10.3.2 随机模拟（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章 概率 10.3 频率与概率 10.3.2 随机模拟 【学习目标】 1. 理解随机模拟（蒙特卡洛方法）的基本思想，掌握利用计算器或计算机软件产生随机数的方法. 1. 能够根据不同随机试验构建相应的随机数模拟实验，快速进行大量重复试验. 1. 掌握利用随机模拟方法估计概率的具体步骤，能解决“有限性但不满足等可能性”或“基本事件总数较大”的概率问题. 【学习重点】 1. 随机模拟的基本思想：用随机数代替真实试验，利用频率估计概率. 2. 随机模拟的基本步骤：建立概率模型 → 产生随机数 → 进行模拟试验 → 统计分析. 3. 利用随机数表或计算器产生均匀随机数，并映射到试验结果. 【学习难点】 1. 根据实际问题建立合适的概率模型，将随机数与试验结果对应. 2. 理解随机模拟的局限性，以及频率与概率的关系. 学习任务一 随机模拟的基本思想与步骤 【合作探究】 1. 问题引入： · 班级里有 名同学，假设每人在 个月份出生是等可能的，估计“至少有两人出生月份相同”的概率. · 直接计算较复杂，而实际调查大量班级又费时费力.如何快速得到估计？ · 我们可以用计算机模拟：用 到 的随机整数表示月份，每次产生 个随机数，检查是否有重复，重复多次，统计频率即可.这种方法称为随机模拟（蒙特卡洛方法）. 1. 随机模拟的定义： · 利用计算器或计算机软件产生随机数，根据不同随机试验构建相应的随机数模拟实验，快速进行大量重复试验的方法，称为随机模拟或蒙特卡洛方法（Monte Carlo Method）. 1. 基本步骤： (1) 第一步：建立概率模型：明确随机变量及其取值范围，建立随机数与试验结果的对应关系（如用 代表正面， 代表反面等）. (2) 第二步：产生随机数：利用计算器、Excel 或编程软件产生均匀分布的随机数，并根据需要进行变换（如取整、映射）. (3) 第三步：进行模拟试验：按模型规则进行单次试验，重复 次（ 足够大，如 次以上）. (4) 第四步：统计分析：统计事件 发生的次数 ，计算频率 ，用频率估计概率 . 1. 思考： (1) 随机模拟得到的概率是精确值吗？ · （不是，是估计值，随着模拟次数增加，估计更精确.） (2) 随机模拟适用于哪些情况？ · （适用于实际试验难以实施、成本过高、基本事件总数大或列举困难的情况.） 【自主梳理】 1. 随机模拟的核心：用随机数模拟随机试验，用频率估计概率. 2. 硬件工具：计算器、计算机软件（Excel、Python 等）. 3. 理论基础：大数定律（频率稳定性）. 学习任务二 随机模拟的实例分析 【合作探究】 1. 例1（生日问题）： · 从班级任意选出 名同学，假设出生在 至 月是等可能的，设计随机模拟试验，模拟 次，估计“至少有两人出生月份相同”的概率. · 解： · (1) 建模：用 代表 个月份. · (2) 试验：每次产生 个 到 的随机整数（有放回）. · (3) 判断：若 个数中存在重复，则事件发生. · (4) 重复 次，统计事件发生次数，计算频率. 1. 例2（比赛问题）： · 甲、乙进行羽毛球决赛，每局甲获胜概率为 ，乙为 ，采用三局两胜制.利用计算机模拟，估计甲获得冠军的概率. · 解： · (1) 建模：用 表示甲胜（占 的概率，可通过 到 的随机数， 代表甲胜， 代表乙胜）. · (2) 试验：每 个随机数为一组，代表一局比赛结果. · (3) 判断：若一组中代表甲胜的数字出现 次，则甲获得该组（冠军）. · (4) 模拟：产生 组随机数，统计甲获胜的次数，计算频率. 1. 例3（估计 值）： · 利用蒙特卡洛方法估计圆周率 的近似值. · 方法：在边长为 的正方形内随机投点，点落在内切圆（半径为 ）内的概率为 .通过大量随机投点，计算落在圆内的频率，乘以 即可估计 . · 具体步骤：产生 对 随机数（），统计满足 的点数 ，则 . 【自主梳理】 1. 随机模拟的关键是建立正确的映射关系，保证每个随机数出现的概率与实际问题一致. 2. 对于概率不是 的情况（如 和 ），可采用适当比例分配随机数范围（如 ～ 中 代表甲胜）. 学习任务三 随机模拟的优缺点与适用范围 【合作探究】 1. 优点： (1) 可以快速实现大量重复试验，节省时间和成本. (2) 适用于实际试验难以实施（如核反应、天体运行）或破坏性试验（如炮弹杀伤半径）. (3) 可以处理非等可能、复杂概率模型的问题. 1. 缺点： (1) 得到的概率是估计值，不是精确值，需大量模拟才能保证精度. (2) 模拟结果的可靠性依赖于随机数生成器的质量. (3) 对于某些问题，建模和编程可能较复杂. 1. 适用范围： (1) 古典概型中基本事件总数很大，列举困难. (2) 几何概型（如估计不规则图形面积）. (3) 复杂系统（如排队论、金融风险模拟）. 1. 思考： (1) 随机模拟的结果与真实概率的差异会随着模拟次数增加如何变化？ · （差异减小，频率趋近于概率.） (2) 能否用随机模拟证明一个结论？ · （不能，只能提供数值估计，不能代替数学证明.） 【自主梳理】 1. 随机模拟是统计推断的有力工具，但不能取代理论推导. 2. 模拟次数应足够大（如 次以上），并多次实验观察稳定性. 【自查自纠】（正误判断） 1. 随机模拟方法只能用于古典概型问题. （ ） 1. 随机模拟得到的概率是精确值. （ ） 1. 随机模拟适用于试验次数多、难以手工完成的情况. （ ） 1. 随机模拟不需要大量重复试验. （ ） 1. 用随机模拟估计 时，投点越多，估计越精确. （ ） 答案：1.× 2.× 3.√ 4.× 5.√ 【典例分析】 例1：袋中有 个白球和 个黑球，从中任意摸出一球，是白球的概率是多少？设计随机模拟试验验证. 解：理论概率 . 模拟方案：用 到 的随机整数， 代表白球， 代表黑球.每次产生一个随机数，统计白球出现次数，重复 次，计算频率，应与 接近. 例2：天气预报说明天下雨概率为 ，利用随机模拟估计“连续 天中恰好 天下雨”的概率. 解：用 到 的随机数， 代表下雨（）， 到 代表不下雨.每次产生 个随机数代表三天，统计恰好有 个下雨的组数，计算频率. 例3：利用随机模拟方法估计概率，下列说法正确的是（ ） A. 随机模拟只能用于古典概型问题 B. 随机模拟得到的概率是精确值 C. 随机模拟适用于试验次数多、难以手工完成的情况 D. 随机模拟不需要大量重复试验 解：C 正确. 【习题巩固】 1. 下列随机模拟方案中，正确的是（ ） · A. 投掷一枚均匀硬币 次，用 代表正面， 代表反面. · B. 投掷两枚均匀骰子，用 到 的随机整数代表第一枚的点数，再用 到 代表第二枚的点数. · C. 某次考试通过率为 ，用 到 的随机整数， 到 代表通过. · D. 以上都正确. 1. 设计一个随机模拟试验，估计“同时抛掷两枚骰子，点数之和为 ”的概率.写出简要步骤. 1. 为了估计不规则图形的面积，在边长为 的正方形内随机投点 次，落在阴影区域内的点有 个.估计阴影区域的面积. 1. 用随机模拟方法估计“从 中任取两个不同的数，和为偶数的概率”，应如何建立随机数模型？ 1. （选做）某射击运动员命中率为 ，连续射击 次，利用随机模拟估计恰好命中 次的概率，请写出模拟步骤. 【参考答案】 自查自纠：1.× 2.× 3.√ 4.× 5.√ 习题巩固： 1. D（以上方案都合理） 1. 步骤： · (1) 用 至 的随机整数分别代表两枚骰子的点数. · (2) 每次试验产生两个随机数，计算和. · (3) 重复 次，统计和为 的次数，计算频率. 1. 面积估计 = 平方单位. 1. 建模：从 中无放回取两个数.可用随机数：先产生一个 到 的整数作为第一个数，再产生一个 到 的整数，若与第一个相同，则重取，直到不同.或者用有序对，但需去掉相同情况.计算概率时，统计和为偶数的次数. 1. 步骤： · (1) 用 到 的随机整数， 到 代表命中， 到 代表不中. · (2) 每次产生 个随机数，统计恰好有 个在 到 之间的次数. · (3) 重复 次，计算频率. 学科网（北京）股份有限公司 $