9.2.1 总体取值规律的估计（第1课时）导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九章 统计 9.2 用样本估计总体 9.2.1 总体取值规律的估计（第1课时） 【学习目标】 1. 掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法，能用频率分布直方图估计总体. 1. 能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性. 1. 体会统计的思想、类比的思想和数形结合思想. 【学习重点】 1. 频率分布表与频率分布直方图的制作步骤. 2. 频率分布直方图中各小长方形面积的意义（频率）. 3. 从频率分布直方图中读取数据分布特征. 【学习难点】 1. 组距与组数的合理选择. 2. 频率分布直方图纵坐标（频率/组距）与频率的区别. 3. 根据频率分布直方图估计总体分布. 学习任务一 频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 【合作探究】 1. 问题引入： · 为了制定居民用水标准，需要了解全市居民月均用水量的分布情况.由于数据量大且杂乱，我们通常先对样本数据进行整理，用频率分布表和频率分布直方图来直观展示数据的分布规律. 1. 制作频率分布直方图的步骤（以教材中100户居民月均用水量数据为例）： (1) 第一步：求极差（最大值与最小值的差）. · 例如，数据中最大值为 ，最小值为 ，极差 = . (2) 第二步：确定组距与组数. · 组距是指每个小组的区间长度，组数 = .通常当样本容量不超过100时，分成5~12组. · 取组距为 ，则组数 = ，取 组. (3) 第三步：将数据分组. · 通常采用左闭右开区间，最后一组为闭区间.如 ，，…，. (4) 第四步：列频率分布表. · 统计每组中数据的频数，计算频率 = 频数 / 样本容量. (5) 第五步：画频率分布直方图. · 横轴表示数据，纵轴表示 ，以组距为宽， 为高画小矩形.每个小矩形的面积 = 组距 = 频率. 1. 思考： 1. 为什么纵轴常用“频率/组距”而不是直接用“频率”？ · （使矩形面积等于频率，各矩形面积之和为1，且当组距不同时仍能正确比较.） 2. 频率分布直方图中，所有小矩形面积之和等于多少？ · （等于1.） 【自主梳理】 制作频率分布直方图的步骤： 1. 求极差. 1. 确定组距与组数（组距应取整，组数通常5~12）. 1. 分组（左闭右开，最后一组闭）. 1. 列频率分布表（频数、频率）. 1. 画频率分布直方图（横轴：数据，纵轴：频率/组距，小矩形面积=频率）. 学习任务二 频率分布直方图的应用与解读 【合作探究】 1. 从频率分布表中获取信息： · 例如，教材中100户居民月均用水量的频率分布表（假设）： (1) 用水量在 的户数最多，说明多数家庭用水量集中在这个区间. (2) 所有频率之和为 . 1. 从频率分布直方图中观察分布特征： · 观察直方图的形状： (1) 该地区居民月均用水量分布“不对称”，大部分居民用水量较少，少数居民用水量较多，图形左高右低，右边有一个较长的“尾巴”. (2) 这种分布称为右偏分布（正偏态）. 1. 组数对直方图的影响： (1) 组数少、组距大：容易看出整体分布趋势，但损失细节. (2) 组数多、组距小：保留更多原始信息，但可能过于零碎，不易看出整体规律. (3) 实际应用中需根据数据量和分析目的适当选择. 1. 频数分布直方图与频率分布直方图的区别： (1) 纵轴不同：频数直方图纵轴是频数，频率直方图纵轴是频率/组距. (2) 面积含义不同：频数直方图中矩形面积表示频数与组距的乘积，频率直方图中矩形面积表示频率. 【自主梳理】 1. 频率分布直方图的纵轴是“频率/组距”，不是频率. 2. 小矩形面积 = 频率，所有矩形面积之和 = 1. 3. 直方图可直观显示数据的分布形态（对称、偏斜、峰值等）. 学习任务三 频率分布直方图的简单计算 【合作探究】 1. 例题1： · 某校抽取部分学生进行一分钟跳绳测验，频率分布直方图中从左到右各小矩形的面积之比为 ，第二小组的频数为12. · (1) 求第二小组的频率和样本容量； · (2) 若次数在110以上（含110）为达标，求达标率. · 解： · (1) 各小组面积之比即频率之比.总份数 = . · 第二小组频率 = . · 样本容量 . · (2) 达标次数为110以上，即从第三组开始到最后一组. · 达标频率 = ，达标率为 . 1. 例题2： · 胡晓统计爸爸9月通话60次，绘制了频率分布直方图（图略，文字描述）. · (1) 若通话时长为 的频率为 ，次数为多少？ · 解： 次. · (2) 若 的小长方形高度低于 ，说明什么？ · 答：说明 内的通话次数少于 内的次数. 【自主梳理】 1. 频率 = 频数 / 样本容量. 2. 已知频率和样本容量，可求频数；已知频数和频率，可求样本容量. 3. 频率分布直方图中，各矩形面积之比 = 频率之比. 【自查自纠】（正误判断） 1. 用样本的频率分布可以估计总体分布. （ ） 1. 频率分布直方图的纵轴表示频率. （ ） 1. 频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数. （ ） 1. 频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1. （ ） 1. 组距越大，直方图越能反映数据细节. （ ） 答案：1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.× 【典例分析】 例1：某工厂对一批产品进行质量检测，抽取50个样本，测得数据如下（略）.制作频率分布直方图时，极差为 ，若取组距为 ，应分成多少组？ 解：组数 组. 例2：已知一个容量为100的样本，频率分布直方图中，某小组的面积为 ，则该小组的频数为多少？ 解：面积 = 频率 = ，频数 = . 例3：某校高一年级学生一分钟跳绳次数的频率分布直方图（文字描述：共6组，面积比依次为 ），已知第二组频数为12，求样本容量和达标率（110次以上达标）. 解：同例题1，样本容量150，达标率 . 【习题巩固】 1. 一个容量为 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为 和 ，则 的值为（ ） · A. 120 B. 100 C. 80 D. 60 1. 在频率分布直方图中，若各小矩形的高度之和等于 ，则（ ） · A. 组距为1 B. 频率之和为1 C. 各矩形面积之和为1 D. 纵轴是频率 1. 一个样本的极差为 ，若分成 组，则组距应取为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 某校为了解高一年级学生的体能，抽取部分学生进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（文字描述：从左到右各小矩形面积比为 ，最后一组频数为 ）.求： · (1) 样本容量； · (2) 若跳绳次数在 次以上（含 ）为优秀，求优秀率. 1. （选做）某市居民月均用水量的频率分布直方图（文字描述）中， 的频率为 ， 的频率为 ，…， 的频率为 .若该市有 万户居民，估计月均用水量在 的户数. 【参考答案】 自查自纠：1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.× 习题巩固： 1. A（） 1. C 1. D（组距 = ，注意取整，但 能被 整除，得 ） 1. (1) 面积比 = 频率比，总份数 = .最后一组频率 = ，频数为6，故样本容量 . · (2) 优秀对应后两组（面积比 ），优秀频率 = ，优秀率约 . 1. 需要知道 的频率，假设由直方图读出频率为 ，则户数 = 万户.具体数据依教材直方图为准. 学科网（北京）股份有限公司 $