10.1.4 概率的基本性质（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章 概率 10.1 随机事件与概率 10.1.4 概率的基本性质 【学习目标】 1. 理解事件的包含、相等、并事件、交事件、互斥事件、对立事件的定义，掌握概率的 条基本性质，能运用性质解决简单的概率计算问题. 1. 通过情境探究、小组互动，经历事件关系的抽象过程，学会用集合语言描述事件，提升逻辑推理和数学运算能力. 1. 培养数学抽象、逻辑推理、数学运算素养，体会数学与生活的联系，能运用概率性质分析实际问题，增强应用意识. 【学习重点】 1、 概率的 条基本性质： · (1) ； · (2) ，； · (3) 若 ，则 ； · (4) 若 与 互斥，则 （互斥事件概率加法公式）； · (5) 若 与 为对立事件，则 ，且 ； · (6) 推广：若 两两互斥，则 . 2、 利用互斥事件和对立事件求概率. 【学习难点】 1. 区分互斥事件与对立事件. 2. 将复杂事件分解为互斥事件的和，或利用对立事件简化计算. 3. 正确判定事件间的关系（包含、互斥、对立）. 学习任务一 概率的基本性质（范围、单调性、互斥加法） 【合作探究】 1. 问题引入： · 必然事件、不可能事件、随机事件的概率分别有什么特征？ ，，. 1. 包含关系与概率大小： · 若事件 发生时事件 一定发生（），则 . · 例如，抛掷一枚骰子， = “点数为 ”， = “点数为偶数”，则 ，. 1. 互斥事件的概率加法公式： · 若事件 与 互斥（），则 . · 推广：若 两两互斥，则 . · 例如，抛掷一枚骰子， = “点数为 ”， = “点数为 ”，则 与 互斥，. 1. 思考： (1) 若 与 互斥，则 一定等于 吗？ · （不一定，例如 = “点数为 ”， = “点数为 ”，和为 .） (2) 若 ，则 与 一定对立吗？ · （不一定，例如在非古典概型中可能不是，但在古典概型中若样本点有限且等可能，且 与 互斥且覆盖所有样本点，则对立.） 【自主梳理】 1. ，，. 1. 若 ，则 . 1. 若 与 互斥，则 . 1. 若 两两互斥，则 . 学习任务二 对立事件的概率性质 【合作探究】 1. 对立事件的定义： · 与 满足 且 ，则称 是 的对立事件. 1. 对立事件的概率关系： · ，或 . 1. 应用： · 当直接求事件 的概率较复杂时，可先求其对立事件的概率，再用减法. · 例如，抛掷一枚骰子，求“点数不大于 ”的概率. · 事件 = “点数不大于 ”，其对立事件 = “点数为 ”，，所以 . 1. 辨析： · 互斥事件与对立事件的关系：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件. · 若 与 对立，则 ，反之不一定成立（需要 与 互斥且其并集为 ）. 【自主梳理】 1. 对立事件：. 2. 利用对立事件可简化“至少有一个”等问题的概率计算. 学习任务三 概率性质的综合应用 【合作探究】 1. 例1：某射手在一次射击中，命中 环、 环、 环的概率分别为 、、，命中 环及以下的概率为 ，求： · (1) 命中 环及以上的概率； · (2) 命中 环或 环的概率. · 解：设 = “命中 环”， = “命中 环”， = “命中 环”， = “命中 环及以下”. · 易知 两两互斥，且 . · (1) 命中 环及以上为 ，由互斥加法： · . · 或利用对立事件：. · (2) 命中 环或 环为 ，. 1. 例2：某饮料促销，一箱 罐中有 罐中奖.从一箱中随机抽取 罐，求能中奖的概率. · 解：设事件 = “抽到的 罐中至少有一罐中奖”. · 方法一（直接古典概型）：样本空间总数 ，中奖情况分两类： (1) 恰 罐中奖： 种； (2) 恰 罐中奖： 种； · 共 种，. · 方法二（对立事件）： 的对立事件为“两罐都不中奖”，有 种，，则 . 1. 例3：已知 ，，且 与 互斥，求 . · 解：. 1. 例4：已知 ，，且 与 互斥，求 . · 解：由互斥加法，. 【自主梳理】 解题步骤： (1) 明确事件关系（是否互斥，是否对立）. (2) 选择公式（互斥加法或对立减法）. (3) 计算并检验结果在 内. 【自查自纠】（正误判断） 1. 若事件 与 互斥，则 . （ ） 1. 若事件 与 对立，则 . （ ） 1. 若 ，则 是不可能事件. （ ） 1. 若 ，则 . （ ） 1. 若 与 互斥，则 . （ ） 答案：1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：抛掷一枚质地均匀的骰子，设 = “出现点数小于 ”， = “出现点数为偶数”.求 . 解：，， 不为空，故 与 不互斥. 方法一（直接列举）：，共 个样本点，. 方法二（概率加法公式非互斥形式，后续学习，此处直接计算）. 例2：已知 ，，且 与 互斥，求 . 解： ？但概率不能大于 ，说明 与 互斥时 ，此处 ，矛盾，故这样的 不存在.原题数据不合理，应改为 等.教学中注意检查数据合理性. 例3：某射手命中 环、 环、 环的概率分别为 ，求命中不低于 环的概率. 解：事件互斥，. 【习题巩固】 1. 下列说法正确的是（ ） · A. 若事件 与 互斥，则 · B. 若事件 与 对立，则 · C. 若 ，则 是不可能事件 · D. 若 ，则 是必然事件 1. 已知 ，，且 与 互斥，则 （ ） · A.  B.  C.  D. 1. 从装有 个红球和 个白球的袋子中随机摸出 个球，记事件 = “恰好摸到 个红球和 个白球”， = “恰好摸到 个红球”， = “至少摸到 个红球”. · (1) 判断 与 的关系； · (2) 求 （利用对立事件）. 1. 抛掷一枚骰子，事件 = “出现点数小于 ”， = “出现点数为奇数”，求 . 1. （选做）某射手在一次射击中，命中 环的概率为 ，命中 环的概率为 ，命中 环的概率为 ，命中 环的概率为 ，命中 环及以下的概率为 .求： · (1) 命中 环及以上的概率； · (2) 命中 环或 环的概率； · (3) 命中不超过 环的概率. 【参考答案】 自查自纠：1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 习题巩固： 1. B 1. A（） 1. (1) 与 互斥（不能同时发生）； · (2) 的对立事件是“摸到 个白球”，，. 1. ，，，. 1. 设 等，互斥. · (1) ； · (2) ； · (3) 不超过 环包括 环及以下，（或 ）. 学科网（北京）股份有限公司 $