1.导学案 09 第10章 10.3 频率与概率(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

10.3　频率与概率 【学习目标】 1.在具体情境中,了解随机事件的不确定性和频率的稳定性.(数学抽象) 2.会用频率估计概率.(数学抽象、数据分析) 3.会用频率的稳定性解释生活中的实际问题.(数学建模、数据分析) 4.了解随机数,会利用随机数估计概率.(数据分析) 必备知识·自主导学 一、频率的稳定性 一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 【教材深化】 1.频率随着试验次数的变化而变化,而概率是一个常数,是客观存在的,与试验次数无关. 2.在实际应用中,只要试验的次数足够多,所得的频率就可以近似地看作随机事件的概率. 3.概率是频率的稳定值. 【思考】 1.频率与概率相等吗? 提示:可以相等.但因为每次试验的频率是不固定的,而概率是固定的,故一般是不相等的,但也有可能是相等的. 2.随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系? 提示:随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小,但并不表示概率大的事件一定发生,概率小的事件一定不发生. 二、随机数 1.随机数的概念 要产生0~n(n∈N*)之间的随机整数,把n个质地和大小相同的小球分别标上0,1,2,3,…,n,放入一个容器中,充分搅拌后取出一个球,这个球上的数就称为随机数. 2.产生随机数的方法 (1)利用计算器或计算机软件产生随机数. (2)构建模拟试验产生随机数. 3.随机模拟方法(蒙特卡洛方法) 利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的频率来估计概率,这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)频率是客观存在的,与试验次数无关. (×) 提示:概率是客观存在的,与试验次数无关,而频率与试验次数有关. (2)随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率. (√) 提示:随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A). (3)用计算器或计算机产生的随机数是伪随机数. (√) 提示:计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数. (4)在相同环境下,两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的. (×) 提示:随机模拟得到的是事件发生的频率,具有不确定性,因此两次随机模拟得到的概率的估计值不一定相等. 关键能力·师生共研 类型1频率与概率的关系(数学抽象) 【典例1】(1)(多选)下列说法中错误的是 (　　) A.昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的 B.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖 C.做10次抛硬币的试验,结果3次正面朝上,因此正面朝上的概率为 D.某厂产品的次品率为2%,但该厂的50件产品中可能有2件次品 【解析】选ABC.A项中降水概率为95%,仍有不降水的可能,故A项错误; B项中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时,有1%的机会中奖,但不一定买100张彩票一定有1张会中奖,故B项错误; C项中正面朝上的频率为,概率仍为,故C项错误; D项中次品率为2%,但50件产品中可能没有次品,也可能有1件或2件或3件或更多件次品,故D项正确. (2)(多选)(2025·济宁高一检测)下述关于频率与概率的说法中,错误的是 (　　) A.设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品 B.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率,即使随机试验的次数超过10 000,所估计出的概率也不一定很准确 C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D.抛掷十次质地均匀的骰子,结果3次出现2点,因此,抛掷骰子出现2点的概率是 【解析】选ACD.对于A:从中任取100件,可能有10件次品,A错误; 对于B:10 000次的界定没有科学依据,“不一定很准确”的表达正确,试验次数越多,频率越稳定在概率值附近,但并非试验次数越多,频率就等于概率,B正确; 对于C:多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近,此常数为概率,C中描述不符合概率定义,C错误; 对于D:做十次抛掷骰子的试验,结果3次出现2点,因此,出现2点的频率是,并不是概率为,D错误. 【总结升华】 频率与概率的关系 (1)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率. (2)频率本身是随机的,在试验前不能确定. (3)概率是一个确定的常数,是客观存在的,在试验前已经确定,与试验次数无关. 【即学即练】 下列说法正确的是 (　　) A.由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,则一定为一男一女 B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖 C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1 【解析】选D.一对夫妇生两个小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确; 中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确; 10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确. 类型2利用频率估计概率(数学建模、逻辑推理) 【典例2】李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,李老师这门课3年来的考试成绩分布如表所示. 