10.1.2 事件的关系和运算（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章 概率 10.1 随机事件与概率 10.1.2 事件的关系和运算 【学习目标】 1. 理解事件间的包含、相等、互斥、对立等关系，能用集合语言和符号准确表示. 1. 掌握事件的并（和）、交（积）运算，能结合实例进行运算. 1. 能准确区分互斥事件与对立事件的联系与区别. 1. 通过类比集合的关系与运算，体会数学中的类比思想；借助 Venn 图和树状图等工具，发展直观想象能力. 【学习重点】 1. 事件间的包含、相等、互斥、对立关系. 2. 事件的并运算（）和交运算（）. 3. 互斥事件与对立事件的判定与区别. 【学习难点】 1. 理解互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件. 2. 将实际问题中的事件关系用集合语言准确表达. 3. 利用 Venn 图分析复杂事件的关系与运算. 学习任务一 事件的关系：包含、相等、互斥、对立 【合作探究】 1. 问题引入： · 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.定义事件： · = “点数为 ”， = “点数小于 ”， = “点数为 或 ”， = “点数为奇数”， = “点数为偶数”. (1) 若事件 发生，事件 是否一定发生？ · （是.因为 ，所以 .） (2) 事件 和事件 能同时发生吗？它们是否包含所有可能结果？ · （不能同时发生，且 为全体样本点，故 与 对立.） (3) 事件 与事件 能同时发生吗？ · （不能，因为 不是 或 ，故 ，互斥.） 1. 事件关系的定义（类比集合）： (1) 包含关系：若事件 发生，则事件 一定发生，记作 （ 是 的子事件）. (2) 相等关系： 且 ，则 . (3) 互斥事件： 与 不能同时发生，即 . (4) 对立事件： 与 互斥，且它们的并集为整个样本空间，即 且 .记作 或 . 1. 思考与辨析： (1) 互斥事件与对立事件有何区别？ · （对立必互斥，互斥不一定对立.对立要求二者必有一个发生，互斥只要求不同时发生，可能都不发生.） (2) 样本空间 与空集 是什么关系？ · （，但 是不可能事件， 是必然事件.） 【自主梳理】 1. 包含：（ 发生 ⇒ 发生） 2. 相等：（ 且 ） 3. 互斥：（不能同时发生） 4. 对立： 且 （有且仅有一个发生） 学习任务二 事件的运算：并事件与交事件 【合作探究】 1. 并事件（和事件）： · 事件 与 至少有一个发生，记作 . · 例如，掷骰子： = “点数为 ”， = “点数为 ”，则 = “点数为 或 ”. 1. 交事件（积事件）： · 事件 与 同时发生，记作 . · 例如， = “点数大于 ”， = “点数小于 ”，则 = “点数为 或 ”. 1. 例题： · 同时抛掷两枚硬币，样本空间 正正正反反正反反. · 设 = “第一枚正面朝上”， = “第二枚正面朝上”，求 和 . · 解：正正正反，正正反正， · 正正正反反正（至少一枚正面）， · 正正（两枚都正面）. 1. 思考： (1) 若事件 与 互斥，则 . (2) 若 ，则 ，. 【自主梳理】 1. 并事件：（至少一个发生） 2. 交事件：（同时发生） 3. 运算律：交换律、结合律、分配律等与集合运算一致. 学习任务三 事件关系与运算的综合应用 【合作探究】 1. 例1（互斥与对立的判断）： · 从 名男生和 名女生中任选 名同学参加比赛，判断下列每对事件是否为互斥事件，若是，再判断是否为对立事件： · ① “恰有 名男生”与“恰有 名男生”； · ② “至少有 名男生”与“全是男生”； · ③ “至少有 名男生”与“全是女生”； · ④ “至少有 名男生”与“至少有 名女生”. · 解： · ① 互斥但不对立（可能选出 名女生，两事件都不发生）. · ② 不互斥（可能选出 名男生，同时满足）. · ③ 互斥且对立（因为只有男生、女生，必有一方发生）. · ④ 不互斥（可能选出 男 女，两事件同时发生）. 1. 例2（用集合表示事件关系）： · 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次射击可能击中（）或未击中（）. · 记 = “第一次击中”， = “第二次击中”， = “两次都击中”， = “两次都未击中”， = “恰有一次击中”， = “至少有一次击中”. · (1) 写出样本空间及 的集合表示； · (2) 指出 与 的关系，以及 与 的关系. · 解： · (1) ， · ，，， · ，，. · (2) ，故 是 与 的并事件； · ，故 是 与 的交事件. 1. 例3：掷一枚骰子，定义事件： · = “出现奇数点”， = “出现偶数点”， = “点数小于 ”， = “点数大于 ”， = “点数是 的倍数”. · 求：(1) ，；(2) ，；(3) （ 的对立事件），，. · 解： · (1) ，（因为 ，，交集为 ）. · (2) ，. · (3) （），， · . 【自主梳理】 1. 判断事件关系时，可先写出样本空间及各事件的样本点，再根据定义判断. 2. 利用集合运算（并、交、补）可简化事件表示. 3. Venn 图是直观分析事件关系的有效工具. 【自查自纠】（正误判断） 1. 若事件 与 互斥，则它们一定对立. （ ） 1. 若 ，则 . （ ） 1. 是 与 互斥的充要条件. （ ） 1. 对立事件的和事件（并）一定是必然事件. （ ） 1. 任何事件与必然事件的并集是必然事件. （ ） 答案：1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：在抛掷一枚骰子的试验中，设 = “点数不大于 ”， = “点数不小于 ”， = “点数为偶数”. (1) 写出 ，， 的集合表示； (2) 求 ，，，并指出它们各是什么事件. 解： (1) ，，. (2) ；；. 例2：在 件产品中有 件次品，从中任取 件.设 = “至少有一件次品”， = “两件都是正品”.判断 与 的关系. 解： 与 互斥且对立，因为 与 不能同时发生，且 为所有可能结果（取 件产品，不是至少一个次品就是全是正品）. 【习题巩固】 1. 从 中随机取一个数，设 = “取到奇数”， = “取到合数”，则 为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 抛掷一枚骰子，下列事件中，与事件“出现点数大于 ”互斥的是（ ） · A. 出现奇数点 B. 出现偶数点 C. 出现点数小于  D. 出现点数不小于 1. 从装有 个红球和 个白球的袋中任取 个球，设 = “取到 个红球”， = “取到 个白球”， = “取到至少 个红球”.则下列关系正确的是（ ） · A.  B.  C.  D. 与 互斥且对立 1. 某小组有 名男生和 名女生，从中任选 人.事件 = “选出的 人性别不同”， = “选出的 人中恰有 名女生”.则 与 的关系是（ ） · A. 相等 B.  C.  D. 互斥 1. （选做）在掷一枚骰子的试验中，定义事件 = “点数小于 ”， = “点数为偶数”， = “点数为 或 ”.求： · (1) ，，； · (2) 判断 与 的关系， 与 的关系. 【参考答案】 自查自纠：1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 习题巩固： 1. C（，，） 1. C（点数大于 与点数小于 不能同时发生） 1. A（ 包含 ） 1. C（ 即恰好一男一女， 也是恰好一男一女，故 ，但选项中有相等，A正确？检查： = “性别不同” = 1男1女， = “恰有1名女生” = 1女1男，相同，故 ，选A） 1. 解：，，. · (1) ，，. · (2) ， 与 不互斥（有公共点 ）. 学科网（北京）股份有限公司 $