9.2.2总体百分位数的估计导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦“总体取值规律的估计”中的百分位数，通过回顾频率分布表与直方图的应用，引导学生思考如何用样本数据为政府决策服务，搭建起从数据描述到实际应用的学习支架。 以问题链驱动探究，从实际问题抽象出百分位数概念培养数学抽象素养，通过规范计算步骤和实例解析提升数学运算能力，作业结合阶梯电价等生活情境，助力学生用数学语言表达现实问题，习题设计注重理解与应用，有效提升学习效果。

9.2.1总体取值规律的估计教师版 【学习目标】 通过样本计算百分位数，培养学生数学抽象素养、数学运算素养. 【学习重难点】 1. 理解百分位数的统计含义. (重点、难点) 2. 结合实例，能用样本估计百分位数．(重点) 【学习过程】 一、情景引入 前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据,通过对图表的观察与分析,得出了一些样本数据的频率分布规律,并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况,得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断.接下来的问题是,如何利用这些信息,为政府决策服务呢?下面我们对此进行讨论. 二、探究新知 问题1　阅读课本第202页到第203页，思考问题2中居民用户月均用水量标准转化为数学问题具体指什么？ 提示 寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%. 问题2 如何确定一个满足要求的标准,以使80%的居民用户水费支出不受影响? 提示 把得到的100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8.可以发现，区间(13.6,13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分．一般地，我们取这两个数的平均数13.6＋13.82＝13.7. 问题3 你认为选定的标准一定能够保证80%的居民用水不超标吗?如果不一定,那么哪些环节可能会导致结论的差别? 提示 不一定，选定标准来自样本观测数据，是总体 80%分位数的一个估计值，抽样方法和样本的随机性都可能导致样本百分位数估计总体百分位数的误差。 结论形成： 1．第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有__p%__的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按__从小到大__排列原始数据． 第2步，计算i＝__n×p%__． 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第__j__项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的__平均数__． 3．四分位数 __第25百分数__，__第50百分数__，__第75百分数__这三个分位数把一组数据由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． 三、 例题解析 例1. 例2根据9.1.2节问题3中女生的样本数据,估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数. 解：把27名女生的样本数据按从小到大排序,可得 由,可知样本数据的第百分位数为第7,14,21项数据,分别为.据此可以估计树人中学高一年级女生的第百分位数分别约为155.5,161和164. 由于女生的样本量比较小,所以这里对总体的估计可能会存在比较大的误差. 练习1. （1）(多选题)下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是(　　) A．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50% B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是60% C．它可能是这组数据中的一个数据 D．它适用于总体是离散型的数据 解析　AC由百分位数的意义可知选项B，D错误，A，C正确． 　 （2）已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　) A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数 解析　C因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，选C.　 （3）为了解学生一学期参与志愿者活动的情况，学校随机调查了10名学生，统计其参加活动的时长(单位：小时)，得到以下数据：8，9，11，11，12，13，14，16，17，22，则该组数据的75%分位数为________． 解析　16. 10个数按从小到大排列为：8，9，11，11，12，13，14，16，17，22， 因为10×75%＝7.5， 所以这组数据的75%分位数为第8个数，即是16， 例2. 根据表9.2-1或图9.2-1,估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数. 分析:在某些情况下,我们只能获得整理好的统计表或统计图,与原始数据相比,它们损失了一些信息.例如由表9.2-1,我们知道在内有5个数据,但不知道这5个数据具体是多少.此时,我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上. 解析　由表9.2-1可知,月均用水量在以下的居民用户所占比例为 在以下的居民用户所占的比例为 因此,分位数一定位于内.由 可以估计月均用水量的样本数据的分位数约为. 类似地,由 可以估计月均用水量的样本数据的分位数约为. 练习2. 如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10)，[10，15)，[15，20].估计样本数据的第60百分位数是(　　) A．14　　　　　　　　 B．15 C．16 D．17 解析　A 第1组[5，10)的频率为0.04×5＝0.20，第2组[10，15)的频率为0.10×5＝0.50，所以第60百分位数是10＋5×0.60－0.200.70－0.20＝14. 作业某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费． (1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式； (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值； (3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数． [解析]　(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x； 当200<x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60； 当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140. 所以y与x之间的函数解析式为 y＝ (2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%， 结合频率分布直方图可知 解得a＝0.001 5，b＝0.002 0. (3)设75%分位数为m， 因为用电量低于300千瓦时的所占比例为 (0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%， 用电量不超过400千瓦时的占80%， 所以75%分位数为m在[300，400)内， 所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75， 解得m＝375(千瓦时)， 即用电量的75%分位数为375千瓦时。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.1总体取值规律的估计 【学习目标】 通过样本计算百分位数，培养学生数学抽象素养、数学运算素养. 【学习重难点】 1. 理解百分位数的统计含义. (重点、难点) 2. 结合实例，能用样本估计百分位数．(重点) 【学习过程】 一、情景引入 前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据,通过对图表的观察与分析,得出了一些样本数据的频率分布规律,并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况,得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断.接下来的问题是,如何利用这些信息,为政府决策服务呢?下面我们对此进行讨论. 二、探究新知 问题1　阅读课本第202页到第203页，思考问题2中居民用户月均用水量标准转化为数学问题具体指什么？ 问题2 如何确定一个满足要求的标准,以使80%的居民用户水费支出不受影响? 问题3 你认为选定的标准一定能够保证80%的居民用水不超标吗?如果不一定,那么哪些环节可能会导致结论的差别? 结论形成： 1．第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按 排列原始数据． 第2步，计算i＝ ． 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第 项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的 ． 3．四分位数 _ ， ， 这三个分位数把一组数据由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． 三、 例题解析 例1. 例2根据9.1.2节问题3中女生的样本数据,估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数. 练习1. （1）(多选题)下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是(　　) A．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50% B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是60% C．它可能是这组数据中的一个数据 D．它适用于总体是离散型的数据 （2）已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　) A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数 （3）为了解学生一学期参与志愿者活动的情况，学校随机调查了10名学生，统计其参加活动的时长(单位：小时)，得到以下数据：8，9，11，11，12，13，14，16，17，22，则该组数据的75%分位数为________． 例2. 根据表9.2-1或图9.2-1,估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数. 练习2. 如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10)，[10，15)，[15，20].估计样本数据的第60百分位数是(　　) A．14　　　　　　　　 B．15 C．16 D．17 作业某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费． (1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式； (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值； (3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数． 第 2 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $