10.1.3 古典概型 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章 概率 10.1 随机事件与概率 10.1.3 古典概型 【学习目标】 1. 结合具体实例，理解古典概型的两大核心特征（有限性、等可能性），掌握古典概型的概率计算公式，能准确计算简单古典概型的随机事件概率. 1. 通过情境探究、互动分析，经历从具体实例到抽象概念的推导过程，提升观察、归纳、推理能力，学会用列举法（直接列举、树状图）确定样本点个数. 1. 通过古典概型的学习，培养数学抽象、数学运算、数学建模素养，体会数学与生活的联系，增强数学应用意识. 【学习重点】 1. 古典概型的两个特征：有限性、等可能性. 2. 古典概型的概率公式：. 3. 用列举法求样本空间及事件包含的样本点个数. 【学习难点】 1. 判断一个试验是否为古典概型（有限且等可能）. 2. 在抽样问题中正确区分“有序”与“无序”、“有放回”与“不放回”. 3. 不重不漏地列举样本点. 学习任务一 古典概型的特征 【合作探究】 1. 问题引入： · 抛一枚均匀硬币，正面朝上的概率是多少？掷一枚均匀骰子，出现点数为偶数的概率是多少？从装有3个红球和2个白球的袋子中随机摸一球，摸到红球的概率是多少？ · 这些试验有什么共同特点？ (1) 样本空间中的样本点个数是有限的. (2) 每个样本点发生的可能性相等（等可能）. 1. 古典概型的定义： · 如果一个随机试验满足： · (1) 样本空间 中只有有限个样本点（有限性）； · (2) 每个样本点出现的可能性相等（等可能性）. · 则称该试验为古典概型. 1. 辨析： · 下列试验是否为古典概型？ · (1) 从区间 内任取一个数，取到 的概率； · (2) 从 到 中任取一个整数，取到 的概率； · (3) 种下一粒种子，观察它是否发芽； · (4) 掷一枚不均匀的硬币，求正面朝上的概率. · 解： · (1) 不是，样本点无限. · (2) 是. · (3) 不是，不满足等可能性（发芽概率不一定为0.5）. · (4) 不是，硬币不均匀，等可能性不成立. 【自主梳理】 1. 古典概型两个特征：有限性、等可能性. 2. 判断步骤：先看样本点是否有限，再看每个样本点是否等可能. 学习任务二 古典概型的概率计算公式 【合作探究】 1. 公式推导： · 设古典概型试验的样本空间 包含 个样本点，每个样本点发生的概率均为 .若事件 包含 个样本点，则 1. 求概率的步骤： (1) 判断试验是否为古典概型. (2) 确定样本空间 ，计算样本点总数 . (3) 确定事件 ，计算 包含的样本点个数 . (4) 代入公式 . 1. 例题（基本列举）： · 从字母 中任意取出两个不同字母，求取出的字母中含有 的概率. · 解：样本空间 ，. · 事件 = “含有 ” = ，， · . 【自主梳理】 1. 古典概型概率公式：. 2. 计算时需准确列举，注意顺序（有序/无序）. 学习任务三 常见古典概型问题（抽样、涂色等） 【合作探究】 1. 例1（无放回无序）： · 袋中有 个红球（编号 ）和 个白球（编号 ），从中任取 个球（一次性取出，不考虑顺序），求取出的 个球都是红球的概率. · 解：样本空间 ，. · 事件 = “两球都是红球” = ，， · . 1. 例2（有放回有序）： · 从上述袋中有放回地取两次，每次取一球，求两次都取到红球的概率. · 解：有放回，每次有 种可能，样本空间有序，. · 事件 = “两次都是红球” → 第一次有 种，第二次有 种，共 种，. 1. 例3（涂色问题）： · 将一个各个面涂有颜色的正方体锯成 个同样大小的小正方体，从中任取 个，求： · (1) 三面涂有颜色的概率； · (2) 两面涂有颜色的概率； · (3) 一面涂有颜色的概率； · (4) 各面都没有涂色的概率. · 解：大正方体 分割. (1) 三面涂色的在顶点处，共 个，. (2) 两面涂色的在棱上（除去顶点），每条棱上 个，共 个，. (3) 一面涂色的在每个面中心（除去棱），每个面 个，共 个，. (4) 无涂色的在内部，共 个，. · 验证：. 1. 思考： 在例1中，若考虑先后顺序（有序），样本空间会变成多少？事件 包含的样本点个数又如何？概率会改变吗？ · （有序时 ，，，概率不变.） 【自主梳理】 抽样方式 是否有序 样本空间总数 常用于 一次性抽取 无序 组合数 先后不放回 有序 排列数 有放回 有序 独立重复 注意：计算概率时，样本空间和事件需保持一致的计数方式（要么都考虑顺序，要么都不考虑）. 【自查自纠】（正误判断） 1. 古典概型中，每个样本点发生的概率不一定相等. （ ） 1. 从 中任取两个不同的数，样本空间有 个样本点（无序）. （ ） 1. 有放回抽样中，每次抽取相互独立，样本空间总数是 . （ ） 1. 在古典概型中，. （ ） 1. 掷一枚骰子，出现点数为 的概率是 ，这是一个古典概型. （ ） 答案：1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：从 中随机取三个不同的数，求这三个数中最大数为 的概率. 解：样本空间总数为 .事件“最大数为 ”意味着取出的数必须包含 ，且另外两个数从 中取，有 种.所以 . 例2：袋子中有 个大小质地完全相同的球，其中 个红球、 个黄球，从中不放回地依次随机摸出 个球，求“第一次摸到红球”的概率. 解：有顺序，样本空间总数为 .事件“第一次摸到红球” → 第一次有 种，第二次有 种（任意），共 种，. 【习题巩固】 1. 下列试验中，是古典概型的是（ ） · A. 某人射击命中目标的概率 · B. 在区间 上任取一个数的概率 · C. 抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率 · D. 从 件产品（ 件正品， 件次品）中任取 件，取到正品的概率 1. 从甲、乙、丙三人中任选两人，则甲被选中的概率为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 一个袋中装有 个红球和 个白球，从中随机摸出 个球，则摸出的 个球颜色相同的概率为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 同时抛掷两枚均匀的骰子，则点数之和为 的概率为______. 1. （选做）一个盒子里装有 张卡片，上面分别写有数字 ，从中随机抽取 张（不放回），求两张卡片上的数字之和为偶数的概率. 【参考答案】 自查自纠：1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 习题巩固： 1. D 1. C（样本空间：甲乙、甲丙、乙丙，共 种，甲被选中 种，概率 ） 1. A（样本空间 ，颜色相同有：两红 种，两白 种，共 种，） 1. （点数和为 的有 ，共 种） 1. 样本空间 .数字和为偶数，需两数同奇或同偶.奇数有 （种），偶数有 （种），共 种，. 学科网（北京）股份有限公司 $