9.2.3 总体集中趋势的估计（第1课时）（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
- 掌握频率分布直方图中的平均数、中位数、众数的计算方法.
- 能用样本估计总体的集中趋势，如平均数、中位数、众数，理解集中趋势参数的统计含义.
- 通过总体均值趋势的学习，提升学生的数学运算、数据分析素养.
- 平均数、中位数、众数的定义及计算方法.
- 在频率分布直方图中估计平均数、中位数、众数.
- 根据数据分布形态判断平均数与中位数的大小关系.
- 理解平均数对极端值的敏感性，以及中位数、众数的稳健性.
- 根据实际问题选择合适的集中趋势统计量.
- 问题引入：
一家公司招聘员工，宣称“公司50名员工的平均年收入为11.5万元”.如果你期望年薪10万元，这个信息是否可靠？
需要注意的是，平均数可能会受极端值影响，因此还需要看中位数、众数等反映集中趋势的统计量.
- 定义回顾：
- 众数：一组数据中出现次数最多的数.
- 中位数：将数据从小到大排列后，处于中间位置的数（若样本量为偶数，则取中间两个数的平均值）.
- 平均数：所有数据之和除以数据个数，即
.
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- 计算实例（以教材中100户居民月均用水量数据为例）：
- 平均数：
吨. - 中位数：将数据排序后，第50和第51个数据的平均值.由排序列表可得中位数约为
吨. - 众数：出现次数最多的数据，例如
出现了多次.
可见平均数远大于中位数，说明数据中存在较大的极端值（如 
吨），导致平均数被拉高.
- 思考：
- 若有人用平均数11.5万元来宣称公司待遇好，而你的期望是10万元，你会相信吗？
（不一定，因为可能有高管年薪极高拉高了平均数，普通员工可能远低于10万.）
- 中位数和众数受极端值影响较小，更能反映“多数人”的水平.
- 平均数：反映总体平均水平，受极端值影响大.
- 中位数：反映数据中间位置，稳健.
- 众数：反映出现最频繁的值，适用于分类型数据.
- 当数据分布对称时，平均数≈中位数；右偏（正偏）时，平均数>中位数；左偏（负偏）时，平均数<中位数.
- 估计众数：
在频率分布直方图中，最高的小矩形所在区间的中点值即为众数的估计值.
例如，若用水量直方图中最高矩形对应的区间是 
，则众数约为 .
- 估计中位数：
中位数是累计频率达到 
时的横坐标.
步骤：
(1) 计算各组频率（面积）.
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(2) 从左到右累加频率，直到累加和首次达到或超过 ，确定所在组.
(3) 在该组内按比例插值：设该组下限为 
，组距为 
，组频率为 
，前 
组频率和为 
，则中位数 
.
- 估计平均数：
在频率分布直方图中，平均数的估计值为各组组中值与对应频率的乘积之和.
设第 
组组中值为 
，频率为 
，则 
.
- 例题：
某校学生身高的频率分布直方图（文字描述：组距 
，各组频率 
）.
(1) 众数：最高矩形频率 
，组中值 
需具体数值，设为 
则众数约 
.
(2) 中位数：累计频率 
，
，正好在第三组累计到 
，中位数取第三组上限？若恰好等于 ，则取该组上界.实际应取组中值或上界.
(3) 平均数：用组中值计算.
- 在频率分布直方图中：
- 众数 = 最高矩形中点.
- 中位数 = 累计频率 对应的横坐标（插值）.
- 平均数 = 组中值与频率乘积之和.
- 平均数、中位数、众数的大小关系可反映数据分布形态.
- 例题：校服规格选择
某校高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表（文字描述：规格155、160、165、170、175，频数分别为30、50、80、40、20）.
若用一个量代表该校高一年级女生所需校服的规格，应选哪个统计量？
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