北京市东城区景山学校2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷

**基本信息** 立足七年级下学期核心知识，融合科技（植物细胞直径）、文化（文房四宝）与生活（快递路线）情境，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，考查数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题16分|科学记数法、因式分解、分式变形等|第1题结合细胞直径考科学记数法，体现数学眼光| |填空题|8题16分|二次根式意义、完全平方公式、规律探究等|第16题快递路线最短距离，考查空间观念与优化思想| |解答题|11题68分|分式方程、新定义运算、代数推理等|24题“文房四宝”购买问题，融合文化传承考查分式方程建模；25题新定义运算，培养推理意识与创新思维|

北京市东城区景山学校2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 一、选择题（每题只有1个选项符合题意，每小题2分） 1．（2分）如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为0.000091米，将数据0.000091米用科学记数法表示为（　　） A．0.91×10﹣4米 B．0.91×10﹣5米 C．9.1×105米 D．9.1×10﹣5米 2．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）下列各式从左到右，是因式分解的是（　　） A．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1 B．x2y+xy2﹣1＝xy（x+y）﹣1 C．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x） D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 4．（2分）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2分）若k＜＜k+1（k是整数），则k＝（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（2分）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 7．（2分）八年级师生去距学校24km的中国人民抗日战争纪念馆参观，师生乘大车先出发，过了4min学校的后勤人员乘小车出发，结果他们同时到达．已知小车的平均速度是大车的平均速度的1.2倍，求大车的平均速度．如果设大车的平均速度为xkm/h，那么下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2分）已知，当x＝1时，y的值记为y1；当x＝2时，y的值记为y2；当x＝3时，y的值记为y3⋯，则y1+y2+⋯+y2025的值为（　　） A．2025 B．2026 C．2035 D．2037 二、填空题（每小题2分） 9．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ． 10．（2分）若多项式x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k＝　 　 ． 11．（2分）有一个分式：①当x≠0时，分式有意义；②当x＝﹣1时，分式的值为0．请写出同时满足以上两个条件的一个分式 　 　 ． 12．（2分）计算：＝ 　 　 ． 13．（2分）已知，则的值为 　 　 ． 14．（2分）若，则x﹣y的值为　 　 ． 15．（2分）已知k为任意整数，代数式（k+2）2﹣（k﹣1）2的值记为M，有下列三个结论： ①M一定是正整数； ②M一定是奇数； ③M总能被3整除． 其中所有正确结论的序号是　 　 ． 16．（2分）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示． （1）若小明按照P→B→A→C→P的路线骑行，则小明骑行的距离为 　 　 km； （2）小明骑行的最短距离为 　 　 km． 三、解答题（共68分，第17题6分，第18题8分，第19题-21题每题4分，第22-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17．（6分）分解因式： （1）5x2﹣10xy+5y2； （2）a2（b﹣1）+9（1﹣b）． 18．（8分）计算： （1）； （2）×． 19．（4分）解方程：． 20．（4分）已知x＝2+，y＝2﹣，求代数式x2﹣y2的值． 21．（4分）在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题． 解：原式＝……① ＝（x+1）（x﹣1）﹣•（x+1）（x﹣1）……② ＝2x﹣（x+1）……③ ＝2x﹣x﹣1……④ ＝x﹣1．……⑤ （1）甲同学从第 　 　 步开始出错（填序号）； （2）请你写出正确的解法． 22．（5分）化简：，再从﹣2≤x≤2的整数中选取一个数代入求值． 23．（5分）据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）求从45m高空抛物到落地时间； （2）已知高空坠物动能W（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg的玩具被抛出后经过4s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）． 24．（6分）列分式方程解应用题： “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中B型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套A型号的“文房四宝”的价格比B型号的“文房四宝”的价格高30%，求每套B型号的“文房四宝”的价格． 25．（6分）对于任意两个非零实数a，b，定义运算⊗如下：． 如：，（﹣2）⊗3＝﹣2+3＝1． 根据上述定义，解决下列问题： （1）＝　 　 ，＝　 　 ； （2）如果（x2+1）⊗（x2﹣x）＝1，那么x＝　 　 ； （3）如果（x2﹣3）⊗x＝（﹣2）⊗x，求x的值． 26．（6分）阅读材料： 和为整数，4﹣1＝3＝2×1+1； 和为整数，9﹣4＝5＝2×2+1； 和为整数，16﹣9＝7＝2×3+1； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中a＜b，则有b﹣a＝2+1．并给出了证明： 根据题意，得． 等式两边同时 　 　 ，得 　 　 ＝b． 整理得b﹣a＝2+1． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）请补全小明的证明过程． （2）若和 为两个相邻整数，则a＝　 　 ． （3）若和 为相差4的两个整数，求a的值． 28．（7分）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对（a，b）称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当a＝3，b＝2时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对（3，2）称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． （1）在数对①（1，0）；②（2，﹣3）；③中，　 　 （只填号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； （2）若数对（t﹣2，2+t）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； （3）若数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程dy﹣c+1＝0有整数解，直接写出整数c的值． 北京市东城区景山学校2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D B D C A D 一、选择题（每题只有1个选项符合题意，每小题2分） 1．（2分）如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为0.000091米，将数据0.000091米用科学记数法表示为（　　） A．0.91×10﹣4米 B．0.91×10﹣5米 C．9.1×105米 D．9.1×10﹣5米 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.000091＝9.1×10﹣5． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而得出答案． 【解答】解：A．＝2，不是最简二次根式，故此选项不合题意； B．，是最简二次根式，故此选项符合题意； C．＝，不是最简二次根式，故此选项不合题意； D．＝，不是最简二次根式，故此选项不合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键． 3．（2分）下列各式从左到右，是因式分解的是（　　） A．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1 B．x2y+xy2﹣1＝xy（x+y）﹣1 C．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x） D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 【答案】D 【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解． 【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误； B、结果不是积的形式，故本选项错误； C、不是对多项式变形，故本选项错误； D、运用完全平方公式分解x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，正确． 故选：D． 【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断． 4．（2分）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、原式＝﹣，分式变形不正确； B、原式＝，分式变形正确 C、，分式变形不正确； D、原式＝||，分式变形不正确； 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 5．（2分）若k＜＜k+1（k是整数），则k＝（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据＝9，＝10，可知9＜＜10，依此即可得到k的值． 【解答】解：∵k＜＜k+1（k是整数），9＜＜10， ∴k＝9． 故选：D． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算的取值范围，从而解决问题． 6．（2分）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】根据题意，分式中的x和y都扩大2倍，则＝＝； 【解答】解：由题意，分式中的x和y都扩大2倍， ∴＝＝； 分式的值是原式的，即缩小为原来的； 故选：C． 【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 7．（2分）八年级师生去距学校24km的中国人民抗日战争纪念馆参观，师生乘大车先出发，过了4min学校的后勤人员乘小车出发，结果他们同时到达．已知小车的平均速度是大车的平均速度的1.2倍，求大车的平均速度．如果设大车的平均速度为xkm/h，那么下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设大车的平均速度为xkm/h，则小车的平均速度为1.2xkm/h，根据八年级师生去距学校24km的中国人民抗日战争纪念馆参观，师生乘大车先出发，过了4min学校的后勤人员乘小车出发，结果他们同时到达，列出分式方程即可． 【解答】解：设大车的平均速度为xkm/h，则小车的平均速度为1.2xkm/h， 根据题意得：＝+， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 8．（2分）已知，当x＝1时，y的值记为y1；当x＝2时，y的值记为y2；当x＝3时，y的值记为y3⋯，则y1+y2+⋯+y2025的值为（　　） A．2025 B．2026 C．2035 D．2037 【答案】D 【分析】先把x＝1，2，3，4，5，6，7分别代入，求出y1，y2，y3•••，y2025的值，找出规律，求出答案即可． 【解答】解：∵， ∴当x＝1时，， 当x＝2时，， 当x＝3时，， 当x＝4时，， 当x＝5时，， 当x＝6时，， 当x＝7时，， •••， 当x＝2025时，， ∴y1+y2+⋯+y2025的 ＝7+5+3+（2025﹣3）×1 ＝7+5+3+2022 ＝2037， 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 二、填空题（每小题2分） 9．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥3　 ． 【答案】x≥3． 【分析】根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， 3x﹣9≥0， 解得x≥3． 故答案为：x≥3． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 10．（2分）若多项式x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k＝　±6　 ． 【答案】±6． 【分析】直接利用完全平方公式得出k的值． 【解答】解：∵多项式x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解， ∴x2+kx+9＝（x±3）2＝x2±6x+9， ∴k＝±6． 故答案为：±6． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 11．（2分）有一个分式：①当x≠0时，分式有意义；②当x＝﹣1时，分式的值为0．请写出同时满足以上两个条件的一个分式 　（答案不唯一）　 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】根据分式的值为0的条件，由①的叙述可知此分式的分子一定不等于0；由②的叙述可知此分式的分母当x＝﹣1时的值为0，根据求分式的值的方法，把x＝﹣1代入此分式，得分式的值为0． 【解答】解：由题意，可知所求分式可以是：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题是开放性试题，考查了分式的值为0的条件，分式有意义的条件及求分式的值的方法． 12．（2分）计算：＝ 　8　 ． 【答案】8． 【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的减法法则计算即可． 【解答】解： ＝9﹣1 ＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 13．（2分）已知，则的值为 　12　 ． 【答案】12． 【分析】由可得x＝3y，再把x＝3y代入分式计算即可． 【解答】解：由得x＝3y， ∴＝＝＝＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了分式的值，由题意得出x＝3y是解答本题的关键． 14．（2分）若，则x﹣y的值为　2　 ． 【答案】2． 【分析】先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求出x、y的值，再代入代数式即可． 【解答】解：根据题意可知，x﹣1≥0且1﹣x≥0， ∴x＝1，y＝﹣1， ∴x﹣y＝1﹣（﹣1）＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是关键． 15．（2分）已知k为任意整数，代数式（k+2）2﹣（k﹣1）2的值记为M，有下列三个结论： ①M一定是正整数； ②M一定是奇数； ③M总能被3整除． 其中所有正确结论的序号是　②③　 ． 【答案】②③． 【分析】将原式利用完全平方公式展开并计算后进行判断即可． 【解答】解：M＝（k+2）2﹣（k﹣1）2 ＝k2+4k+4﹣（k2﹣2k+1） ＝k2+4k+4﹣k2+2k﹣1 ＝6k+3 ＝3（2k+1）， 当k＝﹣1时，M＝﹣3，则①错误， 2k+1是奇数，3（2k+1）一定是奇数，则②正确， 2k+1是整数，那么3（2k+1）总能被3整除，则③正确， 故答案为：②③． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 16．（2分）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示． （1）若小明按照P→B→A→C→P的路线骑行，则小明骑行的距离为 　6.2　 km； （2）小明骑行的最短距离为 　5.2　 km． 【答案】（1）6.2； （2）5.2． 【分析】（1）直接将路线中各段距离相加即可； （2）需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【解答】解：（1）按照P→B→A→C→P的路线骑行的距离为2.0+1.6+1.5+1.1＝6.2（km）， 故答案为：6.2； （2）P→B→A→C→P，距离为2.0+1.6+1.5+1.1＝6.2（km）， P→B→C→A→P，距离为2.0+1.8+1.5+0.7＝6（km）， P→A→B→C→P，距离为0.7+1.6+1.8+1.1＝5.2（km）， P→A→C→B→P，距离为0.7+1.5+1.8+2.0＝6（km）， P→C→A→B→P，距离为1.1+1.5+1.6+2.0＝6.2（km）， P→C→B→A→P，距离为1.1+1.8+1.6+0.7＝5.2（km）， 通过比较这些路线的距离，5.2km是最短的． 故答案为：5.2． 【点评】本题考查了有理数的加法，根据题意列算式是解题的关键． 三、解答题（共68分，第17题6分，第18题8分，第19题-21题每题4分，第22-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17．（6分）分解因式： （1）5x2﹣10xy+5y2； （2）a2（b﹣1）+9（1﹣b）． 【答案】（1）5（x﹣y）2； （2）（b﹣1）（a+3）（a﹣3）． 【分析】（1）先提公因式5，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（1）5x2﹣10xy+5y2； ＝5（x2﹣2xy+y2） ＝5（x﹣y）2； （2）a2（b﹣1）+9（1﹣b） ＝a2（b﹣1）﹣9（b﹣1） ＝（b﹣1）（a2﹣9） ＝（b﹣1）（a+3）（a﹣3）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 18．（8分）计算： （1）； （2）×． 【答案】（1）； （2）+2． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可． 【解答】解：（1）原式＝3﹣6+4 ＝； （2）原式＝××+﹣2 ＝3+2﹣2 ＝+2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 19．（4分）解方程：． 【答案】x＝﹣4． 【分析】将原方程去分母后化为整式方程，解得x的值后并检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：4+x（x+2）＝（x+2）（x﹣2）， 整理得：4+2x＝﹣4， 解得：x＝﹣4， 检验：当x＝﹣4时，（x+2）（x﹣2）≠0， 故原方程的解为x＝﹣4． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 20．（4分）已知x＝2+，y＝2﹣，求代数式x2﹣y2的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用平方差公式计算进而得出答案． 【解答】解：∵x＝2+，y＝2﹣， ∴x+y＝4，x﹣y＝2， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×2＝8． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用平方差公式是解题关键． 21．（4分）在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题． 解：原式＝……① ＝（x+1）（x﹣1）﹣•（x+1）（x﹣1）……② ＝2x﹣（x+1）……③ ＝2x﹣x﹣1……④ ＝x﹣1．……⑤ （1）甲同学从第 　②　 步开始出错（填序号）； （2）请你写出正确的解法． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据分式的加减计算得出结论即可； （2）根据分式加减计算的运算法则得出结论即可． 【解答】解：（1）由题意知，甲同学从第②步开始出错， 故答案为：②； （2）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 【点评】本题主要考查分式的加减计算，熟练掌握分式的加减计算是解题的关键． 22．（5分）化简：，再从﹣2≤x≤2的整数中选取一个数代入求值． 【答案】，． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将符合条件的x的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝（）• ＝• ＝• ＝， ∵x（x﹣2）≠0且x+1≠0， ∴x≠0、﹣1、2， 则取x＝﹣2， 原式＝＝． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 23．（5分）据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）求从45m高空抛物到落地时间； （2）已知高空坠物动能W（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg的玩具被抛出后经过4s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把40m代入公式即可； （2）求出h，代入动能计算公式即可求出． 【解答】解：（1）由题意知h＝45m， ∴t＝＝＝3（s）， 故从45m高空抛物到落地时间为3s； （2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当t＝4s时，4＝， ∴h＝80m， 这个玩具产生的动能＝10×0.1×80＝80（J）＞65J， ∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【点评】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． 24．（6分）列分式方程解应用题： “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中B型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套A型号的“文房四宝”的价格比B型号的“文房四宝”的价格高30%，求每套B型号的“文房四宝”的价格． 【答案】100元． 【分析】设每套B型号的“文房四宝”的价格是x元，则每套A型号的“文房四宝”的价格是（1+30%）x元，利用数量＝总价÷单价，结合该中学购买A，B两种型号“文房四宝”共40套，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设每套B型号的“文房四宝”的价格是x元，则每套A型号的“文房四宝”的价格是（1+30%）x元， 根据题意得：+＝40， 解得：x＝100， 经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意． 答：每套B型号的“文房四宝”的价格是100元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 25．（6分）对于任意两个非零实数a，b，定义运算⊗如下：． 如：，（﹣2）⊗3＝﹣2+3＝1． 根据上述定义，解决下列问题： （1）＝　　 ，＝　0　 ； （2）如果（x2+1）⊗（x2﹣x）＝1，那么x＝　﹣1　 ； （3）如果（x2﹣3）⊗x＝（﹣2）⊗x，求x的值． 【答案】（1），0； （2）﹣1； （3）±1． 【分析】（1）根据题目已知的定义运算，进行计算即可； （2）根据题意可知x2+1＞0，然后根据题目已知的定义运算，列出方程进行计算即可； （3）分两种情况，x2﹣3＞0，x2﹣3＜0． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝， ＝﹣+ ＝0， 故答案为：，0； （2）由题意可知x2+1＞0， ∴（x2+1）⊗（x2﹣x）＝1， ∴＝1， ∴x2+1＝x2﹣x， ∴x＝﹣1， 检验：当x＝﹣1时，x2﹣x≠0， ∴x＝﹣1是原方程的根， 故答案为：﹣1； （3）当x2﹣3＞0时， ， 解得：， 经检验是原方程的解，但不符合x2﹣3＞0， ∴舍去， 当x2﹣3＜0时， x2﹣3+x＝﹣2+x， 解得：x＝±1， 经检验x＝±1是原方程的解，且符合x2﹣3＜0， ∴x＝±1， 综上所述：x的值为±1． 【点评】本题考查了实数的运算，解分式方程，理解题目已知的定义运算是解题的关键． 26．（6分）阅读材料： 和为整数，4﹣1＝3＝2×1+1； 和为整数，9﹣4＝5＝2×2+1； 和为整数，16﹣9＝7＝2×3+1； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中a＜b，则有b﹣a＝2+1．并给出了证明： 根据题意，得． 等式两边同时 　平方　 ，得 a+2+1　 ＝b． 整理得b﹣a＝2+1． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）请补全小明的证明过程． （2）若和 为两个相邻整数，则a＝　25　 ． （3）若和 为相差4的两个整数，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用等式的性质解答即可； （2）利用（1）的结论列式解答即可； （3）利用（1）的解答方法解答即可． 【解答】解：（1）∵和为相邻的两个整数， ∴， 等式两边同时平方得： a+2+1＝b． 移项得：b﹣a＝2+1． 故答案为：平方；a+2+1； （2）∵和 为两个相邻整数， ∴由（1）的结论可知：a+11﹣a＝2+1， ∴＝5， ∴a＝25． 故答案为：25； （3）∵和 为相差4的两个整数， ∴+4＝， 等式两边同时平方得： a+8+16＝a+216， ∴＝25， ∴a＝625． 【点评】本题主要考查了算术平方根的应用，等式的性质，完全平方公式，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并正确应用是解题的关键． 28．（7分）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对（a，b）称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当a＝3，b＝2时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对（3，2）称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． （1）在数对①（1，0）；②（2，﹣3）；③中，　①　 （只填号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； （2）若数对（t﹣2，2+t）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； （3）若数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程dy﹣c+1＝0有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】（1）①； （2）t＝1； （3）c＝﹣2或c＝﹣3． 【分析】（1）根据定义，计算判断即可； （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可； （3）根据数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，得关于x的分式方程的解是，回代方程，得c2+cd﹣d＝1，结合关于y的方程dy﹣c+1＝0的解为，且方程有整数解，解答即可． 【解答】解：（1）当a＝1，b＝0时，使得关于x的分式方程的解是成立， 所以数对（1，0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，故①正确； 当 a＝﹣2，b＝3时，使得关于x的分式方程.的解是， ， 所以数对 （2，﹣3）不是关于x的分式方程的一个“1相关系数”；故②错误； 当，时，使得关于x的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于x的分式方程的一个“1相关系数”；故③错误； 故答案为：①； （2）根据定义，分式方程的解为， 故， 解得t＝1； （3）根据数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于x的分式方程的解是， 回代方程，得c2+cd﹣d＝1， 整理，得 （c﹣1）（c+1）+d（c﹣1）＝0， ∴（c﹣1）（c+d+1）＝0， ∵c≠±1且c≠0， ∴c+d+1＝0， ∴c＝﹣d﹣1， ∵方程 dy﹣c+1＝0的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴d＝±1，d＝±2， 当d＝±1时，c＝﹣2，c＝0（舍去）； 当d＝±2时，c＝﹣3，c＝1（舍去）； 故c＝﹣2或c＝﹣3． 【点评】本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $