OE即可得出答案． 【解析】连接AC交BD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，且AB＝6，BC＝8， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，OA＝ODBD，∠BAD＝90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD10， ∴OA＝ODBD＝5， ∴∠OAD＝∠ADE， ∵∠AOE是△OAD的外角， ∴∠AOE＝∠OAD+∠ADE＝2∠ADE， ∵∠AED＝2∠ADE， ∴∠AOE＝∠AED， ∴AE＝OA＝5， ∴△AOE是等腰三角形， ∵AF⊥BD， ∴OF＝EF＝1/2OE， ∴OE＝2OF， 由三角形的面积公式得：S△ABFDBD•AFAB•AD， ∴AF， 在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF， ∴OE＝2OF， ∴DE＝OD+OE．故选：B． 7．（2026春•东阳市月考）如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，下列哪条线段的长度是方程x2+6x﹣16＝0的其中一个解（　　） A．线段AE的长 B．线段BE的长 C．线段CE的长 D．线段AC的长 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得∠ABC＝90°，AD＝BC＝4，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC＝3，然后求出CE＝2，即可解答． 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝4， ∵AB＝AE＝3， ∴AC5， ∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2， ∵x2+6x﹣16＝0， ∴（x+8）（x﹣2）＝0， ∴x1＝﹣8，x2＝2， ∴线段CE的长方程x2+6x﹣16＝0的其中一个解，故选：C． 8．（2025春•钱塘区期末）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC交BC于点E，点F在CD上，连结BF交DE于点G，且BG＝GF＝DF．若，则CD的长为（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】连接BD交AC于点O，连接OG，令AC交BF于点M，根据三角形中位线定理、平行线的性质、对顶角相等和余角的性质可得∠OMG＝∠CMF＝∠ACD＝∠COG，设OG＝x，DF＝2x，则OG＝GM＝MF＝FC＝x，解方程求出x的值，即可求出CD的值． 【解析】连接BD交AC于点O，连接OG，令AC交BF于点M， ∵BG＝GF＝DF， ∴∠FGD＝∠FDG， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴OG是△BDF的中位线， ∴OG∥DC，DF＝BG＝GF＝2OG， ∴∠ACD＝∠COG， ∵DE⊥AC， ∴∠FGD+∠OMG＝90°，∠ACD+∠FDG＝90°， ∴∠OMG＝∠ACD， ∵∠OMG＝∠CMF， ∴∠OMG＝∠CMF＝∠ACD＝∠COG， ∴OG＝GM，MF＝FC， 设OG＝GM＝x， 则DF＝GF＝2x， ∴MF＝FC＝GF﹣GM＝2x﹣x＝x，CD＝DF+CF＝3x， ∴OG＝GM＝MF＝FC＝x， ∴BF＝4x， 在Rt△BCF中，BCx， ∵BD2＝BC2+CD2＝BF2﹣CF2+CD2＝（4x）2﹣x2+（3x）2＝24x2， ∴BD＝2x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC＝4， ∴2x＝4，解得：x＝2， ∴CD＝3x＝6，故选：A． 9．（2025春•嘉兴期末）如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC交BC于点E，OF平分∠BOE交BC于点F．若矩形ABCD的周长为定值，则下列线段的长度为定值的是（　　） A．CF B．BF C．CE D．OF 【答案】A 【分析】作OM⊥BC，垂足为M，由矩形性质可知OMCD，CMBC，再利用三角形外角性质证明FM＝OM，根据CF＝FM+CMCDBC（CD+BC）即可得到CF是定值． 【解析】如图，作OM⊥BC，垂足为M， ∵O是BD的中点， ∴OMCD，CMBC， 设∠OEM＝α，则∠OCB＝90°﹣α， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝90°﹣α， ∵OF平分∠BOE交BC于点F． ∴∠BOFBOE（α﹣90°+α）＝α﹣45°， ∴∠OFM＝∠OBC+∠BOF＝90°﹣α+α﹣45°＝45°， ∴FM＝OM， ∴CF＝FM+CMCDBC（CD+BC）， ∵矩形ABCD的周长为定值， ∴CF是矩形周长的，是定值．故选：A． 10．（2025春•奉化区校级期中）如图，矩形ABCD中，ADAB，∠BAD的平分线交BC于点E，DF⊥AE，垂足为F，连接BF，CF，下列结论： ①AD＝AE； ②∠DEA＝∠DEC； ③DE⊥CF； ④BF＝FC； 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由等腰直角三角形的性质可得AEAB，可证AD＝AE，故①正确；由“AAS”可证△ABE≌△AFD，可得∠DEA＝∠DEC，故②正确；可证DE垂直平分FC，故③正确；由“SAS”可证△ABF≌△DFC，可得BF＝CF，故④正确． 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠AEB＝∠BAE＝45°， ∴AB＝BE， ∴AEAB， ∵ADAB， ∴AD＝AE，故①正确； ∵∠BAE＝∠DAE＝45°，AD＝AE，∠ABE＝∠AFD＝90°， ∴△ABE≌△AFD（AAS）， ∴AB＝AF，BE＝DF， ∴AB＝BE＝AF＝DF＝CD， ∴EF＝CE，∠ADF＝45°， 又∵DE＝DE， ∴△DEC≌△DEF（SSS）， ∴∠DEA＝∠DEC，故②正确； ∵DF＝DC，EF＝EC， ∴DE垂直平分FC，故③正确； ∵∠CDF＝90°﹣∠ADF＝45°， ∴∠BAE＝∠FDC＝45°， 又∵AB＝DF，AF＝CD， ∴△ABF≌△DFC（SAS）， ∴BF＝CF，故④正确， 综上所述：正确的结论有①②③④，共4个， 故选：D． 11．（2026春•江北区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为　　 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质得出CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D＝90°，由线段垂直平分线的性质得出CE＝AE，设CE＝AE＝x，则DE＝4﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D＝90°， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴CE＝AE， 设CE＝AE＝x，则DE＝4﹣x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+DE2＝CE2， 即22+（4﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴CE； 故答案为：． 12．（2025春•宁波期中）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，AF与EF的交点为F，则∠AFE的度数是 　60°　 ． 【答案】60°． 【分析】依据尺规作图的痕迹得EF是线段AC的垂直平分线，AF是∠DAC的平分线，则AE＝AF，AC⊥EF，∠DAF＝∠CAF，进而得△AEF是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得∠CAE＝∠CAF＝∠DAF再根据∠DAB＝90°得∠DAF＝∠CAE＝∠CAF＝30°，则∠EAF＝60°，由此得△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可得出∠AFE的度数． 【解析】依据尺规作图的痕迹可知：EF是线段AC的垂直平分线，AF是∠DAC的平分线， ∴AE＝AF，AC⊥EF，∠DAF＝∠CAF， ∴△AEF是等腰三角形， ∵AC⊥EF， ∴∠CAE＝∠CAF， ∴∠DAF＝∠CAE＝∠CAF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAB＝90°， ∴∠DAF+∠CAE+∠CAF＝90°， ∴∠DAF＝∠CAE＝∠CAF＝30°， ∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝60°， 又∵AE＝AF， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AFE＝60°． 故答案为：60°． 13．（2025春•瑞安市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（﹣2，3），则对角线AC的长度是　　 ． 【答案】． 【分析】根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC＝OB即可解答． 【解析】连接OB， ∴OB， ∵四边形OABC是矩形， ∴OB＝AC， 故答案为：． 14．（2026春•慈溪市月考）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E是对角线AC上的一点，连接DE，BE，且满足∠AED＝2∠DAE，已知AE＝3CE，则　　 ． 【答案】． 【分析】如图，连接BD交AC于点O，过点E作EF⊥BD于点F，设EC＝x，表示出OA＝OD＝OB＝OC＝2x，设∠OAD＝∠ODA＝α，得到∠DOE＝∠DEO，推出DE＝DO＝2x，OE＝OC﹣EC＝x，设OF＝y，利用勾股定理表示出，，进而求解即可． 