精品解析：福建厦门市海沧区鳌冠学校2025-2026学年下学期期中阶段适应性练习八年级数学

2025－2026学年第二学期期中阶段适应性练习 初二数学 一、选择题（4分*8＝32分） 1. 以下是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 5，11，12 B. 3，4，5 C. 4，6，8 D. 6，12，13 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 34 5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AD与BC之间的距离是（　　） A. AE的长 B. MN的长 C. AB的长 D. AC的长 6. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（ ） A. 8 B. 10 C. 34 D. 二、填空题（4分*8＝32分） 9. 当__________时，二次根式有意义（写出一个合理的值即可）． 10. 在□ABCD中，若则_______． 11. 化简：（1）__________；（2）__________． 12. 比大小：__________． 13. 如图，在数轴上点表示的实数是__________ 14. 五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中．如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（，，，，）的度数必须相等．设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为__________． 15. 七巧板是我国广为流传的一种益智玩具，被誉为“东方魔板”．某同学用面积为的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，它由个等腰直角三角形，个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为__________． 16. 如图，在中，，，，、、都是等边三角形．下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形的面积为24.其中所有正确的序号是__________． 三、解答题（本大题共9大题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解不等式组： 19. 如图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． 20. 四边形如图所示，已知，，，，． （1）证明：； （2）求四边形的面积． 21. 已知：如图，在中，，点是边的中点，连接． （1）尺规作图：在上求作一点，使得为的中位线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 22. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． （1）求水池的深度； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 23. 【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为．0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是__________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 24. 在正方形中，点在边上，点在边上，，连接，． （1）求证：； （2）在边取点，使得，过点作交于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 25. 实践操作： 在数学活动课上，老师叫同学们每人都拿出一张矩形纸条，如下图，按以下步骤操作： 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相同的矩形和再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，如图④，展平纸片，按照所得的点D折出，使． 问题解决： （1）设，则图④中的值为______； （2）小聪量得他的矩形纸片长为，宽为，如图⑤所示，于是他在第一步的基础上沿着过点A的直线折叠，点H恰好落在上的点F处，折痕为，他延长交直线于点D，又知点D到点M的距离为点D到点C的距离的，请帮他计算的长； （3）连接（2）中得到的正方形的两条对角线和交于点H，如图⑥G是的中点，E是上的一点，且，仍为，F是上的一动点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期期中阶段适应性练习 初二数学 一、选择题（4分*8＝32分） 1. 以下是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：1. 被开方数不含能开方的因数或因式；2. 被开方数不含分母，逐一分析选项即可确定答案． 【详解】解：选项A：，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 选项B：，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 选项C：，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 选项D：，被开方数无平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件，本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 5，11，12 B. 3，4，5 C. 4，6，8 D. 6，12，13 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算与性质，根据二次根式的相关法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意； B选项：，该选项不符合题意； C选项：，该选项符合题意； D选项：，该选项不符合题意． 4. 勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的背景图，解题关键是掌握它们的面积与正方形边长的关系，以及各边长之间的关系，据此即可求解． 【详解】解：如图，令直角三角形的三边长分别为， ∴， ∴正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积， ∴正方形B的面积是， ∴正方形B的边长是2，   故选：C ． 5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AD与BC之间的距离是（　　） A. AE的长 B. MN的长 C. AB的长 D. AC的长 【答案】A 【解析】 【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC， ∴AE的长为平行线AD与BC之间的距离． 故选：A． 【点睛】本题考查了两条平行线之间的距离的定义，掌握定义是解题的关键． 6. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 7. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，由知要说明“”是错误的，则，据此解答即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴要说明“”是错误的，则， ∴的值可以是， 故选：． 8. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（ ） A. 8 B. 10 C. 34 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及两点之间线段最短的知识，根据题意，将代数式转化为求两条线段之和的最小值，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，，  可将看作两直角边分别为和3的的斜边长，将看作两直角边分别为和5的的斜边长， 如图，构造图形，使，，且、在异侧， 设，，， ，即，   点在上，，， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 过点作于点，则四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值是10． 故选：B． 二、填空题（4分*8＝32分） 9. 当__________时，二次根式有意义（写出一个合理的值即可）． 【答案】5(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 因此，x可取任意不大于5的实数，例如：． 10. 在□ABCD中，若则_______． 【答案】60° 【解析】 【详解】试题解析：由平行四边形的性质得，∠C=∠A=60° 11. 化简：（1）__________；（2）__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题利用二次根式的性质化简，将被开方数分解出完全平方因数后，开方得到最简二次根式． 【详解】解：（1）； （2）． 12. 比大小：__________． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，两个正数比较大小，可通过比较平方的大小判断，平方更大的原数更大． 【详解】解：分别对两个二次根式平方得： ， ， 因为，且，， 所以． 13. 如图，在数轴上点表示的实数是__________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案． 【详解】解：由勾股定理可得， ∴在数轴上点A表示的实数是． 14. 五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中．如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（，，，，）的度数必须相等．设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为__________． 【答案】 ##36度 【解析】 【分析】设，利用三角形外角的性质将转化到与所在的三角形中，构建关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设， 设与的交点为F，与的交点为G，如图所示， 则，， 在中，由三角形内角和定理得， 即，解得， 那么这个角的度数应为． 15. 七巧板是我国广为流传的一种益智玩具，被誉为“东方魔板”．某同学用面积为的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，它由个等腰直角三角形，个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式可以求出，利用勾股定理可以求出，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可以求出，根据梯形的面积公式即可求出，根据各部分的形状可以求出． 【详解】解：如下图所示， 正方形的面积为，是正方形的对角线， ， ， 和是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ． 16. 如图，在中，，，，、、都是等边三角形．下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形的面积为24.其中所有正确的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，即可判断①，证明，，可得，得出，即可判断②，由②可得，，即可判断③，过点作于点，根据含角的直角三角形的性质得出，进而根据平行四边形的面积公式，计算即可判断④． 【详解】解：①∵在中，，，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵、、都是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， 由①可知，， ∴， ∴，故②错误； ③由②可知，，， ∵、都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故③正确； ④如图，过点作于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④． 三、解答题（本大题共9大题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得 ∴不等式组的解集为 19. 如图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：在和中， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】证明得到，，然后利用平行四边形的判定可证得结论． 【详解】 略 20. 四边形如图所示，已知，，，，． （1）证明：； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）证明：在中， ∵， ∴ 又∵， 由勾股定理得： 在中， ∵，， ∴，即为直角三角形， ∴； （2）9 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据勾股定理逆定理求得为直角三角形，即可求解； （2）分别求得和的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，的面积为， 故四边形的面积为． 【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握基本定理是解题的关键． 21. 已知：如图，在中，，点是边的中点，连接． （1）尺规作图：在上求作一点，使得为的中位线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 【答案】（1） 所作图形如图所示： （2） 证明：∵为的中位线， ∴， ∴， ∵，点是边的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用作垂直平分线的方法作出的中点，则为的中位线； （2）根据中位线的性质求得，再利用等腰三角形的性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． （1）求水池的深度； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】（1）12尺 （2） 证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【小问1详解】 解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； 【小问2详解】 略 23. 【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为．0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是__________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数为非负数可得a的取值范围； （2）根据绝对值与算术平方根的非负性列出二元一次方程组，求解后代入计算即可； （3）先根据被开方数的非负性确定a的取值范围，再化简绝对值，整理等式即可得到结果． 【小问1详解】 解：对于，根据算术平方根定义，被开方数必须为非负数， 因此的取值范围是； 【小问2详解】 解：，，且，   ， 解得 ， ； 【小问3详解】 解：， ，即， ， 原方程可化为， 整理得， 两边平方得， ． 24. 在正方形中，点在边上，点在边上，，连接，． （1）求证：； （2）在边取点，使得，过点作交于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：设相交于点H， ∵四边形是正方形， ∴， 又 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） ①如图，即为所作： ②，证明： 延长到点Q，使，连接，如图， 由（1）得，，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∵ ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质以及勾股定理： （1）设相交于点H，根据证明，得由得，由三角形内角和定理得，即； （2）①根据题意补全图形即可；②延长到点Q，使，连接，证明，根据证明，得，再证明，得是等腰直角三角形，得到，从而可得结论 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 25. 实践操作： 在数学活动课上，老师叫同学们每人都拿出一张矩形纸条，如下图，按以下步骤操作： 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相同的矩形和再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，如图④，展平纸片，按照所得的点D折出，使． 问题解决： （1）设，则图④中的值为______； （2）小聪量得他的矩形纸片长为，宽为，如图⑤所示，于是他在第一步的基础上沿着过点A的直线折叠，点H恰好落在上的点F处，折痕为，他延长交直线于点D，又知点D到点M的距离为点D到点C的距离的，请帮他计算的长； （3）连接（2）中得到的正方形的两条对角线和交于点H，如图⑥G是的中点，E是上的一点，且，仍为，F是上的一动点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由折叠的性质得出结合勾股定理得出，再把数值代入进行化简，即可作答． （2）先由正方形的性质得出，结合勾股定理算出，，设，则．列式，解出，过点D作于点G．，则，即可作答． （3）作点G关于的对称点，连接并延长交BN于点，当点F运动到点时，取得最大值，因为G是的中点，所以是的中点．过点H作于点K，显然K是的中点，证明是的中位线，得．则，而，即可作答． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵这个正方形折成两个相同的矩形和再把纸片展平， ∴， ∵折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可知，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， 如图1，过点D作于点G， 显然是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，作点G关于的对称点，连接并延长交BN于点， 即当点F运动到点时，取得最大值， ∵，，四边形是正方形， ∴，， ∵G是的中点， ∴是的中点， 过点H作于点K，显然K是的中点， ∴， ∴E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 显然是等腰直角三角形， ∴， 显然， 而， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段的最值，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $