2026年中考数学二轮复习 专题6 圆中的重要模型之隐圆模型（4个知识点+4种题型）

该初中数学中考复习讲义聚焦“圆中的隐圆模型”专题，覆盖定点定长、定边对直角、定边对定角、四点共圆4个核心模型，通过“模型梳理-题型归纳-例题解析-变式训练”四环节设计，帮助学生构建知识网络，突破中考高频难点。 亮点在于以核心素养为导向，如通过“定边对定角”模型例题分析，引导学生抽象动点轨迹，培养几何直观与推理意识。设置分层训练（基础例题+变式提升），结合真题情境应用，确保高效复习。助力学生掌握隐圆构造方法，教师可依此精准把控复习节奏，提升应考能力。

2026年中考数学二轮复习 专题6 圆中的重要模型之隐圆模型（4个知识点+4种题型） 【题型归纳】 模型1、定点定长型 2 模型2、定边对直角 5 模型3、定边对定角 8 模型4、四点共圆 11 一、模型梳理 模型1、定点定长型（圆的定义） 若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 模型2、定边对直角（直角对直径） 固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径 模型3、定边对定角（定弦定角模型） 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆 模型4、四点共圆 1）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角． 2）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 条件：线段同侧张角相等． 二、题型突破 模型1、定点定长型 例1.如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（　　） A． B． C． D． 解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF． ∵DC∥AB， ∴＝， ∴DF＝CB＝1，BF＝2+2＝4， ∵FB是⊙A的直径， ∴∠FDB＝90°， ∴BD＝＝． 故选：B． 【变式1-1】如图，在，，E为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查翻折变换，最短路线问题，勾股定理，先确定点的运动路线，并确定最小时点所在位置，再求出的长度即可．确定点的运动路线是解题的关键． 【详解】解：∵沿折叠，得到，∴， ∴点F在以B为圆心6为半径的圆上，设以B为圆心6为半径的圆与交于点， 则，的最小值为的长； 在中，∵，，∴， ∴，∴的最小值为4，故答案为：4． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得， 同理可得，， ∴即， 解得， ∴，∴当线段取最大值时，点的坐标是 模型2、定边对直角 1． 例2.如图，在中，，，为上的一个动点，以为直径的与相切于点，交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】取的中点F，连接，，CF，则．由与相切，可得，通过解直角三角形可得，，．根据是的直径，可得是直角三角形，从而，因此，即的最小值为． 【详解】取的中点F，连接，，CF，则 ∵与相切， ∴，即， ∵，， ∴， ． ∵点F是的中点， ∴， ∴在中，． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴，即的最小值为 【变式2-1】如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（    ） A．π B．π C．π D．2π 【答案】A 【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示： ∵N为BM的中点，Q为AB的中点，∴NQ为△BAM的中位线， ∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°， ∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的， ∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°， ∴为⊙O的周长，∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，故选：A． 在中，点、为、的中点，，， ，即，点在以为直径的半圆上， ，点的运动路径长为，故答案为：． 2． 【变式2-2】如图，的直径，点C为中点，弦经过点C，且．点F为上一动点，连接．于点G．若，在点F运动过程中，线段的长度的最小值为 ．    【答案】 【思路点拨】如图，连接，，取的中点，由．可得在以R为圆心，为直径的圆上运动，（圆的一部分）当，O，G三点共线时，最小，再求解，，可得，，则，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，，取的中点， ∵． ∴在以R为圆心，为直径的圆上运动，（圆的一部分） 当，O，G三点共线时，最小，    ∵，点C为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，∴ 模型3、定边对定角 例3.如图，在边长为6的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接交于点P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作于A，作于，连接，交于，证明，得，再证明，可得，确定点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于A，作于，连接，交于， 是等边三角形，，，， ，，，是的垂直平分线，， 在中，，，， ，，， ，，， 点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧， 点P的运动路径长为．故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，动点的运动轨迹等知识，确定点的运动轨迹是解本题的关键． 【变式3-1】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C是优弧AB上的一动点，BD⊥BC交直线AC于点D，当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，点D所经过的路径长为 ． 【答案】π 【分析】如图，以AB为边向上作等边三角形△ABF，连接OA，OB，OF，DF，OF交AB于H．说明点D的运动轨迹是以F为圆心，FA为半径的圆，再利用弧长公式求解即可． 【详解】如图，以AB为边向上作等边三角形△ABF，连接OA，OB，OF，DF，OF交AB于H． ∵FA=FB，OA=OB，∴OF⊥AB，AH=BH=，∴sin∠BOH=， ∴∠BOH=∠AOH=60°，∴∠AOB=120°∴∠C=∠AOB=60°， ∵DB⊥BC，∴∠DBC=90°，∴∠CDB=30°， ∵∠AFB=60°，∴∠ADB=∠AFB，∴点D的运动轨迹是以F为圆心，FA为半径的圆， ∵当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，BC绕点B顺时针旋转了30°， ∴BD绕点B也旋转了30°，∴点D的轨迹所对的圆心角为60°， ∴运动路径的长，故答案为：． 【点睛】本题考查轨迹，垂径定理，等边三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 【变式3-2】如图所示，在扇形中，，，点是上的动点，以为边作正方形，当点从点移动至点时，求点经过的路径长．    【答案】点经过的路径长为． 【分析】如图，由此BO交⊙O于F，取的中点H，连接FH、HB、BD．易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°，由∠FDB＝45°＝∠FHB，推出点D在⊙H上运动，轨迹是（图中红线），易知∠HFG＝∠HGF＝15°，推出∠FHG＝150°，推出∠GHB＝120°，易知HB＝3，利用弧长公式即可解决问题． 【详解】解：如图，由此BO交⊙O于F，取的中点H，连接FH、HB、BD．    易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°， ∵∠FDB＝45°＝∠FHB，∴点D在⊙H上运动，轨迹是（图中红线）， 易知∠HFG＝∠HGF＝15°，∴∠FHG＝150°，∴∠GHB＝120°，易知HB＝3， ∴点D的运动轨迹的长为＝2π． 