宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（A卷）

**基本信息** 高一期中数学卷聚焦向量、三角函数与解三角形核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，结合冰球运动做功等真实情境，考查运算能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|向量化简、数量积、基底判断等|注重概念辨析，夯实基础| |多选题|3题/15分|向量共线垂直、三角公式逆用|考查思维严谨性，设置多错项干扰| |填空题|3题/15分|韦达定理应用、投影向量、冰球做功|融入运动情境，体现数学应用| |解答题|5题/80分|向量综合运算、三角函数图像变换与性质|多知识点融合，如向量夹角与单调性结合，考查综合运用能力|

> > > > 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 > > > > 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ( 青铜峡市第一中学2025-2026学年第二学期期中考试 高 一 数学答题卡 （A卷） ) ( 注意事项 选择题请用2B铅笔填涂方框，如需改动，必须用橡皮擦干净，不留痕迹，然后再选择其它答案标号。 非选择题必须使用黑色签字笔书写，笔迹清楚。 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域，以及在草稿纸和试题上的答案均无效。 请保持卷面清洁，不要折叠和弄破答题卡。 填 涂 样 例 正确填涂 > 条形码粘贴区域 (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 试卷类型 A B 缺考标记 （禁止考生填涂） < < < 姓 名： 班 级： 考 号： ) ( 一、 单选题 (本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 二、多项选择题： （本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） ) ( 5 abcd 6 abcd 7 abcd 8 abcd    ) ( 1 abcd 2 abcd 3 abcd 4 abcd ) ( 9 abcd 10 abcd 11 abcd ) ( 三、填空题 (本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12. 13. 14. ) ( 15. （共13分） 0 -1 ) ( 1 6 . （共15分） ) ( 1 7 . （共1 5 分） ) ( 1 8 . （共17分） ) ( 19 . （共1 7 分） ) 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 > > 数学 第2面 共2面 > > 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 > > 数学 第1面 共2面 > > 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期中A卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D A D C A C D BCD AD BCD 1．C 【分析】应用向量加减法的运算律化简即可得. 【详解】. 故选：C 2．D 【分析】根据向量数量积定义将平方即可计算得出其模长. 【详解】由题意可知， 则， 可得. 故选：D 3．A 【分析】利用向量加减法公式，化简已知条件，即可判断结果. 【详解】由条件可知，得. 故选：A 4．D 5．C 【分析】建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 因为，，所以，，， 因为为中点，所以，，则. 所以，. 所以 . 6．A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及差角的正弦公式计算得解. 【详解】. 故选：A 7．C 【详解】. ， 因为，所以， 因为，所以，所以. 8．D 【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状. 【详解】，， ， 化简得，， ，即， 或， ，或，即或， 是直角三角形或等腰三角形. 故选：D. 9．BCD 【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】A：因为， 所以本选项不正确； B：因为， 所以本选项正确； C：因为 所以本选项正确； D：因为， 所以本选项正确， 故选：BCD 10．AD 【分析】根据向量共线的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合三角函数的性质即可判断C；根据，求出，的关系，进而可判断D. 【详解】因为，，所以，， 对于A选项，若，则，所以，故A正确； 对于B选项，若，则，所以， 又，解得或，故B错误； 对于C选项， ，其中， 当时，取得最大值，故C错误； 对于D选项，若，则，即， 所以， 所以 ，故D正确. 11．BCD 【分析】由平面向量的线性运算可判断A，由模的求法可判断B；由平面向量数量积的运算和垂直的定义可判断C，由投影向量的求法计算可判断D. 【详解】由题可得：，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，所以与不垂直，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量为，故D错误； 故选：BCD 12．0.4 【分析】由题意利用韦达定理求得、 的值，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值． 【详解】解：、是方程的两根， ，， 故答案为：．0.4 【点睛】本题主要考查韦达定理，两角差的正切公式，属于基础题． 13． 【详解】为一个单位向量，与的夹角是，， 由平面向量数量积定义可得， 所以在上的投影向量为：.故答案为： 14．17 【分析】借助功的定义计算即可得. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 15．(1) (2) (3)且 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示即可求出； （2）根据平面向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标表示即可解出； （3）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出． 【详解】（1）因为，，，． （2），， ，， 解得． （3）与的夹角是钝角，，且， ，且，解得且． 16．（1）见解析（2）对称轴为：.对称中心为： （3）时，.时， 【分析】（1）用五点法，列表，描点，连线，作函数在一个周期上的简图； （2）令，可得对称轴，令，可得对称中心； （3）根据，得到，由三角函数性质可得最值. 【详解】（1）列表 0 0 1 0 0 ； （2）令，即对称轴为：； 令，即对称中心为：； （3）当时，令， 当，即时，； 当，即时，. 【点睛】本题主要考查用五点法作函数在一个周期上的简图，以及函数的对称性和最值，属于基础题. 17．(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，结合三角函数的图象与性质，即可求得函数的解析式； （2）结合三角函数的图象变换，求得，再由，利用三角函数的图象由性质，即可求解. 【详解】（1）解：根据函数的图象可得，且， 所以，， 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以， 所以，可得， 又因为，所以，所以. （2）解：把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到， 再向下平移一个单位得到， 再向左平移个单位得到， 即， 若，即，可得或， 即或， 因为，所以角的值为或. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性，结合图象进行求解即可. 【详解】（1）， 由， 所以函数的单调递增区间为； （2）， 当时，令，则有， 函数在时，单调递增，在上单调递减， 所以函数的函数值由增加到，再减小到， 当时，方程有两个不等的实根， 则需函数的图象与有两个交点， 即，与有两个交点， 如图所示，.    19．(1)90° (2) (3) 【分析】（1）求出两向量的模长，利用向量数量积的运算律计算即可推断求得； （2）利用差角的余弦公式 结合条件得到，再由运用向量数量积的运算律化简即可求得； （3）根据角的范围求出与，结合，利用和角的正弦公式计算即得. 【详解】（1）因，， 则，． 向量与的夹角为． （2）因 由，两边取平方可得， 又，代入化简得：，故． （3）因且，则， 又，则，由（1）已得， 则． 故 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市第一中学2025-2026学年第二学期高一期中考试 数 学 试 卷（A卷） （考试时长：120分钟 总分:150分 ） 一、单选题 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 2．已知单位向量与单位向量的夹角为45°，则（  ） A．2 B． C． D．1 3．在中，若点满足，则（    ） A． B． C． D． 4．设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6．（    ） A． B． C． D． 7． 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 二、多选题 9．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则 11. 如图，设，是平面内相交成45°角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记为，在该坐标系中，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 三、填空题 12．若是方程的两根，则____ 13．已知为一个单位向量，与的夹角是.若，则在上的投影向量为____. 14. 冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为__ _ 四、解答题 15．已知函数 （Ⅰ）填表并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）； 0 -1 （Ⅱ）写出函数图象的对称中心坐标及对称轴的方程. 16．已知向量，，，． (1)求； (2)若，求实数的值． (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 17．已知函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数的表达式； (2)把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数的图象，若且，求角的值. 18 设向量，，且． （1）求向量与的夹角； （2）求的值； （3）若，且，求的值． 19．已知向量，设函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，方程有两个不等的实根，求m的取值范围； (3)若方程 在（0，π）上的解为,求的值。 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D A D C A C D BCD AD BCD 1．C 【分析】应用向量加减法的运算律化简即可得. 【详解】. 故选：C 2．D 【分析】根据向量数量积定义将平方即可计算得出其模长. 【详解】由题意可知， 则， 可得. 故选：D 3．A 【分析】利用向量加减法公式，化简已知条件，即可判断结果. 【详解】由条件可知，得. 故选：A 4．D 5．C 【分析】建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 因为，，所以，，， 因为为中点，所以，，则. 所以，. 所以 . 6．A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及差角的正弦公式计算得解. 【详解】. 故选：A 7．C 【详解】. ， 因为，所以， 因为，所以，所以. 8．D 【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状. 【详解】，， ， 化简得，， ，即， 或， ，或，即或， 是直角三角形或等腰三角形. 故选：D. 9．BCD 【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】A：因为， 所以本选项不正确； B：因为， 所以本选项正确； C：因为 所以本选项正确； D：因为， 所以本选项正确， 故选：BCD 10．AD 【分析】根据向量共线的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合三角函数的性质即可判断C；根据，求出，的关系，进而可判断D. 【详解】因为，，所以，， 对于A选项，若，则，所以，故A正确； 对于B选项，若，则，所以， 又，解得或，故B错误； 对于C选项， ，其中， 当时，取得最大值，故C错误； 对于D选项，若，则，即， 所以， 所以 ，故D正确. 11．BCD 【分析】由平面向量的线性运算可判断A，由模的求法可判断B；由平面向量数量积的运算和垂直的定义可判断C，由投影向量的求法计算可判断D. 【详解】由题可得：，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，所以与不垂直，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量为，故D错误； 故选：BCD 12．0.4 【分析】由题意利用韦达定理求得、 的值，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值． 【详解】解：、是方程的两根， ，， 故答案为：．0.4 【点睛】本题主要考查韦达定理，两角差的正切公式，属于基础题． 13． 【详解】为一个单位向量，与的夹角是，， 由平面向量数量积定义可得， 所以在上的投影向量为：.故答案为： 14．17 【分析】借助功的定义计算即可得. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 15．(1) (2) (3)且 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示即可求出； （2）根据平面向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标表示即可解出； （3）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出． 【详解】（1）因为，，，． （2），， ，， 解得． （3）与的夹角是钝角，，且， ，且，解得且． 16．（1）见解析（2）对称轴为：.对称中心为： （3）时，.时， 【分析】（1）用五点法，列表，描点，连线，作函数在一个周期上的简图； （2）令，可得对称轴，令，可得对称中心； （3）根据，得到，由三角函数性质可得最值. 【详解】（1）列表 0 0 1 0 0 ； （2）令，即对称轴为：； 令，即对称中心为：； （3）当时，令， 当，即时，； 当，即时，. 【点睛】本题主要考查用五点法作函数在一个周期上的简图，以及函数的对称性和最值，属于基础题. 17．(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，结合三角函数的图象与性质，即可求得函数的解析式； （2）结合三角函数的图象变换，求得，再由，利用三角函数的图象由性质，即可求解. 【详解】（1）解：根据函数的图象可得，且， 所以，， 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以， 所以，可得， 又因为，所以，所以. （2）解：把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到， 再向下平移一个单位得到， 再向左平移个单位得到， 即， 若，即，可得或， 即或， 因为，所以角的值为或. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性，结合图象进行求解即可. 【详解】（1）， 由， 所以函数的单调递增区间为； （2）， 当时，令，则有， 函数在时，单调递增，在上单调递减， 所以函数的函数值由增加到，再减小到， 当时，方程有两个不等的实根， 则需函数的图象与有两个交点， 即，与有两个交点， 如图所示，.    19．(1)90° (2) (3) 【分析】（1）求出两向量的模长，利用向量数量积的运算律计算即可推断求得； （2）利用差角的余弦公式 结合条件得到，再由运用向量数量积的运算律化简即可求得； （3）根据角的范围求出与，结合，利用和角的正弦公式计算即得. 【详解】（1）因，， 则，． 向量与的夹角为． （2）因 由，两边取平方可得， 又，代入化简得：，故． （3）因且，则， 又，则，由（1）已得， 则． 故 ． 第 2 页 共 2 页 第 1 页 共2 页 学科网（北京）股份有限公司 $