10.2 事件的相互独立性 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章 概率 10.2 事件的相互独立性 【学习目标】 1. 理解两个事件相互独立的定义；掌握独立性的判定方法；了解独立性与互斥的区别. 1. 能判断事件的独立性；能运用独立性公式计算概率；能解决实际问题. 1. 培养逻辑推理能力；体会数学建模思想；发展数据分析观念. 【学习重点】 1. 相互独立事件的定义：. 2. 独立事件的概率乘法公式及其应用. 3. 独立性与互斥性的区别. 【学习难点】 1. 判断两个事件是否相互独立（从实际意义或从概率等式）. 2. 区分互斥事件与独立事件. 3. 多个独立事件同时发生的概率计算. 学习任务一 事件独立性的概念与判定 【合作探究】 1. 问题引入： · 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设 =“第一次正面朝上”， =“第二次正面朝上”. 计算 ，，. · 解：，，. · 发现 .这表明第一次的结果不影响第二次. · 如果两个事件满足 ，则称它们相互独立. 1. 独立性的定义： · 对于两个事件 ，，如果 ，则称 与 相互独立. · 若 与 独立，则 与 ， 与 ， 与 也相互独立. 1. 直观理解： (1) 如果事件 的发生不影响事件 发生的概率，即 ，则 与 独立. (2) 独立与互斥是不同的概念： 1　 互斥： 与 不能同时发生，. 2　 独立：. 3　 当 ， 时，互斥事件一定不独立（因为 ），独立事件一定不互斥. 1. 辨析练习： · 判断下列事件是否独立： · (1) 从甲组（3男2女）和乙组（2男3女）中各选1人，事件 =“甲组选男生”， =“乙组选女生”. · 解： 与 互不影响，相互独立. · (2) 袋中有5白3黄，不放回取两球，=“第一次取到白球”，=“第二次取到白球”. · 解：第一次取球影响第二次，不独立. · (3) 掷一颗骰子，=“出现偶数点”，=“出现3点或6点”. · 解：，，，，，，满足 ，独立. 【自主梳理】 1. 相互独立定义：. 1. 若 与 独立，则 与 也独立. 1. 互斥与独立的区别：互斥不能同时发生，独立可以同时发生且无影响. 1. 判定方法： (1) 定性：一个事件发生与否不影响另一个的概率. (2) 定量：计算 并与 比较. 学习任务二 独立事件的概率计算 【合作探究】 1. 乘法公式： (1) 若 与 独立，则 . (2) 推广：若 相互独立，则 . 1. 例题： · (1) 甲、乙两人独立射击，命中率分别为 和 ，求两人都命中的概率. · 解：. · (2) 甲、乙、丙三人独立破译密码，破译概率分别为 ，，，求密码被破译的概率. · 解：密码被破译 = 至少一人破译.先求对立事件：三人都未破译，概率为 ，所以被破译概率 . 1. 思考： (1) 若 与 独立，则 . (2) 若 与 独立，则 . 【自主梳理】 1. 独立事件的乘法公式是计算“同时发生”概率的关键. 2. 常用对立事件求“至少有一个发生”的概率. 学习任务三 多个事件的独立性与综合应用 【合作探究】 1. 多个事件的独立性： (1) 两两独立：任意两个事件独立. (2) 相互独立：任意有限个事件的积的概率等于各自概率的乘积. (3) 注意：两两独立不一定相互独立（如四面体例子）. 1. 例题： · (1) 一个系统由三个独立工作的元件串联，每个元件正常工作的概率分别为 ，求系统正常工作的概率. · 解：串联需所有正常，. · (2) 若并联（至少一个正常），则概率为 . · (3) 甲、乙、丙三人独立回答同一问题，甲对的概率 ，乙 ，丙 ，求至少两人答对的概率. · 解：分类：两人对 + 三人都对. · . · 也可用组合计算. 1. 思考： (1) 在系统可靠性问题中，串联模型概率为各部件概率乘积，并联模型为 . (2) 实际问题中要注意事件是否独立（如无放回抽样不独立，有放回独立）. 【自主梳理】 1. 相互独立事件的概率乘法公式可推广到 个事件. 2. 解决“至少” “至多”问题常转化为对立事件. 3. 系统可靠性：串联、并联的概率计算. 【自查自纠】（正误判断） 1. 若 与 互斥，则它们一定相互独立. （ ） 1. 若 ，则 与 独立. （ ） 1. 若 与 独立，则 . （ ） 1. 两两独立的事件组一定相互独立. （ ） 1. 有放回抽样中各次抽取的结果相互独立. （ ） 答案：1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 【典例分析】 例1：一袋中有 个白球、 个黄球，有放回地摸两次， =“第一次摸到白球”， =“第二次摸到白球”.判断 与 是否独立，并求 . 解：有放回，每次摸球结果互不影响， 与 独立. ，，. 例2：甲、乙两人独立破译密码，甲破译的概率为 ，乙为 . (1) 求两人都破译的概率； (2) 求密码被破译的概率. 解： (1) . (2) 至少一人破译：. 例3：甲、乙、丙三人独立射击，命中率分别为 ，求： (1) 三人都命中的概率； (2) 恰有一人命中的概率. 解： (1) . (2) . 【习题巩固】 1. 若 与 独立，，，则 （ ） · A.  B.  C.  D. 1. 甲、乙两人独立射击，命中率分别为 和 ，则两人都未命中的概率为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 一个系统由三个独立元件并联，各元件正常工作的概率分别为 ，则系统正常工作的概率为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 掷一枚均匀硬币两次，设 =“第一次正面”， =“第二次反面”，则 与 （ ） · A. 互斥不独立 B. 独立不互斥 C. 既互斥又独立 D. 既不互斥也不独立 1. （选做）甲、乙、丙三人独立解答同一道题，甲正确的概率为 ，乙为 ，丙为 ，求至少两人正确的概率. 【参考答案】 自查自纠：1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 习题巩固： 1. C（，选B？计算：，减，正确，选项B为0.7） 1. A（） 1. B（） 1. B（可以同时发生，不互斥；独立） 1. 解：设事件 分别表示甲、乙、丙正确. · 至少两人正确 = 恰两人正确 + 三人正确. · 恰两人正确：. · 三人正确：. · 所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $