9.2.3 总体集中趋势的估计 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦于总体集中趋势的估计，围绕平均数、中位数和众数展开，从初中已知概念出发，通过数据分布形态的直观分析构建新知，形成由浅入深的学习支架。借助频率分布直方图与实际情境案例，引导学生理解三者差异及其适用场景，实现知识的迁移与深化。 本资料突出核心素养导向，体现“数学眼光”“数学思维”“数学语言”的融合运用。以真实问题驱动探究，如PM2.5折线图与市民年龄对比案例，强化数据意识与模型观念，培养学生从现实世界中抽象出数学问题的能力。训练题设计层次分明，注重逻辑推理与数据分析能力培养，尤其在例题3中通过频率分布直方图估算统计量，凸显数学建模与运算能力的综合应用，助力学生形成理性思维与科学态度。

样样落实，天天坚持 9.2.3 总体集中数据的估计 学案 初中 旧知 【平均数】一组数据的算术平均数. 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 =　　　　　　　　叫做这n个数的平均数. 【中位数】一组数据按大小依次排列后处在最中间位置的数(或最中间两个数据的平均数). 即第五十百分位数. 【众数】一组数据中出现次数　　　　的数. 以上三者都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势. 新知一 【数据形态与平均数、中位数的特点】平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关. （1） 直方图形状　　　　⇒平均数和中位数　　　　 . （2） 直方图形状　　　　⇒平均数　　　　 中位数 （3） 直方图形状　　　　⇒平均数　　　　 中位数 【训练1】（2024武汉四调·10多选题）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态. 根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）中的平均数=中位数=众数 B. 图（2）中的平均数<众数<中位数 C. 图（2）中的众数<中位数<平均数 D. 图（3）中的平均数<中位数<众数 新知二 【众数的特点】众数只利用了出现次数最多的那个值的信息.众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对　　　　不敏感. 【总结归纳】平均数、中位数和众数分别适合描述什么特点的数据？ 对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用　　　　　　　　； 对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用　　　　 【例题1】(多选)PM2.5是衡量空气质量的重要指标.如图是某地9月1日到10日的PM2.5日 均值(单位：μg/m3)的折线图，则下列说法正确的是（ ） A.这10天中PM2.5日均值的众数为33 B.这10天中PM2.5日均值的中位数是32 C.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数 D.这10天中PM2.5日均值前4天的平均数大于后4天的平均数 【训练2】新开垟小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下： 甲群　13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群　54，3，4，4，5，5，6，6，6，57. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 新知三 假设数据在组内均匀分布 在频率分布直方图中，我们有： 最高矩形底边中点的横坐标表示　　　　； 中位数左、右两边的小矩形面积和　　　，都为0.5； 频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和等于　　　　　的估计值. 【例题3】（1）从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标， 数据如表： 则可估计这批产品的质量指标的众数为_______，中位数为_______，平均数为_______. （2）(多选)某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每 组的取值区间均为左闭右开区间)，画出频率分布直方图(如图)，下列说法正确的是（ ） A.在被抽取的学生中，成绩在区间[90，100)内的学生有10人 B.这100名学生成绩的众数为85 C.估计全校学生成绩的平均分数为75 D.这100名学生成绩的中位数为730/9 【训练3】某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40， 0.15，0.10，0.05. (1)估计高一参赛学生的成绩的众数、中位数； (2)估计高一参赛学生的平均成绩. 小贴士：课后请整理好今日所学，再开始写分层作业 学习不是为了一纸文凭，而是为了拥有更自由的未来.2 学科网（北京）股份有限公司 $