【解析】如图，连接BD交AC于点O，过点E作EF⊥BD于点F， 设EC＝x，则AE＝3CE＝3x， ∴AC＝AE+EC＝4x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD＝OB＝OC＝2x， ∴设∠OAD＝∠ODA＝α， ∴∠DOE＝∠OAD+∠ODA＝2α， ∵∠AED＝2∠DAE＝2α， ∴∠DOE＝∠DEO， ∴DE＝DO＝2x， ∴OE＝OC﹣EC＝x， 设OF＝y，则DF＝OD﹣OF＝2x﹣y， ∵EF⊥BD， ∴OE2﹣OF2＝EF2＝DE2﹣DF2， ∴x2﹣y2＝（2x）2﹣（2x﹣y）2， ∴，即， ∴， 在直角三角形EOF中，由勾股定理得：， 在直角三角形BEF中，由勾股定理得：， ∴，故答案为：． 15．（2025春•东阳市期末）如图，四边形ABCD为矩形，对角线交于点O，DE∥AC交BC延长线于点E． （1）求证：四边形ACED是平行四边形． （2）若∠E＝35°，求∠BOC的度数． 【分析】（1）根据矩形性质得AD∥BC，再根据DE∥AC即可得出结论； （2）根据DE∥AC，∠E＝35°得∠OCB＝∠E＝35°，再根据矩形性质得OB＝OC，进而得∠OBC＝∠OCB＝35°，然后再根据三角形内角和定理即可得出∠BOC的度数． 【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC， ∵DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形； （2）解：∵DE∥AC，∠E＝35°， ∴∠OCB＝∠E＝35°， 在矩形ABCD中，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝35°， 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝110°． 16．（2025春•海曙区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，EF是直线DB上的两点，DE＝BF． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若四边形AFCE是矩形，且BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，求DE的长． 【分析】（1）连接AC交EF于点O，由平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，可证OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形； （2）利用勾股定理可求BD，AO的长，由矩形的性质可得AO＝EO，即可求解． 【解答】证明：（1）连接AC交EF于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵DE＝BF， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形； （2）∵BD⊥AD，AB＝5，AD＝3， ∴BD4， ∴BO＝DO＝2， ∴AO， ∵四边形AFCE是矩形， ∴AO＝CO，EO＝FO，AC＝EF， ∴AO＝EO， ∴DE2． 题型二．矩形的判定 17．（2026春•无锡期中）下列说法中，正确的是（　　） A．四边相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对边相等的平行四边形是矩形 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，而其他选项均不符合矩形的定义或性质． 【解析】A、四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故A不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故B不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C符合题意； D、对边相等是平行四边形的性质，平行四边形的对边都相等，所以对边相等不能作为判定平行四边形是矩形的条件，故D不符合题意． 故选：C． 18．（2025春•临海市期中）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O．添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是矩形，该条件是（　　） A．∠AOB＝90° B．∠ABC＝90° C．AC＝BD D．∠OAD＝∠ODA 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，矩形的判定方法即可一一判断即可． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故A错误；符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴▱ABCD是矩形，故B不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故C不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，OD＝2BD， ∵∠OAD＝∠ODA， ∴OA＝OD， ∴AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故D不符合题意； 故选：A． 19．（2026春•英山县校级期中）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【解析】∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故选：A． 20．（2025春•广阳区校级期中）如图，在▱ABCD中．E为边AB的中点，F为CD上的点．连接BD、DE、BF． 嘉嘉：当DE∥BF时，若AD＝BD，则四边形DEBF为矩形； 淇淇：当∠ADB＝90°时，若BF＝CF，则点F为CD中点． 对于他俩的说法，正确的是（　　） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．都正确 D．都不正确 【答案】C 【分析】根据嘉嘉的说法：当DE∥BF时，可判定四边形DEBF为平行四边形，根据AD＝BD，易证△ABD是等腰三角形，结合点E为边AB的中点，可得DE⊥AB，即可证明四边形DEBF为矩形；根据淇淇的说法：当∠ADB＝90°时，利用平行四边形的性质可得∠CDB+∠A＝90°，∠A＝∠C，即可求出∠C+∠CDB＝90°，进而求出∠CBD＝90°，再根据BF＝CF，推出∠C＝∠CBF，推出∠CDB＝∠DBF，得到DF＝BF，即可推出DF＝CF，从而得出结论． 【解析】∵在▱ABCD中，DF∥BE， 当DE∥BF时， ∴四边形DEBF为平行四边形， ∵AD＝BD， ∴△ABD是等腰三角形， ∵点E为边AB的中点， ∴DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形DEBF为矩形，故嘉嘉说法正确，符合题意； ∵在▱ABCD中，∠A＝∠C，∠ADC+∠A＝180°， 当∠ADB＝90°时， ∴∠CDB+∠A＝180°﹣∠ADB＝90°， ∴∠C+∠CDB＝90°， ∴∠CBD＝∠CBF+∠DBF＝90°， ∵BF＝CF， ∴∠C＝∠CBF， ∴∠CDB＝∠DBF， ∴DF＝BF， ∴DF＝CF，即点F为CD中点，故淇淇说法正确，符合题意； 故选：C． 21．（2025春•淄博期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC与点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 BE＝CF（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【答案】BE＝CF（答案不唯一） 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AD＝EF，得四边形AEFD是平行四边形，然后证∠AEF＝90°，即可得出结论． 【解析】添加条件为：BE＝CF，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， ∴AD＝EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， 又∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFD是矩形，故答案为：BE＝CF（答案不唯一）． 22．（2025春•孝义市期末）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是 　对角线相等的平行四边形是矩形　 ． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】根据已知条件和矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形为矩形）解答即可． 【解析】因为门窗所构成的形状是矩形， 所以根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形为矩形）可得出． 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 23．（2025春•靖江市校级期末）已知平行四边形ABCD，从①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形ABCD是矩形．选择的条件可以是　②③　 ．（写出所有的可能，填写序号即可） 【答案】②③． 【分析】分别将①②③④作为补充条件判断即可． 【解析】补充①AB＝BC； ∵平行四边形ABCD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故本条件不成立，不符合题意； 补充②∠ABC＝90°； ∵平行四边形ABCD， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故条件成立，符合题意； 补充③AC＝BD； ∵平行四边形ABCD， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故本条件成立，符合题意； 补充④AC⊥BD； ∵平行四边形ABCD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故本条件不成立，不符合题意， 综上所述，选择的条件可以是②③，故答案为：②③． 24．（2025春•睢宁县期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是 　∠BED＝90°（答案不唯一）　 ．（填一个条件即可） 【答案】∠BED＝90°（答案不唯一）． 【分析】由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，进而证明OE＝OF，再证明四边形BEDF是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论． 【解析】这个条件可以是∠BED＝90°，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， 即OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形， 又∵∠BED＝90°， ∴平行四边形BEDF是矩形，故答案为：∠BED＝90°（答案不唯一）． 25．（2026春•鼓楼区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BM＝CM，∠1＝∠2．求证：平行四边形ABCD为矩形． 【分析】由平行四边形的性质，可得AB＝CD，∠A+∠D＝180°，由题干信息证明△ABM≌△DCM，即可得∠A＝∠D＝90°，可证出结果． 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠A+∠D＝180°， ∵AB＝CD，BM＝CM，∠1＝∠2， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴∠A＝∠D， 又∵∠A+∠D＝180°， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形． 26．（2025春•杭州校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别平分∠BAC和∠CAF，AD交BC于点D，AE＝DC．求证：四边形ADCE是矩形． 【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，可得AD⊥BC，即∠ADC＝90°，再由AE平分∠CAF和∠CAF＝2∠B，可证明AE∥DC，又因为AE＝DC，所以四边形ADCE是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形即可证明四边形ADCE是矩形． 【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，∠B＝∠ACB，∴∠ADC＝90°， ∵AE为△ABC的外角∠CAF的平分线， ∴∠CAE＝∠FAE， ∵∠FAC＝∠B+∠ACB， ∴∠FAC＝2∠B， ∴∠FAE＝∠B， ∴AE∥CD， ∵AE＝DC， ∴四边形ADCE是平行四边形， 又∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE为矩形． 27．（2026春•盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，E是AB的中点，AC，DE交于点F，AF＝FC，BF∥CD．求证：四边形BCDF为矩形． 【分析】先根据三角形的中位线定理可得ED∥BC，则可得四边形BCDF为平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得证． 【解答】证明：∵AF＝FC， ∴点F是AC的中点， 又∵E是AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴ED∥BC， 又∵BF∥CD， ∴四边形BCDF为平行四边形， ∵∠BCD＝90°， ∴四边形BCDF为矩形． 28．（2026春•孝义市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AM为外角∠CAE的平分线，D为底边BC上一点，连接AD，过点C作CF∥AD交AM于点F，连接DF，交AC于点O． （1）判断四边形ADCF的形状，并说明理由． （2）在不增加辅助线和字母的前提下，请添加一个条件：　∠ADC＝90°　 ，使得四边形ADCF为矩形． 【分析】（1）根据题意得到∠B＝∠ACB，以及三角形外角和定理得到∠EAC＝∠B+∠ACB，证明∠FAC＝∠ACD，证明AF∥CD，即可证明结论． （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形添加条件即可． 【解析】（1）平行四边形，理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵AM为外角∠CAE的平分线， ∴， ∵∠EAC＝∠B+∠ACB， ∴∠MAC＝∠ACB， ∴AF∥CD， ∵CF∥AD， ∴四边形ADCF是平行四边形； （2）在不增加辅助线和字母的前提下，令∠ADC＝90°， 则四边形ADCF是矩形． 故答案为：∠ADC＝90°． 29．（2026•鼓楼区一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 【分析】（1）由∠ABD＝∠CDB得出AB∥CD，再证明△ABE≌△CDF（AAS）得出AB＝CD，即可得证； （2）证明△ABO是等边三角形，得出AO＝BO，结合平行四边形的性质得出AC＝BD，即可得证． 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CDF， ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：当∠ABE＝30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵AB＝BO，BE⊥AO， ∴∠ABO＝2∠ABE＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴AO＝BO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，BD＝2BO， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形． 30．（2026春•东阿县月考）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F． （1）求证：EO＝OF； （2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，则EO＝CO，FO＝CO，即可得出结论； （2）先证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵EF∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF， 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF， ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴EO＝FO； （2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由如下： ∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO， 又∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵FO＝CO， ∴AO＝CO＝EO＝FO， ∴AO+CO＝EO+FO， 即AC＝EF， ∴平行四边形AECF是矩形， 即当点O沿AC移动时，四边形AECF能成为一个矩形，此时，点O在AC的中点． 题型三．直角三角形斜边上的中线 31．（2025春•玉环市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝8，则CD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝8， 则CDAB，即CD8＝4．故选：A． 32．（2026春•惠城区期中）如图，将直角三角尺ABC放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为（　　） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 【答案】A 【分析】由直角三角形斜边中线的性质得到CDAB＝3（cm）． 【解析】∵A，D，B对应的刻度分别为1，4，7， ∴AD＝4﹣1＝3（cm），BD＝7﹣4＝3（cm），AB＝7﹣1＝6（cm）， ∴AD＝BD， ∵∠ACB＝90°， ∴CDAB＝3（cm）． 故选：A． 33．（2026春•晋安区期中）如图，在Rt△ABC中，D为BC的中点，以DC为斜边作Rt△CDE，F为CD的中点．若EF＝2，则AD的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求出DC＝4，根据中点的定义可以求出BC＝8，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求出AD＝4． 【解析】∵在 Rt△CDE，F 为CD 的中点．EF＝2， ∴DC＝2EF＝2×2＝4， ∵点D 为BC 的中点， ∴BC＝2DC＝2×4＝8（直角三角形中线定理）， ∴在Rt△ABC 中，D 为BC 的中点， ∴（直角三角形中线定理）． 则AD的长为4， 故选：B． 34．（2026春•高唐县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，，则BE的值是（　　） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质及中位线定理，求出BC和AC的长，进而得到CE的长，最后在Rt△BCE中利用勾股定理求解即可 【解析】∵∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点， ∴， ∵DE⊥AC， ∴，即点E是AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝2×2＝4， 在Rt△ABC中，， ∴， 在Rt△BCE中，， 则BE的值是4， 故选：A． 35．（2025秋•桂林期末）如图，一把长为10m的梯子AB斜靠在墙上，当梯子的顶端沿墙下滑的过程中，梯子的中点C到墙角O的距离变化情况是（　　） A．变大 B．变小 C．先变小再变大 D．不变 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【解析】连接OC， 根据题意得∠AOB＝90°，AB＝10m，点C是AB的中点， ∴根据直角三角形斜边上的中线得，OCAB10＝5m，即当梯子的顶端沿墙在下滑的过程中，梯子的中点C到墙角O的距离不变． 故选：D． 36．（2026春•襄城区校级月考）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（　　） A．56° B．62° C．63° D．68° 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得EC＝ED，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解析】∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点， ∴△ACB和△ADB均为直角三角形，且点E是公共斜边AB的中点， ∴EC，ED， ∴EC＝ED， ∴∠DCE＝∠CDE， ∵∠CDE＝56°， ∴∠DCE＝56°， 故选：A． 37．（2025春•临海市期末）直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是 　30　 ． 【答案】30． 【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据三角形的面积公式计算即可． 【解析】∵直角三角形斜边上的中线CD是6， ∴斜边AB长为：2×CD＝6×2＝12， ∴它的面积AB×CE12×5＝30， 故答案为：30． 38．（2026春•海淀区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、F分别是BC、AC的中点，连接AD，点E是边DC的中点，连接EF，若BC＝5，则EF的长为　1.25　 ． 【答案】1.25． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长，再利用三角形中位线定理求出EF的长． 【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴， 由题意可得：EF是△ADC的中位线， ∴． 故答案为：1.25． 39．（2026春•东西湖区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠DCE＝ 　45　 °． 【答案】45． 【分析】根据题意先求出∠A C D＝67.5°，∠B C D＝22.5°，利用直角三角形两锐角互余求得∠B＝67.5°，再根据直角三角形斜边上中线性质得到BE＝CE，求得∠BCE的度数，进而得到答案． 【解析】∵∠A C D＝3∠B C D，∠A C B＝90°， ∴∠A C D＝67.5°，∠B C D＝22.5°， ∵CD⊥AB， ∴∠B＝90°﹣∠B C D＝90°﹣22.5°＝67.5°， 又∵E是斜边AB的中点， ∴BE＝CE， ∴∠BCE＝∠B＝67.5°， ∴∠E C D＝∠B C E﹣∠B C D＝67.5°﹣22.5°＝45°． 故答案为：45． 40．（2026春•仓山区期中）如图，以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，E是线段AB的中点，连接CE，DE．若∠CED＝100°，则∠CBD的度数为　130°　 ． 【答案】130°． 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CE＝BE＝DE，等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系进行求解即可． 【解析】以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵E是线段AB的中点， ∴， ∴， ∵∠CED＝∠CEB+∠DEB＝100°， ∴． 故答案为：130°． 41．（2025春•惠州月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠A＝30°，BC＝2． （1）求CD的长． （2）请直接写出线段BC与线段AB之间的数量关系． 【分析】（1）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可； （2）先判定等边三角形，然后得出BCAB即可． 【解析】∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝AD＝BD， ∵∠A＝30°， ∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴△BDC为等边三角形， ∴CD＝BC＝2； （2）∵CD＝AD＝BD， ∴CDAB， ∴BCAB． 42．（2025秋•鼓楼区期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 【分析】（1）连接BE、DE，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出BE＝DE，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明△BED是等边三角形，再根据求解即可． 【解答】（1）证明：连接BE、DE， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴， ∵F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）解：由（1）可知，， ∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA， ∴2∠EAB＝∠CEB，2∠EAD＝∠CED， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BED＝60°， ∵BE＝DE， ∴△BED是等边三角形， ∴BD＝BE＝4． 43．（2025春•城关区校级期末）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点． （1）求证：DE⊥MN； （2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长． 【分析】（1）连接DM，DN．根据直角三角形的中线得到DM＝DN，根据等腰三角形的性质证明即可； （2）根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】（1）证明：如图，连接DM，DN， ∵BN、CM分别是△ABC的两条高， ∴BN⊥AC，CM⊥AB， ∴∠BMC＝∠CNB＝90°， ∵D是BC的中点， ∴DMBC，DNBC， ∴DM＝DN， ∵E为MN的中点， ∴DE⊥MN； （2）解：∵BC＝26， ∴DMBC＝13， ∵点E是MN的中点，MN＝10， ∴ME＝5， 由勾股定理得：DE12． 题型四．矩形的判定与性质的综合 44．（2026•南通模拟）平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若△OAB是等边三角形，OC＝3，则四边形ABCD的面积是（　　） A． B．27 C． D．24 【答案】A 【分析】首先证明四边形ABCD是矩形，求出AB，BC可得结论． 【解析】∵△AOB为等边三角形， ∴OA＝OB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴BD＝AC， ∴平行四边形ABCD为矩形， 在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝2OC＝6， ∴ABAC＝3， ∴BC3， ∴矩形ABCD的面积＝33＝9． 故选：A． 45．（2025春•义乌市月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　） A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8 【答案】D 【分析】连接CD，由题意可得四边形CEDF是矩形，得到EF＝CD，可知当CD⊥AB时，CD的值最小，利用勾股定理和三角形的面积求出CD的最小值即可求解． 【解析】连接CD， ∵DE⊥AC，DF⊥CB， ∴∠DEC＝∠DFC＝∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∴EF＝CD， 当CD⊥AB时，可知CD的值最小，此时， ∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∴， 解得CD＝4.8， ∴线段EF的最小值是4.8，故选：D． 46．（2025春•云南期末）已知平面直角坐标系中，有两点A（a，0），B（0，b），且满足b4，P为AB上一动点（不与A，B重合），PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】连接OP，先求出a＝3，则b＝4，再由勾股定理得AB＝5，然后证四边形OEPF是矩形，则EF＝OP，当OP⊥AB时，OP最小，EF也最小，进而由面积法求解即可． 【解析】如图，连接OP， ∵b4， ∴a﹣3≥0，3﹣a≥0， ∴a＝3， ∴b＝4， ∴A（3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∵∠AOB＝90°， ∴AB5， ∵PE⊥x轴，PF⊥y轴， ∴∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴四边形OEPF是矩形， ∴EF＝OP， 当OP⊥AB时，OP最小，EF也最小， 此时，OP， ∴EF的最小值为，故选：A． 47．（2025春•临高县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为AD，CD上的动点，且EF＝2，点P为EF的中点，过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，则线段MN的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由斜中线易得DP＝1，易得四边形BMPN是矩形，则BP＝MN，最后理利用三边关系可得BP最小值，据此得解． 【解析】连接DF，BD，BP， 在矩形ABCD中，∠B＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝3， 由题可得四边形BMPN是矩形， ∴BP＝MN， 在Rt△DEF中，DPEF＝1， 在Rt△BCD中，BD5， ∴BP≥BD﹣DP＝4，当且仅当B、P、D三点共线时取等， ∴BP最小值为4， ∴MN最小值为4．故选：C． 48．（2025春•渭城区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC以每秒1个单位长度的速度匀速向终点C运动，设运动时间为t秒．下列说法正确的有（　　） ①线段EF的长度先减小后增大； ②当时，EF的值最小； ③当t＝6时，EF＝5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】①先证明四边形AEPF是矩形，根据矩形对角线相等，线段EF的变化与线段AP变化一致，得到结论； ②当AP⊥BC时，线段AP的值最小，得到线段EF的值最小，根据直角三角形的性质得到当时，EF的值最小，故②符合题意； ③得到BP＝6，如图，连接EF，或A作AH⊥BC于H，则BH，AH，根据勾股定理得到EF＝AP.故③不符合题意． 【解析】①如图，连接AP， ∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∠A＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF＝AP， ∴在点P的运动过程中，线段AP的值先减小，后增大， ∴在点P的运动过程中，线段EF的值先减小，后增大，故①符合题意； ②当AP⊥BC时，线段AP的值最小， ∴线段EF的值最小， ∵∠A＝90°，∠C＝30°， ∴∠B＝60°， ∵∠APB＝90°， ∴∠BAP＝30°， ∴BP， ∴， ∴当时，EF的值最小，故②符合题意； ③∵t＝6， ∴BP＝6， 如图，连接EF，或A作AH⊥BC于H， 则BH，AH， ∴PH＝BP﹣BH， ∴EF＝AP.故③不符合题意；故选：C． 49．（2025春•建华区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中： ①四边形ABCD是矩形； ②当CD＝4OF时，点E是AB的中点； ③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2； ④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形， 其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据矩形的判定得出①正确，再根据中位线定理判断②不一定正确，然后根据当点E与点D重合时，OF的值最大得出③正确，进而根据等边三角形的判定得出④错误，即可得出结论． 【解析】①∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故①正确，符合题意； ②当点E在AB上时， 由①可知，四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∵点O，F分别是AC，CE的中点， ∴OF是△ACE的中位线， ∴AE＝2OF， ∵CD＝4OF， ∴CD＝AB＝2AE， ∴点E是AB的中点； 当点E在AD上时就不成立； 故②不正确，不符合题意； ③当点E与点D重合时，OF的值最大， ∵AD＝BC＝4， ∴AE的最大值是4， ∴OF2， 即线段OF长度的最大值是2，故③正确，符合题意； ④当∠COF＝60°时，∠OAB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠OBA＝60°， ∴∠FON＝60°， ∵∠BEN＞∠OAB， ∴∠OFN≠60°， ∴△OFN不是等边三角形，故④错误，不符合题意； 综上所述，其中正确的有2个，故选：B． 50．（2025春•西峰区校级期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　4　 s后，四边形ABPQ成为矩形． 【答案】4 【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，构建一元一次方程，可得答案． 【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得 3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4． 51．（2025春•罗庄区期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E，F，连接PB，PD．若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积是　3　 ． 【答案】3． 【分析】作PM⊥AD于M，交BC于N；则得四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得S矩形EPNB＝S矩形DMPF＝3，由此即可求解． 【解析】∵点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，作PM⊥AD于M，交BC于N， 则有四边形AEPM是矩形，四边形DFPM是矩形，四边形CFPN是矩形，四边形BEPN是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∴S矩形EPNB＝S矩形DMPF＝1×3＝3， ∴， ∴S阴影＝1.5+1.5＝3，故答案为：3． 52．（2025春•海淀区校级月考）四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AC、EF，已知∠BAC＝90°，，AC＝AD＝CD＝4，则EF的长为 　　 ． 【答案】． 【分析】作DH⊥BA交BA延长线于点H，作DG⊥AC于点G，连接BD，推出四边形AGDH是矩形，设DH＝AG＝x，在Rt△ADG和Rt△DGC中，利用勾股定理列式得到42﹣x2＝42﹣（4﹣x）2，求得DH＝AG＝2，再在Rt△DGC中，求得AH的长，再在Rt△BHD中，求得，最后根据三角形中位线定理即可求解． 【解析】四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，∠BAC＝90°，，AC＝AD＝CD＝4，如图，作DH⊥BA交BA延长线于点H，作DG⊥AC于点G，连接BD， ∵DH⊥BA，DG⊥AC，∠BAC＝90°， ∴四边形AGDH是矩形， ∴DH＝AG， 设DH＝AG＝x，则CG＝AC﹣AG＝4﹣x， 在Rt△ADG中，由勾股定理得：DG2＝AD2﹣AG2＝42﹣x2， 在Rt△DGC中，由勾股定理得：DG2＝CD2﹣CG2＝42﹣（4﹣x）2， ∴42﹣x2＝42﹣（4﹣x）2， 解得x＝2， ∴DH＝AG＝2， 在Rt△DGC中，由勾股定理得：， ∴， 在Rt△BHD中，由勾股定理得：， ∵E、F分别是BC、CD的中点， ∴， 故答案为：． 53．（2025春•南关区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为　　 ． 【答案】 【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DEAF是矩形，可得EF＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【解析】连接AD、EF， ∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12， ∴BC15， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DEAF是矩形， ∴EF＝AD， ∴当AD⊥BC时，AD的值最小， 此时，△ABC的面积AB×ACBC×AD， ∴AD， ∴EF的最小值为， ∵点G为四边形DEAF对角线交点， ∴GFEF； 故答案为：． 54．（2026•石家庄开学）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm．点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止，求经过多长时间，四边形ABQP为矩形？ 【答案】秒或4秒或秒或12秒． 【分析】根据矩形性质得BC＝AD＝12cm，∠A＝∠B＝90°，由此得当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，设运动的时间为t秒，再根据点P的运动时间为12秒，点Q从点C到点B的运动时间为3秒得有以下四种情况：①当0＜t＜3时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（12﹣4t）cm，由此得t＝12﹣4t，解得t；②当3≤t＜6时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣12）cm，由此得t＝4t﹣12，解得t＝4；③当6≤t＜9时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（36﹣4t）cm，由此得t＝36﹣4t，解得t；④当9≤9≤12时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣36）cm，由此得t＝4t﹣36，解得t＝12，综上所述即可得出答案． 【解析】∵四边形ABCD是矩形，AD＝12cm， ∴BC＝AD＝12cm，∠A＝∠B＝90°， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，设运动的时间为t秒， ∵点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，到达点D时停止， ∴点P的运动时间为：12÷1＝12（秒）， 又∵点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动， ∴点Q从点C到点B的运动时间为：12÷4＝3（秒）， ∴有以下四种情况： ①当0＜t＜3时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（12﹣4t）cm， 又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， ∴t＝12﹣4t，解得：t， ∴当t秒时，四边形ABQP是矩形； ②当3≤t＜6时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣12）cm， 又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， ∴t＝4t﹣12， 解得：t＝4， ∴当t＝4秒时，四边形ABQP是矩形； ③当6≤t＜9时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（36﹣4t）cm， 又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， ∴t＝36﹣4t，解得：t， ∴当t秒时，四边形ABQP是矩形； ④当9≤9≤12时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣36）cm， 又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， ∴t＝4t﹣36，解得：t＝12， ∴当t＝12秒时，四边形ABQP是矩形， 综上所述：当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形ABQP是矩形． 55．（2025春•杭州期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，BE＝CF． （1）求证：▱ABCD是矩形． （2）若OD＝13，CF＝12，求BF的长． 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠BEO＝∠CFO，根据全等三角形的性质得到OB＝OC，根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，求得AC＝BD，于是得到结论； （2）根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F， ∴∠BEO＝∠CFO＝90°， ∵∠BOE＝∠COF，BE＝CF， ∴△BOE≌△COF（AAS）， ∴OB＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴AO＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形； （2）解：∵OD＝13， ∴OB＝OC＝OD＝13， ∵CF＝12， ∴OF5， ∴BF＝OB+OF＝18． 56．（2025春•杭州校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E、F分别是CD、BC的中点，连接EF． （1）求证：四边形OEFB是矩形； （2）若AD＝8，DC＝12，求四边形OEFB的面积． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出BO＝DO，AD∥BC，再证明OE、EF都是△BCD的中位线，从而可得OE∥BC，EF∥BD，就可以判定四边形OEFB是平行四边形，再证明∠CBD＝90°，可得出平行四边形OEFB是矩形； （2）先根据平行四边形的性质得出BC＝AD＝8，AB＝DC＝12，，再根据三角形的中位线定理得出，然后利用勾股定理求得DB，从而可求得OB，再求出四边形OEFB的面积． 【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∴AD∥BC，BO＝DO， ∵点E、F分别是CD、BC的中点， ∴OE、EF都是△BCD的中位线， ∴OE∥BC，EF∥BD， ∴四边形OEFB是平行四边形， ∵AD⊥BD且AD∥BC， ∴BC⊥BD， ∴∠CBD＝90°， ∴平行四边形OEFB是矩形； （2）解：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝8，DC＝12， ∴BC＝AD＝8，AB＝DC＝12，， ∵OE是△BCD的中位线， ∴， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：， ∴， ∴四边形OEFB的面积为：． 57．（2025春•西湖区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝5，BO＝DO，且AB＝6，BC＝8． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数． 【分析】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，则可证明四边形ABCD是平行四边形，再由勾股定理的逆定理可证明∠ABC＝90°，则可证明四边形ABCD是矩形； （2）由矩形的性质得到∠ADC＝90°，则∠FDC＝36°，进而求出∠DCO＝54°，由矩形的性质得到CO＝OD，由等边对等角得到∠ODC＝∠DCO＝54°，则∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°． 【解析】（1）∵AO＝CO＝5，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝AO+CO＝10， ∵AB＝6，BC＝8， ∴AB2+BC2＝62+82＝100＝102＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ADC＝90°， ∵∠ADF：∠FDC＝3：2，∠ADF+∠FDC＝∠ADC， ∴， ∵DF⊥AC， ∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CO＝OD， ∴∠ODC＝∠DCO＝54°， ∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°． 58．（2026春•鄞州区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG为矩形； （2）若AC＝10，BD＝6，∠ABD＝45°，求矩形OEFG的面积． 【分析】（1）证OE是△BCD的中位线，得OE∥CD，再证四边形OEFG是平行四边形，然后证∠EFG＝90°，即可得出结论； （2）AB∥CD，∠ODG＝∠ABD＝45°，证△ODG是等腰直角三角形，得DG＝OG＝3，然后由勾股定理得GC＝4，得出DC＝7，得出OE，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵点E为BC的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥CD ∵OG∥EF， ∴四边形OEFG是平行四边形， 又∵EF⊥CD， ∴∠EFG＝90°， ∴平行四边形OEFG为矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OB＝OD＝3， ∴∠ODG＝∠ABD＝45°， 由（1）可知，四边形OEFG为矩形， ∴∠OGF＝90°， ∴∠OGD＝90°， ∴△ODG是等腰直角三角形， ∴DG＝OG， ∵OD2＝OG2+DG2， ∴DG＝OG＝3， ∵GC2+GO2＝OC2， GC2+9＝25， ∴GC＝4， ∴DC＝DG+GC＝3+4＝7， ∴OE， ∴S矩形OEFG＝OG•OE＝3，故答案为：． 59．（2026春•鼓楼区校级期中）如图1，已知AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，分别以点A，C为圆心，BC，AB为半径，在BC的上方画弧，两弧相交于点D，连接AD，CD． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）如图2，连接AC，BD，E是边AD上一点，EF⊥AC于点E，EG⊥BD于点G．则EF+EG＝　4.8　 ． 【分析】（1）由题意可知，AD＝BC，AB＝CD，则四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD，∠ABC＝90°，则OA＝OD，再由刮骨疗毒得AC＝10，则OA＝OD＝5，然后由三角形面积关系即可求解． 【解答】（1）证明：由题意可知，AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：设AC、BD交于点O，连接OE，如图2所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD，∠ABC＝90°， OA＝OD， ∴AC10， ∴OA＝OD＝5，△AOD的面积矩形ABCD的面积6×8＝12， 又∵△AOE的面积+△DOE的面积＝△AOD的面积， ∴OA×EFOD×EG＝12， 即5×（EF+EG）＝12， 解得：EF+EG＝4.8， 故答案为：4.8． 60．（2026春•朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（4，2），C（4，0），P为矩形ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA，则称P为矩形ABCO的矩宽点． 例如：如图中的P（，）为矩形ABCO的一个矩宽点． （1）在点D（，），E（2，1），F（，）中，矩形ABCO的矩宽点是 D和F ； （2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，求m的值． 【分析】（1）根据矩宽点的定义即可判断； （2）根据矩宽点的定义构建方程即可解决问题． 【解析】（1）∵1， ∴点D是矩形ABCO的矩宽点， ∵（4）+（2）1， ∴点F是矩形ABCO的矩宽点． 故答案为：D和F； （2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点， ∴2m+22或2m+2×（2）＝2或2（4﹣m）+22或2（4﹣m）+2×（2）＝2， 解得m＝±或或， 因为G为矩形内的点， ∴m和m不合题意，舍去， ∴m的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 矩形 讲义 基础知识梳理 1. 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形是特殊的平行四边形。 2. 矩形的性质（5 条必背） 设矩形 ，对角线交于 。 ①角：四个角都是直角， ②边：对边平行且相等， ③对角线：相等且互相平分， ④对称性：既是中心对称，又是轴对称（2 条对称轴） ⑤直角三角形推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3. 矩形的判定定理（3 条） ①定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形 ②对角线相等：对角线相等的平行四边形是矩形 ③三个直角：有三个角是直角的四边形是矩形 4. 常用公式 周长：；面积：；对角线： 5. 重要结论 ①矩形对角线把矩形分成4 个等腰三角形 ②若对角线夹角为 ，则必出现等边三角形 ③直角三角形斜中线 = 斜边一半（高频考点） 技巧总结归纳（解题直接用） 1.见矩形，想直角 + 对角线相等 2.求线段：用勾股、用中点、用斜中线 3.求角度：用等腰、用外角、用直角 4.