成绩 人数 90分以上 43 80分~89分 182 70分~79分 260 60分~69分 90 50分~59分 62 50分以下 8 经济学院大一年级的某学生下学期将选修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位). (1)90分以上;(2)60分~69分;(3)60分以上. 【解析】总人数为43+182+260+90+62+8=645,根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的学生的考试成绩在各个分数段上的频率依次为,,,,,. 用已有的信息,可以估计出该学生下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下: (1)将“90分以上”记为事件A,则P(A)=≈0.067. (2)将“60分~69分”记为事件B,则P(B)=≈0.140. (3)将“60分以上”记为事件C,则P(C)=≈0.891. 【总结升华】 由统计定义求概率的一般步骤 (1)确定随机事件A的频数nA(n为试验的总次数); (2)由fn(A)=计算频率fn(A); (3)由频率fn(A)估计概率P(A). 【即学即练】 为了研究某种油菜籽的发芽率,科研人员在相同条件下做了10批试验,油菜籽的发芽试验相关数据如表: 批次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 每批 粒数 2 5 10 70 130 700 1 500 2 000 3 000 5 000 发芽 的粒 数 2 4 9 60 116 637 1 370 1 786 2 709 4 490 (1)如何计算每批试验中油菜籽发芽的频率? (2)由各批油菜籽发芽的频率,可以得到频率具有怎样的特征? (3)如何确定该油菜籽发芽的概率? 【解析】(1)利用发芽的频率=,可求出每批油菜籽发芽的频率. (2)批次1的频率为=1, 批次2的频率为=0.8, 批次3的频率为=0.9, 批次4的频率为≈0.857, 批次5的频率为≈0.892, 批次6的频率为=0.91, 批次7的频率为≈0.913, 批次8的频率为=0.893, 批次9的频率为=0.903, 批次10的频率为=0.898, 当试验次数越来越多时,频率越来越趋近于一个常数. (3)由(2)可知,当试验次数越来越多时,频率在0.9附近波动,由此估计该油菜籽发芽的概率为0.9. 类型3游戏的公平性(数学运算) 【典例3】(1)(2025·许昌高一检测)小明与小华两人玩游戏,则下列游戏不公平的是 (　　) A.抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数,小明获胜,向上的点数为偶数,小华获胜 B.同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上,小明获胜,两枚都正面向上,小华获胜 C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色,小明获胜,扑克牌是黑色,小华获胜 D.小明、小华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同,小明获胜,否则小华获胜 【解析】选B.对于A,抛掷一枚骰子,一共有6种情况,向上的点数为奇数的概率为,向上的点数为偶数的概率为,所以游戏公平; 对于B,同时抛掷两枚硬币,一共有4种情况:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反), 恰有一枚正面向上的概率为,两枚都正面向上的概率为,所以游戏不公平; 对于C,从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的概率为,扑克牌是黑色的概率为,所以游戏公平; 对于D,小明、小华两人各写一个数字6或8,共有4种情况:(6,6),(6,8),(8,6),(8,8), 两人写的数字相同的概率为,两人写的数字不同的概率为,所以游戏公平. (2)在一个大转盘上,盘面被均匀地分成12份,分别写有1~12这12个数字,其中2,4,6,8,10,12这6个区域对应的奖品是文具盒,而1,3,5,7,9,11这6个区域对应的奖品是随身听.游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格,则继续向前前进相应的格数.例如:你转动转盘停止后,指针落在4所在区域,则还要往前前进4格,到标有8的区域,此时8区域对应的奖品就是你的,依次类推.请问:小明在玩这个游戏时,得到的奖品是随身听的概率是　　　　.  【解析】因为转盘停止后,指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标有偶数的区域, 又因为得到随身听对应的区域均标为奇数, 所以得到的奖品为随身听的概率为0. 答案:0 【即学即练】 下面有两个游戏规则,袋子中分别装有红球和白球,从袋中无放回地取球,分别计算甲获胜的概率,并说明哪个游戏是公平的. 游戏一 游戏二 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取1个球,再取1个球 取1个球,再取1个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜 【解析】在游戏一中,取出的两个球同色的概率为×+×=,取出的两个球不同色的概率为×+×=,所以甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,因此游戏一不公平. 在游戏二中,取出的两个球同色的概率为×=,取出的两个球不同色的概率为×+×=,所以甲、乙获胜的概率均为,因此游戏二公平. 类型4随机模拟方法估计概率(数学建模) 【典例4】(1)进入8月份后,我市持续高温,气象台一般会提前发布高温橙色预警信号(高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上),在今后的3天中,每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数,结果如下: 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 若用0,1,2,3,4,5表示发布高温橙色预警信号,用6,7,8,9表示不发布高温橙色预警,则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是 (　　) A.　　 B. C.　　 D. 【解析】选B.