16.专题七 微专题16 隐圆模型•有圆无圆皆是圆-【解密中考】2026年湖北中考数学专题复习配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦“隐圆模型”核心考点，严格对接中考考标要求，系统梳理定点定长、对角互补、定弦定角三大模型的判定方法，分析各模型在中考中的考查权重，归纳线段长度计算、角度大小求解、线段最值探究等常考题型，体现备考的精准性和实用性。 课件亮点在于“模型建构+真题解析+变式训练”的备考体系，如定弦定角模型通过等边三角形内动点PB最小值问题，示范如何运用圆的性质确定动点轨迹并求解最值，培养学生的几何直观与推理能力。实战演练涵盖选择、填空、解答题，配合易错点分析，帮助学生掌握解题技巧，教师可依此制定高效复习计划，助力学生中考冲刺提分。

专题七　圆的综合应用模型 微专题16　隐圆模型•有圆无圆皆是圆 《解密中考》 2026湖北数学 1 2 1 2 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 2 3 实战演练·提素养 目 录 2 考点综述 知识建构·储备仓 01 3 一、考标 1.理解隐圆在定点定长模型、对角互补模型、定弦定角模型等类型中的判定方法. 2.能运用隐圆的判定方法确定动点的轨迹(圆)，并利用圆的性质解决线段长度、角度大小、线段最值等相关问题. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 4 二、考点 (一)重要判定(关键考点) 1.定点定长判定：若O为定点，A，B，P为动点，且OA＝OB＝OP，则A，B，P三点共圆. 2.对角互补判定(四点共圆模型)：在四边形ABCD中，若∠ABC＋∠ADC＝180°或∠ABD＝∠ACD，则A，B，C，D四点共圆. (二)核心判定(核心考点) 定弦定角判定：若线段AB为定弦，动点C满足∠ACB为定值，则A，B，C三点共圆. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 三、考向 近年来，隐圆问题作为几何中的常考题型，主要围绕几种典型模型展开：在定点定长模型与对角互补模型中，常综合运用圆的性质、勾股定理、相似三角形等知识，来求解线段长度与角度大小；而在定弦定角模型中，则侧重于利用圆的性质探究线段的最值问题. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 考点综述 命题研究·考向标 02 7 命题点一 定点定长模型(常考) 由动点到某一定点的距离为定长时，该动点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆，进而可利用圆的性质解决相关的线段长度、角度计算等问题. 模 型 构 建 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 8 例1 如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2.求BD的长. 解：如图，以点A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交☉A于点F，连接DF. ∵AB＝AC＝AD＝2，∴点D，C在☉A上. ∵DC∥AB，∴. ∴DF＝CB＝1，BF＝2AB＝4. ∵FB是☉A的直径，∴∠FDB＝90°. ∴BD＝. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 9 1.如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，求∠CAD的度数. 变 式 训 练 解：∵AB＝AC＝AD， ∴点B，C，D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上. ∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC. ∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°， ∴∠CBD＝∠BAC. ∴∠CAD＝2∠CBD＝2∠BAC＝88°. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 10 命题点二 对角互补模型(四点共圆)(常考) 当四边形的一对对角互补或其中一个外角等于其内对角时，这个四边形的四个顶点共圆，由此可利用圆的性质解决线段长度和角度计算问题. 模 型 构 建 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 11 例2 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， F是BD的中点，若∠BAC＝15°，∠DAC＝45°，CD＝4，求EF的长. 解：如图，以点E为圆心，AE长为半径作圆，连接BE，ED. ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，且E为AC的中点， ∴BE＝AC，DE＝AC.∴BE＝DE. ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A，B，C，D四点共圆. ∵∠BAC＝15°，∠DAC＝45°，∴∠BAD＝60°. ∴∠BED＝2∠BAD＝120°. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 12 ∵F为BD的中点，BE＝DE，∴EF⊥BD. ∴∠FDE＝∠FBE＝30°.∴EF＝DE. 在△ADC中，∠DAC＝45°，∠ADC＝90°， ∴∠DCA＝∠DAC＝45°.∴AD＝CD＝4. 由勾股定理，得AC＝＝4， ∴DE＝AC＝2.∴EF＝DE＝. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 2.如图，弦CD在以AB为直径的半圆O上滑动，M是CD的中点，CE⊥ AB于点E.若弦CD始终保持与半圆O的半径相等，求∠CEM的度数. 变 式 训 练 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 14 解：连接OC，OD，OM. ∵OC＝OD，M是CD的中点， ∴OM⊥CD，CM＝DM. ∵CE⊥AB，∴∠OEC＝∠OMC＝90°. ∴C，M，O，E四点共圆，且OC为圆的直径，CM为圆的一条弦. ∴∠CEM＝∠COM.∵CD＝OC＝OD，∴△OCD为等边三角形. ∴∠CEM＝∠COM＝∠COD＝30°. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 15 命题点三 定弦定角模型(难点) 当给定一条定弧及其所对的定角时，动点位于以该弦为弦，定角为圆周角的圆弧上，因此弦的两个端点与该动点共圆，进而利用圆的性质可以解决相关线段最值问题. 模 型 构 建 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 16 例3 如图，△ABC为等边三角形，AB＝3.若P为△ABC 内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，求线段PB的最小值. 解：作△APC的外接圆☉O. ∵△ABC是等边三角形，AB＝3， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°. ∵∠PAB＝∠ACP，∠PAC＋∠PAB＝60°， ∴∠PAC＋∠ACP＝60°.∴∠APC＝120°，AC＝3. ∴点P的运动轨迹是. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 17 如图，当O，P，B三点共线时，PB取最小值， 此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD＝AC＝， ∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°. ∴PD＝AP，AD＝AB＝.∴PD＝. ∴BD＝. ∴PB的最小值为BD－PD＝. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 18 3.如图，在正方形ABCD中，BC＝2，点E，F分别在 CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G，连接DG. 当点E从点C运动到点D的过程中，求DG的最小值. 变 式 训 练 解：如图，以BC长为直径作☉O，连接OG. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°. 又∵CE＝DF，∴△BCE≌△CDF(SAS). 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 19 ∴∠EBC＝∠FCD. ∵∠FCD＋∠BCG＝90°，∴∠CBE＋∠BCG＝90°. ∴∠CGB＝90°.∴G，B，C三点共圆. ∵DG≥OD－OG，∴当O，G，D三点共线时，DG取最小值. 在正方形ABCD中，BC＝2，∴OC＝1，CD＝AB＝2. ∴OD＝. ∴OD－OG＝－1， 即DG的最小值为－1. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 20 考点综述 03 实战演练·提素养 21 一、选择题(在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝ 60°，BC＝3，将△ABC绕点C逆时针旋转到 △EDC的位置，点B的对应点D首次落在斜边AB 上，则点A运动路径的长是(　　) A.π B.π C.2π D.2π B 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 2.如图，将△ABC绕点A旋转至△AB'C'，使得B'，C'，B三 点共线.若AC＝2，∠ABC＝30°，则CC'的长是(　　) A. B. C.2 D.2 D 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 3.如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8， ∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为 直线l上一动点，☉O为△APC的外接圆，直 线BP交☉O于点E，则AE的最小值是(　　) A.1 B. C.2 D.2 C 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 二、填空题 4.如图，点A在第一象限上运动，始终保持∠OAB＝90°，点B(2m，0)在x轴正半轴上，点C(0，－m)在y轴的负半轴上，则CA的最大值是________________(用含m的式子表示).  (＋1)m 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 5.如图，∠MON＝45°，点A，B分别在射线OM、射线ON上运动，四边形ABCD是矩形，且AB＝2，AD＝1，则OD的最大值是__________.  首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 26 6.如图，四边形ABCD是正方形，动点E，F分别从D，C两点同时出发， 以相同的速度分别在边DC，CB上移动，当点E运动到点C时都停止运 动，DF与AE相交于点P，若AD＝8，则点P运动的路径长是_________.  2π 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 27 7.如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB ＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运 动，到点B时停止运动，连接CP，点A关于直 线CP的对称点为点A1，连接A1C，A1P. (1)线段A1C的长为____________；  (2)在运动的过程中，点A1到直线AB距离的最大值是___________.  ＋1 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 28 三、解答题 8.如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，动点P在BC上运动(点P不与点B，C重合)，点E在线段AP上，且∠ADE＝∠BAP. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 29 (1)连接BE，求BE的最小值； 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6. ∴∠BAP＋∠DAP＝90°. ∵∠ADE＝∠BAP，∴∠DAP＋∠ADE＝90°. ∴∠AED＝90°. ∴A，D，E三点共圆，且点E在以AD为直径的圆上运动. 如答图1，取AD的中点O，连接BO，交☉O于点E，此时BE最小. ∵O是AD的中点，∴AO＝3. ∴BO＝＝5.∴BE的最小值为BO－OE＝2. 答图1 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2)当∠PBE最小时，求BP的长. 解：如答图2，由(1)得当BE与☉O相切时，∠PBE最小. 连接OE，OB，OB交AP于点H. 由(1)知，AB＝4，AO＝3，BO＝5. ∵BE是☉O的切线，∴OE⊥BE. ∵OB＝OB，OA＝OE∴Rt△ABO≌Rt△EBO(HL). ∴BA＝BE＝4，∠ABO＝∠EBO.∴BH⊥AP，AH＝EH. ∴S△ABO＝AO·AB＝BO·AH.∴AH＝.∴BH＝.∵tan∠BAP＝，∴.∴BP＝. 答图2 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9.如图，A是☉B上一个动点，C为☉B外一个定点，已 知AB＝1 cm，BC＝2 cm，△ACD是等边三角形.当点 A在☉B上运动时，点D的位置也跟着发生改变，求 △DBC的最小面积. 解：如图，以BC为边作等边△CBE，连接DE. ∵△ACD是等角三角形，∴∠DCA＝∠ECB＝60°， ∴∠DCA－∠ACE＝∠ECB－∠ACE， 即∠DCE＝∠ACB. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 32 在△DCE和△ACB中， ∴△DCE≌△ACB(SAS)，∴DE＝AB＝1. ∴点D的运动轨迹是以点E为圆心，DE长为半径的圆上. 要使得△BCD面积最小，则点D到线段BC的距离最小. ∵△CBE是边长为2的等边三角形， ∴点E到BC的距离为EH＝. ∴点D到BC的距离最小值为－1. ∴△DBC的最小面积为×2×(－1)＝－1. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 33 本讲内容结束 $