9.2.4 总体离散程度的估计 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九章 统计 9.2 用样本估计总体 9.2.4 总体离散程度的估计 【学习目标】 1. 理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差，掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法. 1. 从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理解释，能估计总体的离散程度. 1. 通过总体离散程度估计的学习，提升数学运算、数据分析素养. 【学习重点】 1. 方差、标准差的计算公式及其含义. 2. 极差、方差、标准差在刻画数据离散程度中的作用. 3. 分层随机抽样下总样本平均数和方差的计算公式. 【学习难点】 1. 理解方差公式中“离差平方和”的意义. 2. 分层抽样中总方差的推导与计算. 学习任务一 离散程度的度量——极差、方差、标准差 【合作探究】 1. 问题引入： · 甲、乙两名射击运动员各射击10次，命中环数如下： · 甲：7, 8, 7, 9, 5, 4, 9, 10, 7, 4 · 乙：9, 5, 7, 8, 7, 6, 8, 6, 7, 7 · (1) 分别计算两人的平均数、中位数、众数. · 计算得：甲、乙的平均数、中位数、众数均为7. · (2) 观察频率分布条形图（文字描述：甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中），仅从集中趋势无法区分，需要刻画数据的离散程度. 1. 极差： · 极差 = 最大值 − 最小值. · 甲：极差 = 10 − 4 = 6；乙：极差 = 9 − 5 = 4. · 极差反映了数据的波动范围，但只用了两个极端值，信息量少. 1. 方差与标准差： · 为了克服极差的缺点，引入“离差平方的平均”. · 设一组数据为 ，平均数为 ，则 (1) 方差 (2) 标准差 · 方差与标准差越小，数据越集中，波动越小. 1. 计算实例： · 甲射击成绩的方差：计算每个数据与平均数的差的平方和，再除以10. · 具体数值略，通过计算可得 甲，乙. · 说明乙的成绩更稳定. 1. 思考： (1) 为什么用“离差平方和”而不是直接使用离差之和？ · （离差之和为零，无法反映波动；平方消除正负，突出大偏差.） (2) 方差与标准差的单位有何不同？ · （方差的单位是原始数据单位的平方，标准差与原始数据单位一致.） 【自主梳理】 1. 极差、方差、标准差都是度量数据离散程度的统计量. 2. 方差公式：. 3. 标准差公式：. 4. 标准差越小，数据越稳定. 学习任务二 方差和标准差的计算与应用 【合作探究】 1. 例题1： · 某工厂生产一批零件，抽取5个，直径（单位：mm）为 10.2, 10.3, 10.1, 10.4, 10.0.求样本方差和标准差. · 解：. · 离差平方和：. · 方差 ，标准差 . 1. 例题2（教材变式）： · 甲、乙两名运动员射击成绩的平均数相同，但甲的方差大于乙，说明乙更稳定.可作为选拔依据. 1. 思考： (1) 如果两组数据的平均数不同，能否直接比较方差？ · （可以，方差反映波动，与平均数无关，但通常先看平均数相近再比方差.） (2) 标准差为0的数据有什么特点？ · （所有数据都相等.） 【自主梳理】 1. 方差与标准差的计算步骤：求平均数 → 求离差平方和 → 除以数据个数 → 开方得标准差. 2. 实际应用中，常用样本标准差估计总体标准差. 学习任务三 分层随机抽样下总样本的平均数与方差 【合作探究】 1. 问题： · 若总体分成若干层，各层分别抽样，已知各层的样本容量、样本均值和样本方差，如何求总样本的均值和方差？ 1. 公式（两层情形）： · 设两层，样本容量分别为 、，样本均值分别为 、，样本方差分别为 、，则总样本均值 · 总样本方差 · 这个公式可以推广到多层. 1. 例题： · 某高校“人工智能”专业，甲班30人，平均分665，方差131；乙班40人，平均分658，方差208.求该专业所有学生的平均分和方差. · 解： · 总人数 . · 总平均 . · 总方差 · . · 故方差为 . 【自主梳理】 1. 分层抽样下，总样本均值是各层均值的加权平均（以样本容量为权）. 2. 总样本方差需考虑层内方差与层间均值的差异. 【自查自纠】（正误判断） 1. 极差能够精确反映数据的离散程度. （ ） 1. 方差与标准差的单位相同. （ ） 1. 标准差为0的数据，所有数据相等. （ ） 1. 分层随机抽样中，总样本方差等于各层方差的算术平均. （ ） 1. 样本方差与总体方差的关系是可以用样本方差估计总体方差. （ ） 答案：1.× 2.× 3.√ 4.× 5.√ 【典例分析】 例1：已知一组数据 ，求其方差和标准差. 解：. 离差平方和：. 方差 ，标准差 . 例2：甲、乙两组数据，甲组 ，，；乙组 ，，.求合并后的方差. 解：总均值 . 总方差 【习题巩固】 1. 一组数据的方差为 ，则标准差为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知样本 的平均数为 ，方差为 ，则 的方差为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 某班有男生20人，女生30人，男生平均身高170 cm，方差30；女生平均身高160 cm，方差40.则全班学生的平均身高为______ cm，方差为______. 1. 甲、乙两名同学五次数学测试成绩如下： · 甲：88, 89, 90, 91, 92 · 乙：85, 90, 90, 90, 95 · 通过计算说明谁的成绩更稳定. 1. （选做）已知一组数据 的方差为 ，求数据 的方差（ 为常数）. 【参考答案】 自查自纠：1.× 2.× 3.√ 4.× 5.√ 习题巩固： 1. A（标准差 = ） 1. A（方差与平移无关） 1. 总平均 （cm）. · 总方差 1. 甲：平均数 ，方差 . · 乙：平均数 ，方差 . · 甲方差小，更稳定. 1. 方差为 （因为线性变换的方差公式：）. 学科网（北京）股份有限公司 $