由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有: 116　812　730　217　109　361　284　147　318 027,共10个,故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是=. (2)(2025·成都高一检测)盒子中有四个大小质地完全相同的小球,分别写有“安”“宁”“联”“盟”四个字,有放回地从中任取一个小球,将三次抽取后“联”“盟”两个字都抽取到记为事件A.用随机模拟的方法估计事件A发生的概率,利用计算机随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表“安”“宁”“联”“盟”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:233,103,122,320,031,231,133,130,231,001,220,132,021,123,023,230,321,232,由此可以估计,事件A发生的概率为　　　　.  【解析】根据题意可知“联”“盟”两个字都抽取到,代表三个数字中同时出现数字2和3, 观察发现18组随机数中有233,320,231,231,132,123,023,230,321,232,共10组, 再由古典概型公式计算可得事件A发生的概率为P==. 答案: 【总结升华】 用随机模拟方法求事件概率的方法 (1)在使用整数随机数进行模拟试验时,首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果. (2)试验的基本结果是等可能时,样本空间即为产生随机数的范围,每个随机数代表一个样本点. (3)研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数. 【即学即练】 (2025·佛山高一检测)在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,用计算机产生1~5内的随机数,当出现1,2,3时表示一局比赛甲获胜,当出现4,5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局(获胜2局的是冠军),所以每3个随机数为一组,现产生20组随机数,结果如下: 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是 (　　) A.0.35　 B.0.55　 C.0.6　 D.0.65 【解析】选D.表示甲获得冠军的随机数有423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314,共13组数,故估计该场比赛甲获得冠军的概率为=0.65. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 10.3　频率与概率 内容概览 【学习目标】 1.在具体情境中,了解随机事件的不确定性和频率的稳定性.(数学抽象) 2.会用频率估计概率.(数学抽象、数据分析) 3.会用频率的稳定性解释生活中的实际问题.(数学建模、数据分析) 4.了解随机数,会利用随机数估计概率.(数据分析) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、频率的稳定性 一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会_____,即事件A发生的频 率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的_________.我们称频率的这个性质为频率的 稳定性.因此,我们可以用_________估计概率P(A). 【教材深化】 1.频率随着试验次数的变化而变化,而概率是一个常数,是客观存在的,与试验次 数无关. 2.在实际应用中,只要试验的次数足够多,所得的频率就可以近似地看作随机事件 的概率. 3.概率是频率的稳定值. 缩小 概率P(A) 频率fn(A) 返回 【思考】 1.频率与概率相等吗? 提示:可以相等.但因为每次试验的频率是不固定的,而概率是固定的,故一 般是不相等的,但也有可能是相等的. 2.随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系? 提示:随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小,但并不表示概 率大的事件一定发生,概率小的事件一定不发生. 返回 二、随机数 1.随机数的概念 要产生0~n(n∈N*)之间的随机整数,把n个___________相同的小球分别标 上0,1,2,3,…,n,放入一个容器中,_________后取出一个球,这个球上的数就 称为随机数. 2.产生随机数的方法 (1)利用计算器或___________产生随机数. (2)构建模拟试验产生随机数. 质地和大小 充分搅拌 计算机软件 返回 3.随机模拟方法(蒙特卡洛方法) 利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的 _____来估计_____,这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟 方法或蒙特卡洛方法. 频率 概率 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)频率是客观存在的,与试验次数无关.( ) 提示:概率是客观存在的,与试验次数无关,而频率与试验次数有关. (2)随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率.( ) 提示:随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频 率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A). (3)用计算器或计算机产生的随机数是伪随机数.( ) 提示:计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪随 机数. × √ √ 返回 (4)在相同环境下,两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的.( ) 提示:随机模拟得到的是事件发生的频率,具有不确定性,因此两次随机模拟 得到的概率的估计值不一定相等. × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1频率与概率的关系(数学抽象) 【典例1】(1)(多选)下列说法中错误的是(　　) A.昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误 的 B.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖 C.做10次抛硬币的试验,结果3次正面朝上,因此正面朝上的概率为 D.某厂产品的次品率为2%,但该厂的50件产品中可能有2件次品 √ √ √ 返回 【解析】选ABC.A项中降水概率为95%,仍有不降水的可能,故A项错误; B项中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时,有1%的机会中奖,但不一定买100张彩票一定有1张会中奖,故B项错误; C项中正面朝上的频率为,概率仍为,故C项错误; D项中次品率为2%,但50件产品中可能没有次品,也可能有1件或2件或3件或更多件次品,故D项正确. 返回 (2)(多选)(2025·济宁高一检测)下述关于频率与概率的说法中,错误的是 (　　) A.设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品 B.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率,即使随机试验的次数超 过10 000,所估计出的概率也不一定很准确 C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D.抛掷十次质地均匀的骰子,结果3次出现2点,因此,抛掷骰子出现2点的概 率是 √ √ √ 返回 【解析】选ACD.对于A:从中任取100件,可能有10件次品,A错误; 对于B:10 000次的界定没有科学依据,“不一定很准确”的表达正确,试验次 数越多,频率越稳定在概率值附近,但并非试验次数越多,频率就等于概率,B 正确; 对于C:多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近,此常数为概率,C 中描述不符合概率定义,C错误; 对于D:做十次抛掷骰子的试验,结果3次出现2点,因此,出现2点的频率是, 并不是概率为,D错误. 返回 【总结升华】 频率与概率的关系 (1)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率. (2)频率本身是随机的,在试验前不能确定. (3)概率是一个确定的常数,是客观存在的,在试验前已经确定,与试验次数 无关. 返回 【即学即练】 下列说法正确的是(　　) A.由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,则 一定为一男一女 B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖 C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1 √ 返回 【解析】选D.一对夫妇生两个小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所 以A不正确; 中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中 一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确; 10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸, 摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确. 返回 类型2利用频率估计概率(数学建模、逻辑推理) 【典例2】李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,李老师这门 课3年来的考试成绩分布如表所示. 经济学院大一年级的某学生下学期将选 修李老师的高等数学课,用已有的信息估 计她得以下分数的概率(结果保留到小数 点后三位). (1)90分以上;(2)60分~69分;(3)60分以上. 成绩 人数 90分以上 43 80分~89分 182 70分~79分 260 60分~69分 90 50分~59分 62 50分以下 8 返回 【解析】总人数为43+182+260+90+62+8=645,根据公式可计算出选修李 老师的高等数学课的学生的考试成绩在各个分数段上的频率依次为 ,,,,,. 用已有的信息,可以估计出该学生下学期选修李老师的高等数学课得分的 概率如下: (1)将“90分以上”记为事件A,则P(A)=≈0.067. (2)将“60分~69分”记为事件B,则P(B)=≈0.140. (3)将“60分以上”记为事件C,则P(C)=≈0.891. 返回 【总结升华】 由统计定义求概率的一般步骤 (1)确定随机事件A的频数nA(n为试验的总次数); (2)由fn(A)=计算频率fn(A); (3)由频率fn(A)估计概率P(A). 返回 【即学即练】 为了研究某种油菜籽的发芽率,科研人员在相同条件下做了10批试验,油菜 籽的发芽试验相关数据如表: 批次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 每批 粒数 2 5 10 70 130 700 1 500 2 000 3 000 5 000 发芽 的粒数 2 4 9 60 116 637 1 370 1 786 2 709 4 490 返回 (1)如何计算每批试验中油菜籽发芽的频率? (2)由各批油菜籽发芽的频率,可以得到频率具有怎样的特征? (3)如何确定该油菜籽发芽的概率? 【解析】(1)利用发芽的频率=,可求出每批油菜籽发芽的频率. (2)批次1的频率为=1, 批次2的频率为=0.8, 批次3的频率为=0.9, 返回 批次4的频率为≈0.857, 批次5的频率为≈0.892, 批次6的频率为=0.91, 批次7的频率为≈0.913, 批次8的频率为=0.893, 批次9的频率为=0.903, 返回 批次10的频率为=0.898, 当试验次数越来越多时,频率越来越趋近于一个常数. (3)由(2)可知,当试验次数越来越多时,频率在0.9附近波动,由此估计该油菜籽发芽的概率为0.9. 返回 类型3游戏的公平性(数学运算) 【典例3】(1)(2025·许昌高一检测)小明与小华两人玩游戏,则下列游戏不公平的 是(　　) A.抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数,小明获胜,向上的点数为偶数,小华获胜 B.同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上,小明获胜,两枚都正面向上,小华获胜 C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色,小明获胜,扑克牌是黑色, 小华获胜 D.小明、小华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同,小明获胜,否则小 华获胜 √ 返回 【解析】选B.对于A,抛掷一枚骰子,一共有6种情况,向上的点数为奇数的概率为,向 上的点数为偶数的概率为,所以游戏公平; 对于B,同时抛掷两枚硬币,一共有4种情况:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反), 恰有一枚正面向上的概率为,两枚都正面向上的概率为,所以游戏不公平; 对于C,从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的概率为,扑克牌是黑 色的概率为,所以游戏公平; 对于D,小明、小华两人各写一个数字6或8,共有4种情况:(6,6),(6,8),(8,6),(8,8), 两人写的数字相同的概率为,两人写的数字不同的概率为,所以游戏公平. 返回 (2)在一个大转盘上,盘面被均匀地分成12份,分别写有1~12这12个数字,其 中2,4,6,8,10,12这6个区域对应的奖品是文具盒,而1,3,5,7,9,11这6个区域对 应的奖品是随身听.游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格,则继续向前前 进相应的格数.例如:你转动转盘停止后,指针落在4所在区域,则还要往前前 进4格,到标有8的区域,此时8区域对应的奖品就是你的,依次类推.请问:小明 在玩这个游戏时,得到的奖品是随身听的概率是　　　　.  返回 【解析】因为转盘停止后,指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为 标有偶数的区域, 又因为得到随身听对应的区域均标为奇数, 所以得到的奖品为随身听的概率为0. 答案:0 返回 【即学即练】 下面有两个游戏规则,袋子中分别装有红球和白球,从袋中无放回地取球,分 别计算甲获胜的概率,并说明哪个游戏是公平的. 游戏一 游戏二 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取1个球,再取1个球 取1个球,再取1个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜 返回 【解析】在游戏一中,取出的两个球同色的概率为×+×=,取出的两个 球不同色的概率为×+×=,所以甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,因 此游戏一不公平. 在游戏二中,取出的两个球同色的概率为×=,取出的两个球不同色的概 率为×+×=,所以甲、乙获胜的概率均为,因此游戏二公平. 返回 类型4随机模拟方法估计概率(数学建模) 【典例4】(1)进入8月份后,我市持续高温,气象台一般会提前发布高温橙色预警信号 (高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上),在今后的3天中,每一 天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数,结果如下: 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 若用0,1,2,3,4,5表示发布高温橙色预警信号,用6,7,8,9表示不发布高温橙色预警,则今 后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是(　　) A.　　 B. C.　　 D. √ 返回 【解析】选B.由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信 号的随机数有: 116　812　730　217　109　361　284　147　318 027,共10个, 故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是=. 返回 (2)(2025·成都高一检测)盒子中有四个大小质地完全相同的小球,分别写有 “安”“宁”“联”“盟”四个字,有放回地从中任取一个小球,将三次抽取后 “联”“盟”两个字都抽取到记为事件A.用随机模拟的方法估计事件A发生的 概率,利用计算机随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表 “安”“宁”“联”“盟”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果, 经随机模拟产生了以下18组随机数: 233,103,122,320,031,231,133,130,231,001,220,132,021,123,023,230,321,232, 由此可以估计,事件A发生的概率为　　　　.  返回 【解析】根据题意可知“联”“盟”两个字都抽取到,代表三个数字中同时出 现数字2和3, 观察发现18组随机数中有233,320,231,231,132,123,023,230,321,232,共10组, 再由古典概型公式计算可得事件A发生的概率为P==. 答案: 返回 【总结升华】 用随机模拟方法求事件概率的方法 (1)在使用整数随机数进行模拟试验时,首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果. (2)试验的基本结果是等可能时,样本空间即为产生随机数的范围,每个随机数代表一个样本点. (3)研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数. 返回 【即学即练】 (2025·佛山高一检测)在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了 决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,用计算机产生1~5内 的随机数,当出现1,2,3时表示一局比赛甲获胜,当出现4,5时表示一局比赛乙获胜. 由于要比赛3局(获胜2局的是冠军),所以每3个随机数为一组,现产生20组随机数, 结果如下: 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是(　　) A.0.35　 B.0.55　 C.0.6　 D.0.65 √ 返回 【解析】选D.表示甲获得冠军的随机数有 423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314,共13组数, 故估计该场比赛甲获得冠军的概率为=0.65. 返回 $