判定矩形三步走： ① 先看是不是平行四边形 ② 再看：有一个直角 / 对角线相等 ③ 直接：三个直角 5.折叠问题：全等 + 勾股 6.最小值问题：转化为 “点到直线垂线段最短” 7.坐标系矩形：对边平行、横纵坐标差相等 8.易错提醒 ①对角线相等的四边形不一定是矩形（必须先平行四边形） ②矩形对角线不垂直（垂直变正方形） 典例精讲 题型一 矩形的判定（基础） 典例 1如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 变式 1-1如图，平行四边形对角线交于点O，请添加一个条件：_____使得是矩形（   ） A． B． C． D． 变式 1-2如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 题型二 矩形性质：求角度 典例 2如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 变式 2-1如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 变式 2-2如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧．交于点，再分别以点A、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若．则 ． 题型三 矩形性质：求线段长 典例 3如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．4 变式 3如图，，点在上，四边形是矩形，且，连接交于点，连接．则 ． 题型四 直角三角形斜中线定理 典例 4如图，在中，是边上的中线，且，则的长是（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 变式 4-1如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 变式 4-2如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 题型五 矩形性质在求面积中的应用 典例 5如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 变式 5如图，在矩形中，分别为的中点，若，四边形的周长是40，则矩形的面积是 ． 题型六 矩形判定证明问题 典例 6如图，在中，点E在边上，和分别是和的角平分线，以为对角线向外作四边形，使，．求证：四边形是矩形． 变式 6在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝2，求△OEC的面积． 题型七 矩形综合问题点与最值 典例 7-1在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：作于点，如图， 典例 7-2在 中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 变式 7-1如图，矩形中，，，是对角线上的两个动点，分别从同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若分别是的中点，且，当为顶点的四边形为矩形时，的值为 ． 变式 7-2如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接，已知线段，，，设． (1)用含x的代数式表示的长； (2)请问点C满足什么条件时，最小？最小为多少？ 课堂小结（必背） 1. 性质 四个直角；对角线相等且平分；轴对称 + 中心对称；直角三角形斜中线 = 斜边一半 2. 判定 平行四边形 + 一个直角；平行四边形 + 对角线相等；三个直角的四边形 3. 模型 夹角 等边三角形；最小值 ⇒ 垂线段最短 4. 易错 对角线相等不能直接判矩形，必须先平行四边形；矩形对角线不垂直 题型一．矩形的性质 1．（2025春•玉环市期中）矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 2．（2025春•德清县期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠BAC＝∠DAC B．AC⊥BD C．BA＝BO D． 3．（2025春•临海市校级月考）如图，两对全等的直角三角形拼成矩形ABCD，中空的部分是矩形EFGH，连结DE，若点M是GF的中点，BE＝3，AB＝3，AD＝2，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 4．（2025春•上城区校级期中）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝8，OM＝3，则线段OB的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．1 5．（2025春•拱墅区校级期中）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，则∠BAC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 6．（2025春•柯桥区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在线段BD上（不与点B，D重合），∠AED＝2∠ADE，则DE的长为（　　） A． B． C． D．8 7．（2026春•东阳市月考）如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，下列哪条线段的长度是方程x2+6x﹣16＝0的其中一个解（　　） A．线段AE的长 B．线段BE的长 C．线段CE的长 D．线段AC的长 8．（2025春•钱塘区期末）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC交BC于点E，点F在CD上，连结BF交DE于点G，且BG＝GF＝DF．若，则CD的长为（　　） A．6 B．8 C． D． 9．（2025春•嘉兴期末）如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC交BC于点E，OF平分∠BOE交BC于点F．若矩形ABCD的周长为定值，则下列线段的长度为定值的是（　　） A．CF B．BF C．CE D．OF 10．（2025春•奉化区校级期中）如图，矩形ABCD中，ADAB，∠BAD的平分线交BC于点E，DF⊥AE，垂足为F，连接BF，CF，下列结论： ①AD＝AE；②∠DEA＝∠DEC；③DE⊥CF；④BF＝FC； 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2026春•江北区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为　 　 ． 12．（2025春•宁波期中）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，AF与EF的交点为F，则∠AFE的度数是 　 　 ． 13．（2025春•瑞安市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（﹣2，3），则对角线AC的长度是　 　 ． 14．（2026春•慈溪市月考）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E是对角线AC上的一点，连接DE，BE，且满足∠AED＝2∠DAE，已知AE＝3CE，则　 　 ． 15．（2025春•东阳市期末）如图，四边形ABCD为矩形，对角线交于点O，DE∥AC交BC延长线于点E． （1）求证：四边形ACED是平行四边形． （2）若∠E＝35°，求∠BOC的度数． 16．（2025春•海曙区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，EF是直线DB上的两点，DE＝BF． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若四边形AFCE是矩形，且BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，求DE的长． 题型二．矩形的判定 17．（2026春•无锡期中）下列说法中，正确的是（　　） A．四边相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对边相等的平行四边形是矩形 18．（2025春•临海市期中）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O．添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是矩形，该条件是（　　） A．∠AOB＝90° B．∠ABC＝90° C．AC＝BD D．∠OAD＝∠ODA 19．（2026春•英山县校级期中）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 20．（2025春•广阳区校级期中）如图，在▱ABCD中．E为边AB的中点，F为CD上的点．连接BD、DE、BF． 嘉嘉：当DE∥BF时，若AD＝BD，则四边形DEBF为矩形； 淇淇：当∠ADB＝90°时，若BF＝CF，则点F为CD中点． 对于他俩的说法，正确的是（　　） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．都正确 D．都不正确 21．（2025春•淄博期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC与点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 　 　 （写出一个即可）． 22．（2025春•孝义市期末）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是 　 　 ． 23．（2025春•靖江市校级期末）已知平行四边形ABCD，从①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形ABCD是矩形．选择的条件可以是　 　 ．（写出所有的可能，填写序号即可） 24．（2025春•睢宁县期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是 　 　 ．（填一个条件即可） 25．（2026春•鼓楼区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BM＝CM，∠1＝∠2．求证：平行四边形ABCD为矩形． 26．（2025春•杭州校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别平分∠BAC和∠CAF，AD交BC于点D，AE＝DC．求证：四边形ADCE是矩形． 27．（2026春•盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，E是AB的中点，AC，DE交于点F，AF＝FC，BF∥CD．求证：四边形BCDF为矩形． 28．（2026春•孝义市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AM为外角∠CAE的平分线，D为底边BC上一点，连接AD，过点C作CF∥AD交AM于点F，连接DF，交AC于点O． （1）判断四边形ADCF的形状，并说明理由． （2）在不增加辅助线和字母的前提下，请添加一个条件：　 　 ，使得四边形ADCF为矩形． 29．（2026•鼓楼区一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 30．（2026春•东阿县月考）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F． （1）求证：EO＝OF； （2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由 题型三．直角三角形斜边上的中线 31．（2025春•玉环市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝8，则CD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 32．（2026春•惠城区期中）如图，将直角三角尺ABC放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为（　　） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 33．（2026春•晋安区期中）如图，在Rt△ABC中，D为BC的中点，以DC为斜边作Rt△CDE，F为CD的中点．若EF＝2，则AD的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 34．（2026春•高唐县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，，则BE的值是（　　） A． B． C．5 D． 35．（2025秋•桂林期末）如图，一把长为10m的梯子AB斜靠在墙上，当梯子的顶端沿墙下滑的过程中，梯子的中点C到墙角O的距离变化情况是（　　） A．变大 B．变小 C．先变小再变大 D．不变 36．（2026春•襄城区校级月考）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（　　） A．56° B．62° C．63° D．68° 37．（2025春•临海市期末）直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是 　 　 ． 38．（2026春•海淀区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、F分别是BC、AC的中点，连接AD，点E是边DC的中点，连接EF，若BC＝5，则EF的长为　 　 ． 39．（2026春•东西湖区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠DCE＝ 　 　 °． 40．（2026春•仓山区期中）如图，以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，E是线段AB的中点，连接CE，DE．若∠CED＝100°，则∠CBD的度数为　 　 ． 41．（2025春•惠州月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠A＝30°，BC＝2． （1）求CD的长． （2）请直接写出线段BC与线段AB之间的数量关系． 42．（2025秋•鼓楼区期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 43．（2025春•城关区校级期末）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点． （1）求证：DE⊥MN； （2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长． 题型四．矩形的判定与性质的综合 44．（2026•南通模拟）平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若△OAB是等边三角形，OC＝3，则四边形ABCD的面积是（　　） A． B．27 C． D．24 45．（2025春•义乌市月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　） A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8 46．（2025春•云南期末）已知平面直角坐标系中，有两点A（a，0），B（0，b），且满足b4，P为AB上一动点（不与A，B重合），PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 47．（2025春•临高县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为AD，CD上的动点，且EF＝2，点P为EF的中点，过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，则线段MN的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 48．（2025春•渭城区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC以每秒1个单位长度的速度匀速向终点C运动，设运动时间为t秒．下列说法正确的有（　　） ①线段EF的长度先减小后增大；②当时，EF的值最小；③当t＝6时，EF＝5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 49．（2025春•建华区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中： ①四边形ABCD是矩形； ②当CD＝4OF时，点E是AB的中点； ③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2； ④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形， 其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 50．（2025春•西峰区校级期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　 　 s后，四边形ABPQ成为矩形． 51．（2025春•罗庄区期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E，F，连接PB，PD．若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积是　 　 ． 52．（2025春•海淀区校级月考）四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AC、EF，已知∠BAC＝90°，，AC＝AD＝CD＝4，则EF的长为 　 　 ． 53．（2025春•南关区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为　 　 ． 54．（2026•石家庄开学）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm．点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止，求经过多长时间，四边形ABQP为矩形？ 55．（2025春•杭州期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，BE＝CF． （1）求证：▱ABCD是矩形． （2）若OD＝13，CF＝12，求BF的长． 56．（2025春•杭州校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E、F分别是CD、BC的中点，连接EF． （1）求证：四边形OEFB是矩形； （2）若AD＝8，DC＝12，求四边形OEFB的面积． 57．（2025春•西湖区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝5，BO＝DO，且AB＝6，BC＝8． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数． 58．（2026春•鄞州区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG为矩形； （2）若AC＝10，BD＝6，∠ABD＝45°，求矩形OEFG的面积． 59．（2026春•鼓楼区校级期中）如图1，已知AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，分别以点A，C为圆心，BC，AB为半径，在BC的上方画弧，两弧相交于点D，连接AD，CD． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）如图2，连接AC，BD，E是边AD上一点，EF⊥AC于点E，EG⊥BD于点G．则EF+EG＝　 　 ． 60．（2026春•朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（4，2），C（4，0），P为矩形ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA，则称P为矩形ABCO的矩宽点． 例如：如图中的P（，）为矩形ABCO的一个矩宽点． （1）在点D（，），E（2，1），F（，）中，矩形ABCO的矩宽点是 　 　 ； （2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $