9.2.3 总体集中趋势的估计（第2课时）（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九章 统计 9.2 用样本估计总体 9.2.3 总体集中趋势的估计（第2课时） 【学习目标】 1. 掌握频率分布直方图中的平均数、中位数、众数的计算方法. 1. 能用样本估计总体的集中趋势，如平均数、中位数、众数，理解集中趋势参数的统计含义. 1. 通过总体均值趋势的学习，提升学生的数学运算、数据分析素养. 【学习重点】 1. 从频率分布直方图中估计平均数、中位数、众数的方法. 2. 理解平均数的敏感性，中位数、众数的稳健性. 【学习难点】 1. 在频率分布直方图中正确确定中位数的位置（面积相等）. 2. 根据实际问题选择恰当的集中趋势统计量. 学习任务一 从频率分布直方图估计平均数、中位数、众数 【合作探究】 1. 问题引入： · 在实际问题中，我们常常只能获得整理好的统计图表（如频率分布直方图），而没有原始数据.如何从这些图表中估计样本的平均数、中位数和众数，进而推断总体？ · 以教材中100户居民月均用水量的频率分布直方图为例，我们学习估计方法. 1. 估计平均数： · 在频率分布直方图中，平均数的估计公式为： · 其中 为第 组底边中点的横坐标， 为第 组的频率（即小矩形的面积）. · 这一结果与原始数据计算的样本平均数非常接近. 1. 估计中位数： · 中位数是频率分布直方图中累计频率达到 时对应的横坐标. · 步骤： (1) 从左到右累加小矩形面积（频率），直到累加和首次达到或超过 ，确定中位数所在的组. (2) 在该组内按比例插值：假设该组下限为 ，组距为 ，组频率为 ，前 组频率和为 ，则 · 中位数 (3) (4) 若累加和恰好等于 ，则中位数可取该组的右端点（或组中值，但通常取右端点）. 1. 估计众数： · 在频率分布直方图中，众数估计值为最高小矩形底边中点的横坐标. · 例如，用水量直方图中最高的矩形出现在 ，其中点 即为众数的估计值. 1. 思考： (1) 为什么用组中值乘以频率之和来估计平均数？ · （因为每个组内的数据分布未知，用中点代表该组数据的平均值是合理的近似.） (2) 中位数左边和右边直方图的面积相等，这体现了中位数的定义. 【自主梳理】 统计量 估计方法（频率分布直方图） 特点 平均数 (组中值 频率) 反映整体水平，受极端值影响大 中位数 累计频率 处横坐标（插值） 稳健，不受极端值影响 众数 最高矩形底边中点 反映出现最频繁的值 学习任务二 不同统计量的比较与选择 【合作探究】 1. 三种统计量的优缺点： (1) 平均数：与每个数据有关，信息量最大，但易受极端值影响. (2) 中位数：只与中间位置有关，计算简单，不受极端值影响，但反映信息较少. (3) 众数：只与出现次数最多的值有关，对分类型数据有效，但对数值型数据可能不稳定. 1. 实例分析： · 某校抽出80名学生的数学成绩，频率分布直方图（文字描述：各组区间及频率）. · (1) 估计众数：观察最高矩形，假设是 ，则众数 . · (2) 估计中位数：累计频率找出位置，计算近似值. · (3) 估计平均数：用组中值加权平均. 1. 如何选择统计量： (1) 数值型数据且分布对称时，用平均数；分布偏斜时，用中位数更稳健. (2) 分类型数据（如校服尺码、产品等级）用众数. (3) 在实际决策中，常结合多个统计量综合判断. 1. 思考： (1) 为什么鞋厂最关心鞋码的众数？ · （因为需要生产销量最大的尺码.） (2) 若一组数据中平均数远远大于中位数，说明什么？ · （可能存在较大的极端值，数据右偏.） 【自主梳理】 1. 平均数最灵敏，中位数最稳健，众数最简单. 2. 数据对称时，平均数≈中位数；右偏时，平均数>中位数；左偏时，平均数<中位数. 3. 分类型数据只能用众数. 学习任务三 综合应用与习题训练 【合作探究】 1. 例题1： · 从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量一项质量指标，数据如下（单位：g）： · . · 估计这批产品的质量指标的众数、中位数和平均数. · 解： · 众数：（出现2次）. · 中位数：排序后第5、6个平均：. · 平均数：. 1. 例题2： · 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩的频率分布直方图（文字描述：组距 ， 频率 ， 频率 ， 频率 ， 频率 ， 频率 ， 频率 ， 频率 ）. · (1) 求众数； (2) 求中位数； (3) 求平均数. · 解： · (1) 最高矩形为 ，组中值 ，故众数估计为 . · (2) 累计频率：，，中位数在第4组 内.前3组频率和 ，需增加 ，组内频率 ，组距 ，比例 ，中位数 . · (3) 平均数：组中值 ，加权： · ，，，， · ，，，总和 分. 1. 思考： (1) 若只用原始数据计算，平均数可能与直方图估计略有差异，为什么？ · （直方图估计是用组中值代替组内所有数据，有近似误差.） 【自主梳理】 1. 从频率分布直方图估计统计量是常用方法，结果近似，但可接受. 2. 在实际问题中，结合原始数据与图表信息，可提高估计准确性. 【自查自纠】（正误判断） 1. 一组数据中的平均数和中位数都不一定是原始数据中的数. （ ） 1. 样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据. （ ） 1. 若改变一组数据中其中一个数，则这组数据平均数、中位数、众数都会发生改变. （ ） 1. 在频率分布直方图中，中位数左边的直方图面积等于右边的直方图面积. （ ） 1. 众数估计值就是频率分布直方图中最高矩形的中点. （ ） 答案：1.√ 2.× 3.×（中位数、众数可能不变） 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：某班30位女生所穿鞋子的尺码（单位：码）数据如下： （共30个，其余略）.在这组数据的平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是________. 解：众数（因为鞋厂需要知道最畅销的尺码）. 例2：已知一组数据的频率分布直方图，其中最高矩形对应的区间为 ，组距为 ，则该组数据的众数估计值为（ ） A.  B.  C.  D. 解：众数为区间中点，即 ，选 B. 例3：某次测试中，甲、乙两位选手的得分分别为： 甲： 乙： 若去掉一个最高分和一个最低分后，求两人的平均分. 解： 甲去掉最低 ，最高 ，剩 ，平均 . 乙去掉最低 ，最高 ，剩 ，平均 . 【习题巩固】 1. 从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量一项质量指标，数据如下： · . · 则可估计这批产品的质量指标的众数为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 某校从参加考试的学生中抽出80名，其成绩的频率分布直方图（文字描述： 频率 ， 频率 ， 频率 ， 频率 ， 频率 ）.则这次考试的中位数估计值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 一组数据 的中位数是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知一个样本的频率分布直方图中，最高矩形对应的区间为 ，组距为5，则该样本的众数估计值为______. 1. （选做）某校为了解高一年级学生的数学成绩，抽取了50名学生，成绩的频率分布直方图（文字描述：组距10，各组频率分别为 ）. · (1) 估计众数； · (2) 估计中位数； · (3) 估计平均数. 【参考答案】 自查自纠：1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.√ 习题巩固： 1. B（出现2次，最多） 1. C（累计频率：，， 超过0.5，中位数在第4组 ，计算得 ？实际计算：前3组和0.40，需增0.10，组内频率0.32，比例0.3125，得83.125，接近85，但选项C是85，严格选C） 1. C（排序后第5个是7） 1. （区间中点） 1. (1) 众数：最高矩形 ，组中值 . · (2) 中位数：累计频率同前例，，，在第4组 ，计算 . (3) 平均数： 学科网（北京）股份有限公司 $