10.1.3古典概型 学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案围绕古典概型展开，涵盖事件的概率定义、古典概型的有限性与等可能性特征、概率公式及计算步骤。通过“区间取数”“不均匀硬币”等思考问题衔接随机事件知识，引导学生辨析古典概型条件，搭建学习支架。 资料以情境化例题（如旅游选国家、游戏公平性）和分层练习（判断、计算、放回不放回问题）为特色，通过辨析有限性与等可能性培养数学思维，规范计算步骤训练数学语言，助力学生用数学眼光分析现实问题，提升抽象能力与应用意识。

10.1.3 古典概型 【知识点概况】 一、事件的概率 对随机事件发生 的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用 表示. 二、古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： （1）有限性：样本空间的样本点只有 ； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性 . 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为 模型，简称 . 3、 古典概型的概率公式 一般地，设试验E为古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P（A）= = .其中，n（A）和n（）分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数. 四、求古典概型概率的计算步骤 （1）确定样本点总个数n； （2）确定事件A包含的样本点个数k； （3）计算事件A的概率P（A）= 思考：（1）在区间[0,1]上任取一个数的试验中，其基本事件是有限个吗？ （2） 在掷一枚质地不均匀的硬币的一次试验中，其基本事件是什么？每个基本事件出现的可能性相同吗？ 【课堂练习】 一、古典概型的判断 【例1】下列试验中是古典概型的是（ ） A.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 B.口袋里有两个白球和两个黑球，这4个球除颜色外其他完全相同，从中任取一个球 C.向一个圆面内随机的投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D.射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 【例2】下列概率模型中，是古典概型的个数为（ ） （1） 从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率； （2） 从1，2，3，…，10中任取一个数，求取到1的概率； （3） 在正方形ABCD内画一点P，求点P恰好为正方形中心的概率； （4）向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率. A.1 B.2 C.3 D.4 总结：（1）古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果，每一结果出现的概率都相同. （2）古典概型要求基本事件有有限个. 【练习】 1.判断下列试验是否为古典概型，并说明理由. ①从6名同学中，任意选出4人参加数学竞赛； ②同时掷两枚骰子，观察它们的点数之和； ③近三天中有一天降雨的概率； ④从10个人中任选两人表演节目. 2.下列实验中，是古典概型的有（ ） A.种下一粒种子，观察它是否发芽 B.从直径为250mm±0.6mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d C.抛一枚均匀的硬币，观察其出现正面向上或反面向上 D.某人射击中靶或不中靶 二、古典概型的计算 【例3】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家和3个欧洲国家中，选择两个国家去旅游. ①若从这六个国家中任选两个，求这两个国家都是亚洲国家的概率； ②若从亚洲国家和欧洲国家中各选一个，求这两个国家包括但不包括的概率. 【例4】随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班一天. ①这3人的值班顺序共有多少种不同的安排方法？ ②甲在乙之前的安排方法有多少种？ ③甲安排在乙之前的概率是多少？ 总结：古典概型的概率计算步骤 （1） 求出样本点总个数n； （2） 求出事件A包含的样本点个数m； （3） 【练习】 1.先后抛掷两枚质地均匀的骰子. ①求点数之和为7的概率； ②求掷出两个4点的概率； ③求点数之和能被3整除的概率. 2.现有甲、乙、丙、丁四名学生参加学校社团文学社和街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的. ①求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率； ②求甲。乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率. 三、“放回”与“不放回”问题 【例5】（1）从含有两件正品和1件次品的3件产品中，每次任取1件，每次取后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件次品的概率. （2）在（1）中，把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 总结：抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响，另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取. 【练习】 1.一个盒子里装有完全相同的10个小球，分别标有1，2，3，…，10这10个数字，现随机的抽取两个小球，如果： （1）抽取是不放回的； （2）抽取是有放回的. 分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率. 四、游戏公平性问题 【例6】甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）.求： （1） 平局的概率； （2） 甲赢的概率； （3） 乙赢的概率. 总结：游戏公平性的标准及判断方法： （1） 游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平. （2）具体判断时，可以按所给规则求出双方的获胜概率，再进行比较. 【练习】 1.甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. （1）设i,j分别表示甲、乙抽到的牌的数字，则样本点可用（i，j）表示，写出试验的样本空间； （2）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为此游戏是否公平？说明你的理由. 【课后练习】 1.一袋中装有大小相同，编号分别为1、2、3、4、5、6、7、8的8个球，从中有放回的每次取一个球，共取两次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（ ） A. B. C. D. 2.一枚均匀的硬币连掷两次，恰好出现一次正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D.0 3.（多选题）一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是（ ） A.任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是1/2 B.每次抽取1件，不放回的抽取两次，样本点总数为16 C.每次抽取1件，不放回的抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是1/2 D.每次抽取1件，有范围的抽取两次，样本点总数为16 4.从甲、乙、丙三人中任选两名作代表，甲被选中的概率为 . 5.判断下列试验是否为古典概型. （1）在数学的标准化考试中，选择题都是单选题，一般从A，B，C，D四个选项中选择一个正确的答案.若一位考生碰到一道题，他能肯定的排除一个选项，他必须从其他的3个选项中选出正确的答案； （2）连续投掷一枚均匀的硬币两次，基本事件为：两次都是正面朝上，一次正面朝上一次反面朝上，一次反面朝上一次正面朝上，两次都是反面朝上； （3）同时投掷两枚完全相同的均匀的骰子，所有可能的结果记为：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,3），（3,4），（3,5），（3,6），（4,4），（4,5），（4,6），（5,5），（5,6），（6,6），共21个基本事件. 学科网（北京）股份有限公司 $