10.3.1 频率的稳定性（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章 概率 10.3 频率与概率 10.3.1 频率的稳定性 【学习目标】 1. 理解频数、频率的定义，掌握频率与频数的关系；通过试验感知频率的稳定性，能利用频率估计概率，清晰区分频率与概率的区别和联系，掌握频率的核心计算公式. 1. 经历“猜想—试验—收集数据—分析数据—得出结论”的完整探究过程，提升动手操作、合作探究和数据分析能力，体会数形结合和归纳推理的数学思想. 1. 通过对频率和概率联系与区别的学习，培养数学抽象素养；通过利用随机事件的频率估计其概率，培养数学运算素养和数据分析素养，发展随机观念. 【学习重点】 1. 频率的计算公式：（ 为试验次数， 为事件 发生的次数）. 2. 频率的稳定性：随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于一个常数（即概率）. 3. 利用频率估计概率，并区分频率与概率. 【学习难点】 1. 理解频率的稳定性和概率的客观性. 2. 区分频率（试验值）与概率（理论值）的本质区别. 学习任务一 频率的定义与计算 【合作探究】 1. 问题引入： · 抛掷一枚均匀的硬币 次，正面朝上的次数一定等于 吗？ · 历史上许多数学家做过大量抛硬币试验，结果如下表： 试验者 抛掷次数 正面朝上次数 频率 蒲丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 · 观察发现，随着试验次数增加，正面朝上的频率越来越接近 .这种现象称为 频率的稳定性. 1. 频数与频率的定义： (1) 频数：在 次重复试验中，事件 发生的次数 . (2) 频率：，它反映了事件 在本次试验中出现的比例. 1. 思考： (1) 某小组抛硬币 次，正面朝上 次，频率是多少？ · （.） (2) 不同小组做相同试验，频率一定相同吗？ · （不一定，频率具有随机性.） 【自主梳理】 1. 频率公式：. 1. 频率是依赖于试验结果的随机变量，而概率是客观常数. 学习任务二 频率的稳定性与概率估计 【合作探究】 1. 频率的稳定性： · 当试验次数 很大时，事件 的频率 会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件 的概率 . · 这就是 频率稳定性定理（大数定律的直观体现）. 1. 用频率估计概率： · 在实际问题中，当无法直接计算概率时，可以通过大量重复试验，用频率的稳定值估计概率. · 例如，工厂对零件进行质量检测，抽取不同数量的零件，合格频率如下表： 抽取件数 50 100 200 500 1000 2000 合格件数 47 92 192 473 951 1902 合格频率 0.940 0.920 0.960 0.946 0.951 0.951 · 观察发现，合格频率稳定在 附近，因此估计该工厂零件的合格概率为 . 1. 辨析： 下列说法是否正确？ · (1) 抛掷硬币 次，正面朝上一定是 次. · (2) 某彩票中奖概率为 ，买 张一定中奖. · (3) 随着试验次数增加，事件发生的频率越来越接近概率. · (4) 频率就是概率，概率就是频率. · 解：(1)× (2)× (3)√ (4)× 【自主梳理】 1. 频率的稳定性是概率论的基础，大量试验中频率趋于概率. 2. 用频率估计概率时，试验次数越多，估计越精确. 3. 概率是理论值，频率是观测值，二者不能等同. 学习任务三 频率估计概率的实际应用 【合作探究】 1. 例1：某保险公司为了研究某地区汽车的交通事故率，统计了该地区 辆汽车一年的出险情况，其中有 辆汽车发生过交通事故. · (1) 估计该地区汽车年出险概率； · (2) 若该地区有 辆汽车，估计一年内有出险记录的汽车数量. · 解： · (1) 频率 ，估计概率 . · (2) 估计出险汽车数 辆. 1. 例2：某射击运动员进行飞碟射击训练，各轮射击成绩如下（次数：击中/总次数）： · 第1轮：8/10，第2轮：9/10，第3轮：7/10，第4轮：9/10，第5轮：8/10. · (1) 计算各轮击中频率； · (2) 估计该运动员击中飞碟的概率； · (3) 若下次比赛需要击中 个飞碟，估计需要射击多少次. · 解： · (1) 频率依次为 . · (2) 平均频率 ，估计概率 . · (3) 需要射击次数 次. 1. 思考： 为什么不能将“摸奖中奖概率为 ”理解为“摸 次一定中奖”？ · （概率是大量试验的稳定值，每次试验独立，中奖次数不确定.） 【自主梳理】 1. 用频率估计概率的步骤：收集大量试验数据 → 计算频率 → 观察稳定值 → 作为概率估计. 2. 估计总量时，用 （ 为总数）. 【自查自纠】（正误判断） 1. 在 次重复试验中，事件 发生的频率就是概率. （ ） 1. 随着试验次数的增加，事件发生的频率会稳定到它的概率. （ ） 1. 某彩票的中奖概率为 ，那么买 张彩票一定中奖. （ ） 1. 用频率估计概率时，试验次数越多，估计越准确. （ ） 1. 抛掷一枚均匀硬币 次，正面朝上的次数一定是 次. （ ） 答案：1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.× 【典例分析】 例1：某工厂生产零件，抽取 件，有 件合格，则合格频率为 .若抽取 件，合格 件，合格频率为 .两次频率相同，能否说该工厂零件的合格概率就是 ？ 解：不能.虽然两次频率都是 ，但频率具有随机性，只能作为估计.概率是客观常数，需要通过更大规模试验或理论分析确定.通常认为当试验次数很大时，频率稳定于概率，因此可估计概率约为 . 例2：为了估计鱼塘中鱼的总数，先捕捞 条鱼做上标记，放回后充分混合，再捕捞 条，发现其中有 条有标记.估计鱼塘中鱼的总数. 解：设鱼总数为 ，标记比例 .第二次捕捞中标记比例 ，由频率估计概率，，解得 （条）. 【习题巩固】 1. 填空题：在 次重复试验中，事件 发生了 次，则事件 发生的频率为______.当 很大时，频率会稳定于______附近. 1. 下列说法正确的是（ ） · A. 某人打靶 次，击中 次，则击中概率为 · B. 某人打靶 次，击中 次，则击中频率为 · C. 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 · D. 随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 1. 为了解一批灯泡的使用寿命，从中抽取 只进行测试，使用寿命超过 小时的灯泡有 只，则这批灯泡使用寿命超过 小时的频率为______.若用此估计概率，则概率约为______. 1. 某射击运动员训练，前 次射击命中 次，后 次命中 次，整个 次命中频率为______.若该运动员下次比赛需要命中 次，估计需要射击多少发？（结果取整数） 1. （选做）某城市随机抽取 户居民，调查他们是否使用节能灯，结果有 户使用.据此估计该城市居民使用节能灯的比例.若该城市有 万户，估计使用节能灯的户数. 【参考答案】 自查自纠：1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.× 习题巩固： 1. ；概率 1. B、C、D 1. ； 1. 总命中 ，总次数 ，频率 .需要射击次数 发. 1. 比例 ，估计使用节能灯的户数为 万户. 学科网（北京）股份有限公司 $