9.1.2 分层随机抽样 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.1.2《分层随机抽样》导学案 一、学习目标 1. 从实际问题中抽象出分层随机抽样的概念，理解其本质特征，提升从具体到抽象的思维能力。 1. 掌握分层随机抽样的实施步骤和样本量分配原理，能够根据实际情况进行合理的抽样设计和逻辑推理，培养逻辑思维能力。 1. 准确计算分层抽样中各层的样本量，以及运用分层随机抽样的方法估计总体平均数，提高运算能力和对数学公式的运用能力。 二、学习重难点 （一）重点 分层随机抽样的概念、特点、实施步骤，样本量的比例分配方法，以及分层随机抽样中总体平均数的估计。 （二）难点 理解分层随机抽样的适用条件和样本量比例分配的合理性，掌握分层随机抽样与简单随机抽样的区别和联系，并能在实际问题中正确选择抽样方法。 三、学习过程 （一）回顾旧知 1. 简单随机抽样的概念：设一个总体含有有限个个体，并记其个体数为 N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的机会相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。 1. 简单随机抽样的特点：① 总体个数有限；② 逐个进行抽取；③ 机会均等抽样。 1. 简单随机抽样的常用方法：抽签法和随机数表法。 思考：简单随机抽样存在什么局限性呢？例如，在对树人中学高一年级学生身高的调查中，可能出现样本中个体大部分来自高个子或矮个子的情形，导致估计出现较大误差。 （二）导入课题 为了改进简单随机抽样方法，减少 “极端” 样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果，我们可以利用已知的辅助信息，如性别，将总体分为不同的层，然后在各层中进行抽样，这种方法就是分层随机抽样。 （三）合作探究 1. 分层随机抽样的概念和原理 案例：树人中学高一年级有 712 名学生，其中男生 326 名，女生 386 名。为了调查学生的平均身高，我们如何利用性别信息进行分层随机抽样呢？ 分析：由于男生和女生的身高存在明显差异，且相同性别的身高差异相对较小，我们可以将高一年级学生按性别分为男生和女生两个层。在每个层中独立进行简单随机抽样，然后将各层抽取的样本汇总作为总体的一个样本。 这样做的目的是使样本的结构与总体的分布相近，避免出现 “极端” 样本，提高样本的代表性。 1. 分层随机抽样的实施步骤和样本量分配方法 实施分层随机抽样时，一般有以下步骤： · 确定分层变量 ：根据问题的背景和总体的特征，选择一个或多个变量作为分层变量。例如，在树人中学高一年级学生的身高调查中，我们选择性别作为分层变量。 · 划分层 ：按照分层变量将总体划分为若干个互不重叠的层。在本案例中，将学生分为男生层和女生层。 · 确定样本量分配方法 ：根据各层在总体中的比例或其他因素，确定各层应抽取的样本量。通常情况下，按比例分配是一种比较合理的方式。按比例分配的公式为：各层样本量总样本量该层总体单位数总体单位总数。 例如，若要从树人中学高一年级抽取一个容量为 50 的样本，那么男生层应抽取的样本量为： 人；女生层应抽取的样本量为： 人。 · 在各层中进行抽样 ：在每个层中，采用简单随机抽样方法抽取样本。 · 汇总样本并进行估计 ：将各层抽取的样本汇总在一起，形成总体样本，然后运用分层随机抽样的方法估计总体平均数。估计总体平均数的公式为：，其中， 表示总体平均数的估计值，L 表示层数， 表示第 h 层的总体单位数，N 表示总体单位总数， 表示第 h 层样本平均数。 1. 案例分析和计算 在树人中学高一年级学生的身高调查中，我们按上述方法抽取了一个容量为 50 的样本，其中男生 23 人，女生 27 人。以下是各层样本的身高数据（单位：cm）： 男生样本： 173.0 174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0 164.0 173.0 172 173 175 168.0 170.0 172.0 176.0 175.0 168.0 173.0 167 170 175 169.0 171.0 女生样本： 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154 154 164 149 159 161 170 171.0 155.0 148.0 172 162.5 158 155.5 157 163 172 请计算各层样本平均数以及总体平均数的估计值。 计算过程： 男生样本平均数：男 cm 女生样本平均数：女 cm 总体平均数的估计值： cm 1. 巩固练习 练习 1：某高校有本科生 8000 人，硕士生 2000 人，博士生 800 人。现要抽取一个容量为 500 的样本，调查学生对学校食堂的满意度。请问应如何进行分层随机抽样？各层应抽取多少样本？ 答案：按照学生层次（本科生、硕士生、博士生）进行分层。各层样本量分别为：本科生： 人；硕士生： 人；博士生： 人。 练习 2：某工厂生产了一批产品，共有 1000 件，其中甲型产品 400 件，乙型产品 300 件，丙型产品 300 件。现要抽取一个容量为 100 的样本进行质量检测。若采用分层随机抽样，且按比例分配样本量，请计算各层应抽取的样本数量，并说明如何估计这批产品的平均质量。 答案：各层样本量分别为：甲型产品： 件；乙型产品： 件；丙型产品： 件。估计这批产品的平均质量时，先计算各层样本的平均质量 甲、乙、丙，然后利用公式 甲乙丙 进行估计。 练习 3：某学校有高中生 2000 人，其中高一年级 800 人，高二年级 600 人，高三年级 600 人。现要抽取一个容量为 200 的样本，调查学生对学校课程的满意度。若采用分层随机抽样，且按比例分配样本量，请计算各年级应抽取的样本数量，并说明如何估计全校学生的平均满意度。 答案：各年级应抽取的样本数量分别为：高一年级： 人；高二年级： 人；高三年级： 人。估计全校学生的平均满意度时，先计算各年级样本的平均满意度 、、，然后利用公式 进行估计。 1. 课堂小结 (1) 分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法。进行分层抽样时应注意以下几点： 1　 分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，层之间的样本差异要大，且互不重叠。 2　 为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。 3　 在每层抽样时，应采用简单随机抽样的方法进行抽样。 (2) 分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。 (3) 分层随机抽样中如何用样本估计总体平均值：。 1. 布置作业 (4) 必做题：完成教材 184 页练习 1、2、3 题，通过作业巩固分层随机抽样的概念、样本量计算和总体平均数估计等知识点。 (5) 选做题：思考在调查学校学生对不同学科的喜爱程度时，如何运用分层随机抽样设计抽样方案；查阅资料，了解分层随机抽样在其他领域（如医学研究、社会调查等）的具体应用案例，并整理成简短的报告。 学科网（北京）股份有限公司 $$