9.2.3 总体集中趋势的估计（第1课时）（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九章 统计 9.2 用样本估计总体 9.2.3 总体集中趋势的估计（第1课时） 【学习目标】 1. 掌握频率分布直方图中的平均数、中位数、众数的计算方法. 1. 能用样本估计总体的集中趋势，如平均数、中位数、众数，理解集中趋势参数的统计含义. 1. 通过总体均值趋势的学习，提升学生的数学运算、数据分析素养. 【学习重点】 1. 平均数、中位数、众数的定义及计算方法. 2. 在频率分布直方图中估计平均数、中位数、众数. 3. 根据数据分布形态判断平均数与中位数的大小关系. 【学习难点】 1. 理解平均数对极端值的敏感性，以及中位数、众数的稳健性. 2. 根据实际问题选择合适的集中趋势统计量. 学习任务一 平均数、中位数、众数的概念与计算 【合作探究】 1. 问题引入： · 一家公司招聘员工，宣称“公司50名员工的平均年收入为11.5万元”.如果你期望年薪10万元，这个信息是否可靠？ · 需要注意的是，平均数可能会受极端值影响，因此还需要看中位数、众数等反映集中趋势的统计量. 1. 定义回顾： 1. 众数：一组数据中出现次数最多的数. 2. 中位数：将数据从小到大排列后，处于中间位置的数（若样本量为偶数，则取中间两个数的平均值）. 3. 平均数：所有数据之和除以数据个数，即 . 1. 计算实例（以教材中100户居民月均用水量数据为例）： 1. 平均数： 吨. 2. 中位数：将数据排序后，第50和第51个数据的平均值.由排序列表可得中位数约为 吨. 3. 众数：出现次数最多的数据，例如 出现了多次. · 可见平均数远大于中位数，说明数据中存在较大的极端值（如 吨），导致平均数被拉高. 1. 思考： 1. 若有人用平均数11.5万元来宣称公司待遇好，而你的期望是10万元，你会相信吗？ · （不一定，因为可能有高管年薪极高拉高了平均数，普通员工可能远低于10万.） 2. 中位数和众数受极端值影响较小，更能反映“多数人”的水平. 【自主梳理】 1. 平均数：反映总体平均水平，受极端值影响大. 2. 中位数：反映数据中间位置，稳健. 3. 众数：反映出现最频繁的值，适用于分类型数据. 4. 当数据分布对称时，平均数≈中位数；右偏（正偏）时，平均数>中位数；左偏（负偏）时，平均数<中位数. 学习任务二 频率分布直方图中集中趋势的估计 【合作探究】 1. 估计众数： · 在频率分布直方图中，最高的小矩形所在区间的中点值即为众数的估计值. · 例如，若用水量直方图中最高矩形对应的区间是 ，则众数约为 . 1. 估计中位数： · 中位数是累计频率达到 时的横坐标. · 步骤： (1) 计算各组频率（面积）. (2) 从左到右累加频率，直到累加和首次达到或超过 ，确定所在组. (3) 在该组内按比例插值：设该组下限为 ，组距为 ，组频率为 ，前 组频率和为 ，则中位数 . 1. 估计平均数： · 在频率分布直方图中，平均数的估计值为各组组中值与对应频率的乘积之和. · 设第 组组中值为 ，频率为 ，则 . 1. 例题： · 某校学生身高的频率分布直方图（文字描述：组距 ，各组频率 ）. (1) 众数：最高矩形频率 ，组中值 需具体数值，设为 则众数约 . (2) 中位数：累计频率 ，，正好在第三组累计到 ，中位数取第三组上限？若恰好等于 ，则取该组上界.实际应取组中值或上界. (3) 平均数：用组中值计算. 【自主梳理】 · 在频率分布直方图中： 1. 众数 = 最高矩形中点. 2. 中位数 = 累计频率 对应的横坐标（插值）. 3. 平均数 = 组中值与频率乘积之和. · 平均数、中位数、众数的大小关系可反映数据分布形态. 学习任务三 集中趋势统计量的选择与应用 【合作探究】 1. 例题：校服规格选择 · 某校高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表（文字描述：规格155、160、165、170、175，频数分别为30、50、80、40、20）. · 若用一个量代表该校高一年级女生所需校服的规格，应选哪个统计量？ · 解：数据为分类型（规格），应选用众数.众数为 ，故校服规格选择 比较合适. 1. 思考： 1. 用这所学校的数据估计全国高一年级女生校服规格合理吗？ · （不合理，因为各地身高存在差异.） 2. 数值型数据一般用平均数或中位数，分类型数据用众数. 1. 极端值影响： · 平均数对极端值敏感，中位数和众数较稳健. · 例如，某次考试中，一个学生得满分，其余低分，则平均数被拉高，中位数更能反映大多数学生水平. 【自主梳理】 · 统计量选择原则： 1. 数值型数据：平均数或中位数（数据对称用平均数，偏态用中位数）. 2. 分类型数据：众数. · 平均数反映整体水平，易受极端值影响；中位数反映中等水平，稳健；众数反映多数水平. 【自查自纠】（正误判断） 1. 中位数是一组数据中间的数. （ ） 1. 众数是一组数据中出现次数最多的数. （ ） 1. 一组数据中的众数只有1个. （ ） 1. 平均数反映了一组数据平均水平，任何样本数据改变都会引起平均数变化. （ ） 1. 一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数受极端值的影响较小. （ ） 答案：1.×（偶数时是中间两数的平均数） 2.√ 3.×（可能有多个） 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为165，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是多少？ 解：输入错误导致总和增加了 ，平均数增加了 ，所以求出的平均数比实际平均数大 . 例2：在某次演讲比赛中，7个评委给某学生的分数为 .去掉一个最高分和一个最低分后，求该学生的最后得分. 解：最高分 ，最低分 ，去掉后剩下 ，排序：，平均数为 . 众数为 . 例3：甲、乙两位选手的10个评委评分（略），去掉最低分和最高分后，甲得分为 ，乙得分为 ，乙获胜.若直接用原始平均数，甲可能高于乙？说明去掉极端值后排名可能改变，这种评分机制更公平. 【习题巩固】 1. 一组数据 的众数是（ ） · A. 3 B. 5 C. 8 D. 10 1. 若一组数据的中位数是 ，则这组数据中（ ） · A. 至少有 的数据大于等于 · B. 至少有 的数据小于等于 · C. 恰好有 的数据大于等于 · D. 恰好有 的数据小于等于 1. 某校高一年级8个班合唱比赛得分分别为 ，则这组数据的中位数与平均数的和是（ ） · A. 182 B. 183 C. 184 D. 185 1. 某次体检，6位同学的身高（单位：米）为 ，则这组数据的中位数是______. 1. （选做）某校为了解高一年级学生的数学成绩，抽取了50名学生，成绩的频率分布直方图（文字描述：组距，第一组频率，第二组频率，第三组频率，第四组频率，第五组频率，第六组频率，第七组频率.估计该年级学生数学成绩的平均数、中位数和众数. 【参考答案】 自查自纠：1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 习题巩固： 1. C 1. A、B（由中位数定义，至少一半数据不小于中位数，也至少一半不大于中位数） 1. C（排序：，中位数 ，平均数 ，和为 ） 1. 排序：，中位数 米 1. 解： · 平均数：组中值分别为 ，加权平均： · 分. · 中位数：累计频率 ，，，在第4组 内达到 .前3组频率和 ，需增加 ，组内频率 ，比例 ，组距 ，中位数 分. · 众数：最高矩形是第五组 ，组中值 分. 学科网（北京）股份有限公司 $