10.3.1频率的稳定性 学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案围绕“频率的稳定性”展开，核心知识点包括频率的随机性与稳定性、频率与概率的关系，通过“掷硬币连续正面向上”的思考问题导入，结合随机事件的前后知识，以试验数据表格为学习支架，引导学生从频率变化中理解概率的稳定性。 资料特色在于融入大量现实情境例题，如电视机优等品率、射手射击数据等，通过计算频率、估计概率的推理过程，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析数据的能力，练习设计层次分明，助力学生构建知识体系，适合自主学习与教学评估。

10.3.1 频率的稳定性 【知识点概况】 一、频率的稳定性 （1）大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性. （2）一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性，因此，我们可以用频率估计概率. 二、频率与概率的关系 （1）概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小. （2）当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率. （3）当次数足够多时，所得频率就近似的看作随机事件的概率. （4）概率的范围为[0,1] 注意：用频率来估计概率的前提：大量重复的试验，试验的次数越多，获得的数据越多，这时用频率来估计概率越精确. 思考：如果掷一枚质地均匀的硬币，连续1000字正面向上，从而有人认为“正面向上”这一事件的概率为1. 【课堂练习】 一、频率与概率的关系及求法 【例1】下列关于概率和频率的叙述中正确的有 .（把符合条件的所有答案的序号填在横线上） ①随机事件的频率就是概率； ②随机事件的概率是一个确定的数值，而频率不是一个确定的数值； ③频率是客观存在的，与试验次数无关； ④概率是随机的，在试验前不能确定； ⑤概率可以看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似的看作这个事件的概率. 【例2】对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下： 抽取台数 50 100 200 300 500 1000 优等品数 40 92 192 285 478 954 ①根据表中数据分别计算6次检测中抽到优等品的频率； ②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？ 总结：（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率. （2） 频率本身是随机的，在试验前不能确定. （3） 概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关. 【练习】 1.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率，则随着n的逐逐渐增大，有（ ） A.与某个常数相等 B.与某个常数的差逐渐减小 C.与某个常数的差的绝对值逐渐减小 D.在某个常数的附近摆动并趋于稳定 2.某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率 ①填写表中击中靶心的频率； ②这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？ 二、概率的理解 【例3】下列说法正确的是（ ） A.由生物学知，生男生女的概率大约都是，则一对夫妇生了两个孩子，一定是一男一女 B.10张券中有1张奖券，10个人去摸，谁先摸则谁中奖的可能性大 C.昨天没有下雨，则说明昨天的天气预报“降水概率是80%”是错的 D.一次摸奖，中奖率是，则某人连摸5张券也不一定会中奖 总结：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反应，概率是客观存在的，它与试验次数，哪一个具体的试验都没有关系，运用概率知识，可以帮助我们澄清日常生活中人们对一些现象的错误认知. 【练习】 1.某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？ 2.某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明（ ） A.该厂生产的10000件产品中，不合格的产品一定有1件 B.该厂生产的10000件产品中，合格的产品一定有9999件 C.合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10000件产品中没有不合格产品 D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%。 三、用频率估计概率 【例4】某校为举办甲、乙两项不同的活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人 250人 150人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立. （1） 分别估计该校男生支持方案一的概率和该校女生支持方案一的概率； （2） 从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率. 总结：（1）虽然随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现出一定的规律性，所以可以用事件发生的频率去估计概率.频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值. （2）此类题目的解决方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率，然后根据频率与概率的关系:估计事件发生的概率，据此得出统计推断. 【练习】 1.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表： 组号 分组 频数 1 [0,2） 6 2 [2,4) 8 3 [4,6) 17 4 [6,8) 22 5 [8,10) 25 6 [10,12) 12 7 [12,14) 6 8 [14,16) 2 9 [16,18] 2 合计 100 从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率. 2.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 ①分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； ②分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？ 四、概率的实际应用 【例5】为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼标上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼的尾数，假设40位是，根据上述数据估计水库中鱼的尾数. 【练习】 1.为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量. 【课后练习】 1.天气预报中预报某地明天降雨的概率为10%，则（ ） A.降雨的可能性是10% B.10%太小，不可能降雨 C.该地有10%的区域降雨 D.降雨概率为10%没有什么意义 2. 在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%，下列解释正确的是（ ） A.100个手术有99个手术成功，有1个手术失败 B.这个手术一定成功 C.99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术 D.这个手术成功的可能性是99% 3.某商品的合格率为99.9%，某单位购买此商品1000件，他们认为其中一定有一件是不合格的，你认为这种判断 （填“合理”或“不合理”） 4.如果袋中装有数量差别很大但大小相同的白球和黑球（只是颜色不同），从中任取一球，取了10次其中有9个白球，估计袋中数量较多的是 . 5.某种产品的质量用其质量指标值衡量，质质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表 分组 [90,94） [94,98） [98,102） [102,106） [106,110] 频数 8 20 42 22 8 B配方的频数分布表 分组 [90,94） [94,98） [98,102） [102,106） [106,110] 频数 4 12 42 32 10 （1） 分别估计用A配方和B配方生产的产品中优质品率； （2） 已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系为，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品的平均利润. 学科网（北京）股份有限公司 $