1.导学案 06 第10章 10.1.4 概率的基本性质(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

10.1.4　概率的基本性质 【学习目标】 1.理解概率的基本性质.(数学抽象) 2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题的方法.(数学运算) 必备知识·自主导学 概率的基本性质 性质1　对任意的事件A,都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0. 性质3　如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 推广　如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B). 性质5　如果A⊆B,那么P(A)≤P(B). 性质6　设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 【教材深化】 利用互斥事件求概率的关注点 (1)将一个事件拆分为若干个互斥事件,分别求出各事件的概率,然后用加法公式计算结果. (2)在运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件,做到不重不漏. 【思考】 1.如何从集合的角度理解性质3和性质4? 提示:对于性质3,从集合的并集运算理解;对于性质4,从集合的补集运算理解. 2.性质6与性质3有什么关系? 提示:当事件A,B互斥时,应用性质3;当事件A,B不互斥时,应用性质6,性质3可以看作性质6的一种特殊情况. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率. (×) 提示:当两个事件A与B互斥时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B). (2)对于互斥事件A与B,一定有P(A)+P(B)=1. (×) 提示:只有两事件A与B对立,才有P(A)+P(B)=1. (3)若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B一定是对立事件. (×) 提示:P(A)+P(B)=1,事件A和事件B可以对立也可以不对立. 关键能力·师生共研 类型1概率基本性质的直接应用(数学运算) 【典例1】(1)(2025·重庆高一检测)已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.8,P(B)=0.4,则P()= (　　) A.0.5　 B.0.6　 C.0.7 D.0.8 【解析】选B.由A与B互斥,得P(A∪B)=P(A)+P(B),则P(A)=P(A∪B)-P(B)=0.8-0.4=0.4, 所以P()=1-P(A)=1-0.4=0.6. (2)(2025·上海高一检测)若三个事件A,B,C两两互斥,P(A)=0.3,P()=0.6,P(C)=0.2,则P(A∪B∪C)= (　　) A.0.1　 B.0.5 C.0.9 D.1 【解析】选C.由P()=0.6可得P(B)=1-P()=0.4,因事件A,B,C两两互斥,故P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.4+0.2=0.9. 【总结升华】 关于概率性质的直接应用 (1)明确各个事件的概率,若涉及对立事件,则利用性质4求出对立事件的概率; (2)判断事件的关系,选择P(A∪B)=P(A)+P(B)、P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)等性质解题. 提醒: 公式 条件 P(A∪B)=P(A)+P(B) A与B互斥 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) A,B是一个随机试验中的两个事件,可能互斥,也可能不互斥 【即学即练】 1.(多选)(2025·济宁高一检测)掷一枚骰子的试验,事件A表示“出现小于5的偶数点”,事件B表示“出现小于5的点数”.若表示B的对立事件,则一次试验中,下列说法正确的是 (　　) A.P(A)=　 B.P(B)= C.P(∪)=　 D.P(A∪)= 【解析】选ABD.掷一枚骰子的试验有6种可能结果.出现的点数分别为1,2,3,4,5,6, 则满足事件A的情况有:点数为2,4;满足事件B的情况有:点数为1,2,3,4; 依题意P(A)==,P(B)==,故A,B正确;P()=1-=, 因为表示“出现5点或6点”的事件,A表示“出现小于5的偶数点”,所以A与互斥, 故P(A∪)=P(A)+P()=,故D正确; 表示“出现的点数为1,3,5,6”的事件,则P()=1-=,显然包含在内,则P(∪)=P()=,故C错误. 2.抛掷两枚硬币,事件A表示“至少一枚正面朝上”,事件B表示“两枚正面都不朝上”,则 (　　) A.P(A)=P(B)　 B.P(A)>P(B) C.P(A)<P(B)　 D.P(A)+P(B)>1 【解析】选B.记硬币正面朝上为正,反面朝上为反,抛掷两枚硬币的样本空间Ω={(正正),(正反),(反正),(反反)},共4个样本点,A={(正正),(正反),(反正)},共3个样本点,因此P(A)=,显然事件A与B互为对立事件,所以P(B)=1-P(A)=,显然选项A,C,D不正确,B正确. 类型2互斥、对立事件的概率(数学运算) 【典例2】(教材例12变式)袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个,其中白球3个,现有甲、乙两人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取,…,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的. (1)求取球2次即终止的概率; (2)求甲取到白球的概率. 【解析】(1)设事件A为“取球2次即终止”.即甲第一次取到的是黑球,而乙取到的是白球,借助树状图求出相应事件的样本点数: 因此,P(A)==. (2)设事件B为“甲取到白球”,“第i次取到白球”为事件i=1,2,3,4,5,因为甲先取,所以甲只可能在第1次,第3次和第5次取到白球.借助树状图求出相应事件的样本点数: 所以P(B)=P(A1∪A3∪A5)=P(A1)+P(A3)+P(A5)=++=++=. 【总结升华】 求互斥、对立事件概率问题的解题策略 (1)运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,然后求出各事件的概率,用加法公式得出结果. (2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时,可间接地先计算出其对立事件的个数,求得对立事件的概率,然后利用对立事件的概率加法公式P(A)+P(B)=1,求出符合条件的事件的概率. 【即学即练】 某商场有奖销售活动中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1张奖券的中奖概率; (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 【解析】(1)由题意知,P(A)=,P(B)==,P(C)==. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖,设“1张奖券中奖”为事件M, 则M=A∪B∪C. 因为A,B,C两两互斥, 所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=. 故1张奖券的中奖概率为. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以P(N)=1-P(A∪B)=1-(+)=. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 类型3概率性质的综合应用(数学运算) 【典例3】(2025·商丘高一检测)某集团军举行登岛演习,演习要求该集团军的导弹旅捣毁岛上的M目标,导弹旅的每辆登陆艇每次发射一枚导弹,由于受到天气以及“敌方”反导弹的拦截,命中率是80%,至少要有一枚导弹击中M目标,才能说明M目标被捣毁,因此采用多辆登陆艇同时发射导弹的方法去捣毁M目标.至少需要　　　　　辆登陆艇同时发射导弹,才能有不小于0.995的概率保证M目标被捣毁.(参考数据:lg 2≈0.301 0)  【解析】设至少需要n辆登陆艇同时发射导弹,才能有不小于0.995的概率保证M目标被捣毁. 则1-0.2n≥0.995⇒0.2n≤0.005⇒nlg ≤lg ⇒n≥=≈3.3. 所以至少需要4辆登陆艇同时发射导弹. 答案:4 【即学即练】 某初级中学共有学生2 000名,各年级男、女生人数如表: 项目 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到八年级女生的概率为0.19. (1)求x的值; (2)已知y≥245,z≥245,求九年级学生中女生比男生少的概率; (3)已知z=218,在全校学生中随机抽取一名学生,则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少? 【解析】(1)因为=0.19,所以x=380. (2)设九年级女生比男生少为事件A,由题中表格知九年级女生数、男生数分别为y,z, 由(1)知x=380,所以y+z=2 000-(373+377+380+370)=500,y,z∈N. 满足题意的所有样本点是(245,255),(246,254),(247,253),…,(255,245),共11个, 事件A包含的样本点是(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),共5个. 因此P(A)=. (3)设B=“抽到女生”,C=“抽到九年级学生”, 由(2)知y+z=500, 因为z=218,所以y=282, 所以全校女生共有373+380+282=1 035(名), 则有P(B)==,P(C)==, P(B∩C)==. 所以该学生是女生或九年级学生的概率为P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B∩C)=+-=. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 10.1.4　概率的基本性质 内容概览 【学习目标】 1.理解概率的基本性质.(数学抽象) 2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题的方法.(数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 概率的基本性质 性质1　对任意的事件A,都有_______. 性质2　必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即_______,_______. 性质3　如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=__________. 推广　如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于 这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=_______,P(A)=_______. 性质5　如果A⊆B,那么P(A)≤P(B). 性质6　设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)- P(A∩B). P(A)≥0 P(Ω)=1 P(⌀)=0 P(A)+P(B) 1-P(A) 1-P(B) 返回 【教材深化】 利用互斥事件求概率的关注点 (1)将一个事件拆分为若干个互斥事件,分别求出各事件的概率,然后用加法 公式计算结果. (2)在运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥, 同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件,做到不重不漏. 返回 【思考】 1.如何从集合的角度理解性质3和性质4? 提示:对于性质3,从集合的并集运算理解;对于性质4,从集合的补集运算理 解. 2.性质6与性质3有什么关系? 提示:当事件A,B互斥时,应用性质3;当事件A,B不互斥时,应用性质6,性质3可 以看作性质6的一种特殊情况. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率.( ) 提示:当两个事件A与B互斥时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B). (2)对于互斥事件A与B,一定有P(A)+P(B)=1.( ) 提示:只有两事件A与B对立,才有P(A)+P(B)=1. (3)若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B一定是对立事件.( ) 提示:P(A)+P(B)=1,事件A和事件B可以对立也可以不对立. × × × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1概率基本性质的直接应用(数学运算) 【典例1】(1)(2025·重庆高一检测)已知随机事件A和B互斥,且 P(A∪B)=0.8,P(B)=0.4,则P()=(　　) A.0.5　 B.0.6　 C.0.7 D.0.8 【解析】选B.由A与B互斥,得P(A∪B)=P(A)+P(B), 则P(A)=P(A∪B)-P(B)=0.8-0.4=0.4, 所以P()=1-P(A)=1-0.4=0.6. √ 返回 (2)(2025·上海高一检测)若三个事件A,B,C两两互斥,P(A)=0.3,P()=0.6, P(C)=0.2,则P(A∪B∪C)=(　　) A.0.1　 B.0.5 C.0.9 D.1 【解析】选C.由P()=0.6可得P(B)=1-P()=0.4,因事件A,B,C两两互斥,故 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.4+0.2=0.9. √ 返回 【总结升华】 关于概率性质的直接应用 (1)明确各个事件的概率,若涉及对立事件,则利用性质4求出对立事件的概率; (2)判断事件的关系,选择P(A∪B)=P(A)+P(B)、P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)等性质解题. 返回 提醒: 公式 条件 P(A∪B)=P(A)+P(B) A与B互斥 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) A,B是一个随机试验中的两个事件,可能 互斥,也可能不互斥 返回 【即学即练】 1.(多选)(2025·济宁高一检测)掷一枚骰子的试验,事件A表示“出现小于5的 偶数点”,事件B表示“出现小于5的点数”.若表示B的对立事件,则一次试验 中,下列说法正确的是(　　) A.P(A)=　 B.P(B)= C.P(∪)=　 D.P(A∪)= √ √ √ 返回 【解析】选ABD.掷一枚骰子的试验有6种可能结果.出现的点数分别为1,2,3,4,5,6, 则满足事件A的情况有:点数为2,4;满足事件B的情况有:点数为1,2,3,4; 依题意P(A)==,P(B)==,故A,B正确;P()=1-=, 因为表示“出现5点或6点”的事件,A表示“出现小于5的偶数点”,所以A与互斥, 故P(A∪)=P(A)+P()=,故D正确; 表示“出现的点数为1,3,5,6”的事件,则P()=1-=,显然包含在内,则 P(∪)=P()=,故C错误. 返回 2.抛掷两枚硬币,事件A表示“至少一枚正面朝上”,事件B表示“两枚正面都不 朝上”,则 (　　) A.P(A)=P(B)　 B.P(A)>P(B) C.P(A)<P(B)　 D.P(A)+P(B)>1 【解析】选B.记硬币正面朝上为正,反面朝上为反,抛掷两枚硬币的样本空 间Ω={(正正),(正反),(反正),(反反)},共4个样本点,A={(正正),(正反),(反正)}, 共3个样本点,因此P(A)=,显然事件A与B互为对立事件,所以P(B)=1-P(A)=, 显然选项A,C,D不正确,B正确. √ 返回 类型2互斥、对立事件的概率(数学运算) 【典例2】(教材例12变式)袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个, 其中白球3个,现有甲、乙两人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再 取,…,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被 取出的机会是等可能的. (1)求取球2次即终止的概率; (2)求甲取到白球的概率. 返回 【解析】(1)设事件A为“取球2次即终止”.即甲第一次取到的是黑球,而乙取 到的是白球,借助树状图求出相应事件的样本点数: 因此,P(A)==. 返回 (2)设事件B为“甲取到白球”,“第i次取到白球”为事件i=1,2,3,4,5,因为甲先取,所以 甲只可能在第1次,第3次和第5次取到白球.借助树状图求出相应事件的样本点数: 所以 P(B)=P(A1∪A3∪A5)=P(A1)+P(A3)+P(A5)=++=++=. 返回 【总结升华】 求互斥、对立事件概率问题的解题策略 (1)运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,然后求出各事件的概率,用加法公式得出结果. (2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时,可间接地先计算出其对立事件的个数,求得对立事件的概率,然后利用对立事件的概率加法公式P(A)+P(B)=1,求出符合条件的事件的概率. 返回 【即学即练】 某商场有奖销售活动中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1张奖券的中奖概率; (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 返回 【解析】(1)由题意知,P(A)=,P(B)==,P(C)==. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖,设“1张奖券中奖”为事件M, 则M=A∪B∪C. 因为A,B,C两两互斥, 所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=. 故1张奖券的中奖概率为. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或 中一等奖”为对立事件,所以P(N)=1-P(A∪B)=1-(+)=. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 返回 类型3概率性质的综合应用(数学运算) 【典例3】(2025·商丘高一检测)某集团军举行登岛演习,演习要求该集团军 的导弹旅捣毁岛上的M目标,导弹旅的每辆登陆艇每次发射一枚导弹,由于 受到天气以及“敌方”反导弹的拦截,命中率是80%,至少要有一枚导弹击中 M目标,才能说明M目标被捣毁,因此采用多辆登陆艇同时发射导弹的方法 去捣毁M目标.至少需要　　　　　辆登陆艇同时发射导弹,才能有不小于 0.995的概率保证M目标被捣毁.(参考数据:lg 2≈0.301 0)  返回 【解析】设至少需要n辆登陆艇同时发射导弹,才能有不小于0.995的概率 保证M目标被捣毁. 则1-0.2n≥0.995⇒0.2n≤0.005⇒nlg ≤lg ⇒n≥=≈3.3. 所以至少需要4辆登陆艇同时发射导弹. 答案:4 返回 【即学即练】 某初级中学共有学生2 000名,各年级男、女生人数如表: 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到 八年级女生的概率为0.19. (1)求x的值; (2)已知y≥245,z≥245,求九年级学生中女生比男生少的概率; (3)已知z=218,在全校学生中随机抽取一名学生,则该学生是女生或是九年 级学生的概率是多少? 项目 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 返回 【解析】(1)因为=0.19,所以x=380. (2)设九年级女生比男生少为事件A,由题中表格知九年级女生数、男生数 分别为y,z, 由(1)知x=380,所以y+z=2 000-(373+377+380+370)=500,y,z∈N. 满足题意的所有样本点是(245,255),(246,254),(247,253),…,(255,245),共11个, 事件A包含的样本点是(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),共 5个. 因此P(A)=. 返回 (3)设B=“抽到女生”,C=“抽到九年级学生”, 由(2)知y+z=500, 因为z=218,所以y=282, 所以全校女生共有373+380+282=1 035(名), 则有P(B)==,P(C)==, P(B∩C)==. 所以该学生是女生或九年级学生的概率为 P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B∩C)=+-=. 返回 $