单元巩固练4 三角形(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册名师划重点+单元巩固练(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 聚焦三角形核心考点，以“性质应用-全等判定-实际建模-动态探究”为主线，融合跨学科与新考法，系统提炼判定方法与分类讨论策略 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本性质|第1题|三角形稳定性直接应用|从现实情境抽象几何性质，建立“性质-应用”关联| |全等判定|第3、5题|SSS/SAS/ASA判定推理|通过图形变式巩固判定条件，形成“条件-结论”推导链| |实际应用|第13题|数学建模（ASA全等）|将测河宽问题转化为三角形全等模型，培养应用意识| |动态探究|第14题|分类讨论（SAS全等）|结合运动变化分析全等条件，发展逻辑推理与创新意识|

单元巩固练4　三角形 编者按：紧抓期末高频考点，配合“名师划重点”使用，稳固根基！ 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.如图，木工师傅在做完门框后为防止其变形，会钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB，CD两根木条），这样做的依据是（　D　） A.两直线相交，只有一个交点 B.两点确定一条直线 C.两点之间线段最短 D.三角形具有稳定性 第1题图 2.为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好AB，BC，CD三段篱笆，其长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动.若要围成一个三角形空地，则接在篱笆AB上的新篱笆长度可以为（　D　） 第2题图 A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m 3.如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（　C　） 第3题图 A.ASA B.AAS C.SSS D.SAS 4.跨学科物理 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　C　） 第4题图 A.155° B.125° C.115° D.65° 5.已知△ABC的三个内角，三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，与△ABC全等的图形是（　B　） 甲 乙 丙 A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙 6.新考法综合与实践 在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涵三位同学的折纸示意图（点C的对应点是点C′），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（　B　） A.小睿折出的是BC边上的中线 B.小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线 C.小涵折出的是△ABC中BC边上的高 D.上述说法都错误 7.［中山市］如图，小敏和小彬玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是60 cm，当小敏从水平位置AB上升35 cm时，这时小彬离地面的高度是（　A　） A.25 cm B.35 cm C.60 cm D.95 cm 第7题图 8.如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC.若∠PBA＝72°，则∠BPC的度数为（　A　） 第8题图 A.108° B.96° C.88° D.72° 解析：如图，连接AC.由作图可得AB＝AP＝PC，AC＝PB.所以△ABP≌△PAC（SSS）.所以∠PAB＝∠APC.所以PC∥l.因为∠PBA＝72°，所以∠BPC＝180°－∠PBA＝108°.故选A. 二、填空题（每小题3分，共12分） 9.新考法开放性试题 如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿着某个方向行驶一段时间后分别到达C，D两地，使得C，D两地到路段AB的距离相等，请添加一个条件：　AE＝BF（答案不唯一）　，使得△ACE≌△BDF.（写出一个即可） 第9题图 10.如图，△ABC≌△ADE，∠B＝70°，∠C＝30°，∠DAC＝20°，则∠EAC的度数为　60°　. 第10题图 11.如图的正方形网格中，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAD＋∠ADC的度数为　90°　. 第11题图 12.真实情境创新学具操作 李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题.操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动.图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图.有以下结论：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；②当∠PAQ＝30°，PQ＝9时，可得到形状唯一确定的△PAQ；③当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；④当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ，其中所有正确结论的序号是　②③④　. 图1 图2 备用图 解析：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，与射线AM有两个交点如图.作出△PAQ，发现两个位置的Q都符合题意，故△PAQ不唯一，①错误； ②当∠PAQ＝30°，PQ＝9时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，与射线AM有一个交点，故△PAQ唯一，②正确； ③当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，与射线AM有一个交点，故△PAQ唯一，③正确； ④当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，与射线AM有一个交点，故△PAQ唯一，④正确. 综上所述，结论正确的是②③④. 三、解答题（共24分） 13.［教材P110素材改编］（8分）【实际问题】在拓展训练过程中，小明和组员为了完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出下面的方案：小明面向河对岸的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸一点；然后，他转过身，保持刚才的姿态，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是河的宽度. 【数学建模】将小明看成一条线段AB，河对岸一点为点C，自己所在岸的那个点为点D，示意图如图所示，请你根据示意图帮助小明同学将问题补充完整，并解释其中的道理. 如图，如果AB⊥CD于点A，　∠ABC＝∠ABD（3分）　，那么AC＝AD. 理由如下：因为AB⊥CD，所以∠BAC＝∠BAD＝90°.因为∠ABC＝∠ABD，AB＝AB，所以△ABC≌△ABD（ASA）.所以AC＝AD.（8分） 【问题解决】说明AC＝AD的理由. 14.数学思想分类讨论 （16分）如图1，AB＝7 cm，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝5 cm，点P在线段AB上以2 cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q由点B沿射线BD方向运动，设运动的时间为t s（当点P运动到点B时，点Q运动结束）. （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由. 解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ.（2分） 理由如下：因为AC⊥AB，BD⊥AB， 所以∠A＝∠B＝90°. 由题意知AP＝BQ＝2×1＝2（cm），所以BP＝AB－AP＝5 cm. 所以BP＝AC. 在△ACP和△BPQ中，AP＝BQ，∠A＝∠B，AC＝BP， 所以△ACP≌△BPQ（SAS）.所以∠C＝∠BPQ.因为∠C＋∠APC＝90°，所以∠APC＋∠BPQ＝90°.所以∠CPQ＝90°.所以PC⊥PQ.（8分） （2）如图2，若将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，若△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值. 图1 图2 解：（2）由题可知AP＝2t cm，BP＝（7－2t）cm，BQ＝xt cm， ∠CAB＝∠DBA.分两种情况：①当AC＝BP，AP＝BQ时，则△ACP≌△BPQ， 此时5＝7－2t，2t＝xt，解得t＝1，x＝2.（12分） ②当AC＝BQ，AP＝BP，则△ACP≌△BQP， 此时5＝xt，2t＝7－2t，解得t＝，x＝. 综上所述，当△ACP与△BPQ全等时，x的值为2或.（16分） 学科网（北京）股份有限公司 $