9.2.4 总体离散程度的估计 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
- 理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差，掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法.
- 从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理解释，能估计总体的离散程度.
- 通过总体离散程度估计的学习，提升数学运算、数据分析素养.
- 方差、标准差的计算公式及其含义.
- 极差、方差、标准差在刻画数据离散程度中的作用.
- 分层随机抽样下总样本平均数和方差的计算公式.
- 理解方差公式中“离差平方和”的意义.
- 分层抽样中总方差的推导与计算.
- 问题引入：
甲、乙两名射击运动员各射击10次，命中环数如下：
甲：7, 8, 7, 9, 5, 4, 9, 10, 7, 4
乙：9, 5, 7, 8, 7, 6, 8, 6, 7, 7
(1) 分别计算两人的平均数、中位数、众数.
计算得：甲、乙的平均数、中位数、众数均为7.
(2) 观察频率分布条形图（文字描述：甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中），仅从集中趋势无法区分，需要刻画数据的离散程度.
- 极差：
极差 = 最大值 − 最小值.
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甲：极差 = 10 − 4 = 6；乙：极差 = 9 − 5 = 4.
极差反映了数据的波动范围，但只用了两个极端值，信息量少.
- 方差与标准差：
为了克服极差的缺点，引入“离差平方的平均”.
设一组数据为 
，平均数为 
，则
(1) 方差 
(2) 标准差 
方差与标准差越小，数据越集中，波动越小.
- 计算实例：
甲射击成绩的方差：计算每个数据与平均数的差的平方和，再除以10.
具体数值略，通过计算可得 甲
，乙
.
说明乙的成绩更稳定.
- 思考：
(1) 为什么用“离差平方和”而不是直接使用离差之和？
（离差之和为零，无法反映波动；平方消除正负，突出大偏差.）
(2) 方差与标准差的单位有何不同？
（方差的单位是原始数据单位的平方，标准差与原始数据单位一致.）
- 极差、方差、标准差都是度量数据离散程度的统计量.
- 方差公式：.
- 标准差公式：.
- 标准差越小，数据越稳定.
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- 例题1：
某工厂生产一批零件，抽取5个，直径（单位：mm）为 10.2, 10.3, 10.1, 10.4, 10.0.求样本方差和标准差.
解：
.
离差平方和：
.
方差 
，标准差 
.
- 例题2（教材变式）：
甲、乙两名运动员射击成绩的平均数相同，但甲的方差大于乙，说明乙更稳定.可作为选拔依据.
- 思考：
(1) 如果两组数据的平均数不同，能否直接比较方差？
（可以，方差反映波动，与平均数无关，但通常先看平均数相近再比方差.）
(2) 标准差为0的数据有什么特点？
（所有数据都相等.）
- 方差与标准差的计算步骤：求平均数 → 求离差平方和 → 除以数据个数 → 开方得标准差.
- 实际应用中，常用样本标准差估计总体标准差.
- 问题：
若总体分成若干层，各层分别抽样，已知各层的样本容量、样本均值和样本方差，如何求总样本的均值和方差？
- 公式（两层情形）：
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