9.1.2 分层随机抽样（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九章 统计 9.1 随机抽样 9.1.2 分层随机抽样 【学习目标】 1. 理解分层随机抽样的定义与核心特征，掌握样本量比例分配的计算方法，能根据总体分层情况合理确定各层抽样数量. 1. 理解分层随机抽样中样本均值与总体均值的关系，能熟练计算样本均值并估计总体均值. 1. 体会统计方法在实际问题中的应用，提升数据分析、数学运算与逻辑推理核心素养. 【学习重点】 1. 分层随机抽样的定义及比例分配. 2. 各层样本量的计算：（ 为第 层个体数， 为总体总数， 为样本容量）. 3. 用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数：，或 . 【学习难点】 1. 理解分层抽样的“层内差异小、层间差异大”的合理性. 2. 掌握总体平均数的估计公式及其与简单随机抽样的比较. 3. 实际应用中选择合适的分层变量. 学习任务一 分层随机抽样的概念与必要性 【合作探究】 1. 问题引入： · 在上节课的简单随机抽样中，我们发现有些样本平均数大幅度偏离总体平均数，产生“极端样本”. · 例如，在高一年级学生身高调查中，若样本中恰好包含了大量矮个子学生，就会低估总体平均身高. · 如何避免这种极端情况？ · 思路：将总体按某些特征（如性别）分成若干个“层”，使层内个体差异较小，然后在每一层内独立地进行简单随机抽样，最后将各层样本合并.这种方法叫做分层随机抽样. 1. 分层随机抽样的定义： · 按一个或多个变量将总体划分成若干个子总体（每个个体属于且仅属于一个子总体），在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样.每一个子总体称为一个层. 1. 比例分配： · 如果每层样本量都与层的大小成比例，即第 层抽取的样本量 （ 为第 层个体数， 为总体总数， 为样本容量），则称这种样本量的分配方式为比例分配. · 比例分配保证了每个个体被抽到的概率相等，体现了公平性. 1. 思考： 1. 为什么分层随机抽样能减少极端样本？ · （因为层内个体差异小，每层独立抽样，不会让某一特征在样本中过度集中或缺失.） 2. 下列情况适合用分层随机抽样吗？ · (1) 调查全校学生的平均身高，按年级分层. · (2) 调查一批零件的合格率，零件由三台不同机器生产，按机器分层. · 答：均适合，因为层内差异小，层间差异大. 【自主梳理】 1. 分层随机抽样：将总体分层，每层独立简单随机抽样，再合并. 1. 比例分配：. 1. 优点：能有效避免极端样本，提高估计精度，尤其当层内差异小、层间差异大时效果更好. 学习任务二 分层随机抽样的步骤与样本量计算 【合作探究】 1. 分层随机抽样的步骤： · (1) 分层：根据研究目的和变量特征，将总体分成若干层（层内差异小，层间差异大）. · (2) 确定样本容量 . · (3) 计算各层应抽取的样本量 （比例分配）. · (4) 在每一层内独立地进行简单随机抽样，得到各层样本. · (5) 将各层样本合并，得到总样本. 1. 例题： · 某学校学生由小学部、初中部、高中部构成.小学部与初中部共有700人，该校采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取12名学生进行家访，若高中部抽取了5名学生，则该校高中部有多少名学生？ · 解：设高中部人数为 ，则总人数 . · 高中部抽样比例 ，解得 ，，，. · 所以高中部有 名学生. 1. 思考： 如果各层样本量分配不是比例分配，会有什么影响？ · （可能破坏等概率性，导致估计有偏.） 【自主梳理】 1. 样本量比例分配公式：. 2. 已知部分层样本量和总样本量，可求该层总体量. 学习任务三 用分层随机抽样的样本估计总体平均数 【合作探究】 1. 总体平均数的估计： · 设总体分为 层，第 层的个体数为 ，总体均值为 .从第 层抽取容量为 的样本，样本均值为 .则总体均值的估计量为： · 当采用比例分配时，该估计量是无偏的. 1. 例题： · 树人中学高一年级有男生326名，女生386名.现用按比例分配的分层随机抽样方法，从男生和女生中分别抽取样本，测得男生样本平均身高为 cm，女生样本平均身高为 cm.试估计高一年级全体学生的平均身高. · 解：总体均值估计 · cm. · 故估计平均身高约为 cm. 1. 比较分层抽样与简单随机抽样： · 通过多次试验发现： (1) 分层抽样的样本平均数也围绕总体平均数波动. (2) 但与简单随机抽样相比，分层抽样的样本平均数波动幅度更均匀，出现极端偏离的样本更少. (3) 当总体内个体差异较大时，分层抽样的估计效果通常优于简单随机抽样. 1. 思考： (1) 为什么分层抽样有时没有明显优于简单随机抽样？ · （当层内差异也较大时，分层优势不明显；另外样本量较小时，随机性影响大.） (2) 分层变量应如何选择？ · （应选择与调查指标相关性强的变量，且能显著区分层间差异.） 【自主梳理】 1. 总体均值估计：. 2. 分层随机抽样在总体差异大时优于简单随机抽样. 3. 分层抽样的样本平均数波动更温和，极端值较少. 学习任务四 分层随机抽样的实际应用 【合作探究】 1. 例题： · 某地区有5个乡镇，人口分别为 1.2万、0.8万、2.0万、0.8万、1.2万，现要调查该地区某种疾病的发病率，由于各乡镇发病情况差异明显，决定采用分层随机抽样，从该地区3万人中抽取300人作为样本.请设计抽样方案. · 解： · (1) 将5个乡镇各作为一层. · (2) 总人口 万？注意：题目给出总人数3万，但各乡镇数字可能是比例？实际数据：1.2,0.8,2.0,0.8,1.2 之和为6.0，但总人口为3万，说明这些数字可能是以“万人”为单位，总和6万人，与实际3万不符.推测这些数字是“万人”但总人口是3万，可能是数字示例.为计算方便，直接用： · 各层人数：万，万，万，万，万，总和 万.样本容量 . · 各层抽取人数： · ，，，，. · (3) 在各乡镇内独立进行简单随机抽样，抽取相应人数. · (4) 将抽得的300人合在一起，构成样本. 1. 拓展： · 如果已知各层样本均值和层人数，可直接用公式估计总体均值.若还知道各层的方差，可进一步计算估计量的方差. 【自主梳理】 1. 分层抽样适用于总体由差异明显的几部分构成的情况. 2. 实际设计时，需先获取各层个体数，再按比例分配样本量. 3. 每层内采用简单随机抽样. 【自查自纠】（正误判断） 1. 分层随机抽样中，各层样本量必须与该层个体数成正比. （ ） 1. 分层随机抽样一定能比简单随机抽样得到更精确的估计. （ ） 1. 分层随机抽样的估计量公式为 . （ ） 1. 分层时，应使层内差异尽可能大，层间差异尽可能小. （ ） 1. 在比例分配下，每个个体被抽到的概率相等. （ ） 答案：1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.√ 【典例分析】 例1：某学校学生由三个年级组成，高一年级600人，高二年级500人，高三年级400人.现用比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为150的样本，则高一、高二、高三年级各应抽取多少人？ 解：总人数 . 高一：；高二：；高三：. 答：高一60人，高二50人，高三40人. 例2：某电视台为了解观众对某节目的满意度，按性别分层随机抽样，从男观众中抽50人，平均评分8.2分；从女观众中抽50人，平均评分7.8分.已知总体中男观众占60%，女观众占40%.试求总体平均评分的估计值. 解： 分. 例3：已知某工厂有甲、乙、丙三个车间，人数分别为200、300、500.现采用分层随机抽样抽取一个容量为100的样本，测得三个车间样本的平均产量分别为 10.2、9.8、10.5 吨，估计全厂平均产量. 解：总人数 . 吨. 【习题巩固】 1. 某学校高中部有高一、高二、高三三个年级，其中高一年级800人，高二年级750人，高三年级650人.现用分层随机抽样抽取一个容量为110的样本，则高三年级应抽取（ ） · A. 30人 B. 32人 C. 33人 D. 35人 1. 某地区有城市人口120万，农村人口80万.为了调查居民收入情况，采用分层随机抽样，从城市居民中抽取了300人，从农村居民中抽取了200人.则样本中城市人口的比例与总体中城市人口的比例（ ） · A. 相等 B. 不相等 C. 可能相等 D. 无法确定 1. 某工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线生产了400件产品，乙生产线生产了600件产品.现用分层随机抽样抽取一个容量为50的样本进行质量检验，则甲生产线应抽取（ ）件产品. · A. 20 B. 25 C. 30 D. 40 1. 某校有男生500人，女生400人，用比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为90的样本，测得男生平均身高172 cm，女生平均身高160 cm，则估计全校学生的平均身高为______ cm. 1. （选做）某地区有5个乡镇，人口数分别为 1.2万、0.8万、2.0万、0.8万、1.2万，现要调查该地区居民的年收入，采用分层随机抽样抽取500人，请设计抽样方案（写出各层应抽人数）. 【参考答案】 自查自纠：1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.√ 习题巩固： 1. C（，取整约33人，但比例分配应为精确值，实际可能取32或33，题目选最接近的33，但严格计算应得32.5，若人数为整数需调整，此处按比例得32.5，但选项无32.5，可能数据设计为整数：，约33人.） 1. A（比例分配时样本比例与总体比例相等） 1. A（甲） 1. cm 1. 总人口数 万，. · 各层应抽人数： · 乡镇1：； · 乡镇2：，取 67； · 乡镇3：，取 167； · 乡镇4：，取 67； · 乡镇5：. · 总和为 ，可调整为 100,66,167,66,101 等，总和500. 学科网（北京）股份有限公司 $