【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、圆的有关知识、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点D的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 模型4、四点共圆 3． 例4.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上一点，BD＝2DC，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且∠EDF＝120°，连接EF，则线段EF长的最小值为___________． A B C D E F 【答案】 提示：作△DEF的外接圆⊙O，连接OA、OD、OE、OF，作AG⊥BC于G，OH⊥EF于H A B C D E F G H O ∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝30° ∴AG＝1 ∵∠EDF＝120°，∴∠EOF＝120° ∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE＝30° ∵∠BAC＝120°，∴∠BAC＝∠EOF ∴O、A、E、F四点共圆（或推导相似） ∴∠OAF＝∠OEF＝30° ∴∠BAO＝150°，∴∠BAO＋∠B＝180° ∴AO∥BC，∴OD≥AG，∴OD≥1 ∵OE＝OD，∴OE≥1，∴EH≥ ，∴EF≥ 【变式4-1】如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则FM＝　 　，＝　 　． 解：∵将△EFG沿EF翻折，得到△EFM， ∴FG＝FM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴△AGF∽△CGD， ∴， ∵点F是AB的中点， ∴AF＝CD， ∴， ∵AD＝8， ∴AF＝4， ∴DF＝＝4， ∴FM＝FG＝； ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠CAD＝45°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°＝∠BAD， ∴∠BAD+∠DEF＝180°， ∴点A，D，E，F四点共圆， ∴∠DFE＝∠DAC＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴DE＝EF＝DF＝2， 连接GM，交EF于P， 由折叠知，PG＝PM，GM⊥EF， ∵DE⊥EF， ∴GM∥DE， ∴△FPG∽△FED， ∴， ∴PF＝EF＝， ∴PE＝EF﹣PF＝， ∵GM∥DE， ∴△MPN∽△DEN， ∴， ∴， ∴EN＝PE＝， 在Rt△DEN中，， 故答案为：；． 【变式4-2】如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A，C重合），连接，过点A作直线的垂线段，垂足为点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，延长交于点F，若的边长为2； ①求的最小值； ②求的最大值． 【答案】(1)见解析(2)①，②2 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，进而得出，即可求证，即可求证； （2）①根据题意可得，则点D在以为直径的圆上运动，连接，与相交于点D，此时最小，求解即可；②过点C作，交的延长线于点G，通过证明得出点F是中点，再根据，得出点A，点F，点C，点E四点在以为直径的圆上，即可求解，当为直径时，取得最大值，即可求解． 【详解】（1）证明：∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，∴，， ∵为等边三角形，∴，， ∴，即， 在和中，，∴，∴． （2）解：①∵，∴，∴点D在以为直径的圆上运动， 连接，与相交于点D，此时最小， ∵为等边三角形，为直径，∴， 根据勾股定理可得：，∴． ②如图，过点C作，交的延长线于点G， ∵，，∴， ∵，∴，由（1）可得， ∴，∴， ∴，∴，∴，且， ∴，∴，即点F是中点， 连接∵是等边三角形，∴，∴， ∴，∴点A，点F，点C，点E四点在以为直径的圆上 ∴最大为直径，即最大值为2． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直径所对的圆周角为直角，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考数学二轮复习 专题6 圆中的重要模型之隐圆模型（4个知识点+4种题型） 【题型归纳】 模型1、定点定长型 2 模型2、定边对直角 3 模型3、定边对定角 4 模型4、四点共圆 5 一、模型梳理 模型1、定点定长型（圆的定义） 若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 模型2、定边对直角（直角对直径） 固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径 模型3、定边对定角（定弦定角模型） 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆 模型4、四点共圆 1）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角． 2）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 条件：线段同侧张角相等． 二、题型突破 模型1、定点定长型 例1.如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在，，E为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为 ． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 模型2、定边对直角 1． 例2.如图，在中，，，为上的一个动点，以为直径的与相切于点，交于点，则的最小值为 ． 【变式2-1】如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（    ） A．π B．π C．π D．2π 【变式2-2】如图，的直径，点C为中点，弦经过点C，且．点F为上一动点，连接．于点G．若，在点F运动过程中，线段的长度的最小值为 ．    模型3、定边对定角 例3.如图，在边长为6的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接交于点P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C是优弧AB上的一动点，BD⊥BC交直线AC于点D，当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，点D所经过的路径长为 ． 【变式3-2】如图所示，在扇形中，，，点是上的动点，以为边作正方形，当点从点移动至点时，求点经过的路径长．    模型4、四点共圆 例4.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上一点，BD＝2DC，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且∠EDF＝120°，连接EF，则线段EF长的最小值为___________． A B C D E F 【变式4-1】如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则FM＝　 　，＝　 　． 【变式4-2】如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A，C重合），连接，过点A作直线的垂线段，垂足为点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，延长交于点F，若的边长为2； ①求的最小值； ②求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $