单元巩固练2 相交线与平行线(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册名师划重点+单元巩固练(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 聚焦相交线与平行线单元核心，以真实情境与跨学科问题为载体，通过分类讨论、辅助线构造等方法，系统构建从概念应用到综合探究的解题体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念应用|选择1-2题|垂线段最短、对顶角识别|从基本概念（相交线）到实际情境应用| |性质判定|选择3-5题、填空10题|平行线性质（角度转化）、判定（内错角等）|性质与判定的双向推理，结合图形变换| |综合探究|填空12题、解答15题|分类讨论、辅助线（作平行线）|动态问题中数量关系分析，从特殊到一般| |跨学科与思想方法|选择8题、解答14题|模型转化（光的反射→平行线）、几何作图|数学与物理融合，体现模型意识与应用能力|

单元巩固练2　相交线与平行线 编者按：紧抓期末高频考点，配合“名师划重点”使用，稳固根基！ 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏.如图，游戏时宾主依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜.若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（　C　） A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2.［广州市］下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是（　D　） A. B. C. D. 3.［兰州中考改编］如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高.芒种日郑州市正午太阳光线与水平面的夹角β约为63°.若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α的度数是（　A　） A.27° B.37° C.43° D.63° 第3题图 4.如图，木条a，b，c通过如图方式钉在一起，∠1＝75°，∠2＝43°，要使木条a与b平行，木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数是（　A　） 第4题图 A.32° B.33° C.43° D.75° 5.将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为（　B　） 第5题图 A.100° B.105° C.115° D.120° 6.真实情境台球运动轨迹 如图是一张台球桌面的示意图，选择适当的角度击打白球，可以使白球经过两次与台球桌边缘碰撞反弹后将黑球直接撞入袋中，开始时白球的滚动路径为AB，第二次反弹后滚动的路径为CD，已知PQ∥SR，若AB∥CD，CD与桌面边缘的夹角∠2＝40°，则∠1的度数为（　B　） 第6题图 A.35° B.40° C.45° D.50° 7.［北京市］如图，在4×4的方格纸上，记∠ABD＝α，∠DEF＝β，∠CGH＝γ，则（　C　） A.α＜β＜γ B.β＜α＜γ C.β＜γ＜α D.α＜γ＜β 第7题图 8.跨学科物理 如图，在“光的反射”科学活动课中，同学将支架平面镜固定放置在水平桌面MN上，镜面AB与桌面MN的角度（∠ABM）可调节，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPC＝30°，激光笔发出的光束DC射到平面镜AB上，EF∥MN，则当反射光束CH与天花板的夹角∠EHC＝80°时（由平面镜的反射定律可知∠ACH＝∠DCB），∠ABM的度数为（　D　） 第8题图 A.20° B.25° C.30° D.35° 解析：如图，过点C作CQ∥MN.因为MN∥EF，所以MN∥EF∥CQ.所以∠PCQ＝∠EPC＝30°，∠BCQ＝∠ABM，∠HCQ＝∠EHC＝80°.所以∠HCP＝∠HCQ－∠PCQ＝80°－30°＝50°.因为∠ACH＝∠DCB，所以∠DCB＝（180°－∠HCP）＝＝65°.所以∠ABM＝∠BCQ＝∠DCB－∠PCQ＝35°.故选D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 9.如果一个角的余角是62°24′，那么这个角的补角度数是　152°24′　. 10.图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角（∠DAB）与高空俯角（∠CDA）相等，即可确保上下层平台互相平行.该方法背后的数学原理是　内错角相等，两直线平行　. 第10题图 11.如图是一张长方形纸片，其中AB∥CD，将纸片沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应.若∠1＝∠2，则∠D′FC的度数为　60°　. 第11题图 12.数学思想分类讨论 已知直线AB∥CD，点P，Q分别在AB，CD上，如图所示，射线PB绕着点P按顺时针方向以每秒3°的速度旋转至PA后便立即逆时针回转，并不断往返旋转；射线QC绕着点Q按顺时针方向以每秒1°的速度旋转至QD停止，此时射线PB也停止转动.若射线QC先旋转20 s，射线PB才开始转动，当射线PB旋转　10或85　s时，PB′∥QC′. 第12题图 解析：设射线PB旋转的时间为t s.因为AB∥CD，所以当∠CQC′＝∠BPB′时，PB′∥QC′，分三种情况：①当0＜t ≤ 60时，∠CQC′ ＝（t ＋ 20）°，∠BPB′＝3t °，所以t＋20＝3t.解得t＝10.②当60＜t≤120时，∠CQC′＝（t＋20）°，∠BPB′＝180°－3（t－60） °＝（360－3t） °，所以t＋20＝360－3t.解得t＝85.③当120＜t ≤160时，∠CQC′＝（t＋20）°，∠BPB′＝3（t－120） °＝（3t－360）°，所以t＋20＝3t－360.解得t＝190（不符合题意，舍去）. 综上所述，当射线PB旋转10 s或85 s时，PB′∥QC′. 三、解答题（共24分） 13.（8分）如图，已知直线AB，以及直线AB外一点P. （1）尺规作图：过点P作直线CD，使得CD∥AB；（保留作图痕迹，不写作法） 如图，直线CD即为所求.（3分） （2）为了寻找画平行线的其他方法，小明同学作了以下折纸的操作： ①如图1，将直线AB翻折，使折痕l1经过点P，折痕l1与直线AB交于点O，射线OA与射线OB互相重合； ②如图2，将①中的折痕l1在点P处翻折，使射线PN与射线PO重合，得到第二条折痕l2. 小明说第二条折痕l2就是（1）中所要求作的直线CD. 请你判断：小明的说法正确吗？请说明理由.   图1  图2 小明的说法正确.（5分） 理由如下：由折纸操作可知∠NPD＝∠NOB＝90°，所以CD∥AB.（8分） 14.［教材P54第9题改编］（8分）如图是小明在一次野外拓展训练活动中的行动路线，从A地出发沿北偏东55°方向到补给地B，从补给地B沿北偏西35°方向到C地与伙伴会合，小明通过指南针确定：从C地出发沿着与BC垂直的方向前进，就可以保持与AB的方向一致，到达目的地D，并且距离最短.小明解释如下，请你填空： 解：因为CD⊥BC（已知）， 所以∠C＝90°（　垂直的定义　），且CD最短（　垂线段最短　）. 因为AE∥BF（已知），所以∠A ＋　∠ABF　＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）. 因为∠A＝55°，所以∠ABF＝180°－∠A＝125°. 因为∠CBF＝35°（已知），所以∠ABC＝∠ABF－∠CBF＝90°. 所以∠C ＝　∠ABC　（　等量代换　）. 所以CD∥　AB　（　内错角相等，两直线平行（每空1分，共8分）　）. 15.（8分）【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题：如图1，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点P为直线AB上方一点，连接PE，PF，探究∠DFP，∠BEP与∠EPF之间的数量关系. 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法：如图2，通过作PQ∥AB，发现∠FPQ＝∠DFP，∠EPQ＝∠BEP，由此可求出∠DFP，∠BEP与∠EPF之间的数量关系. 【解决问题】（1）请你根据勤奋小组的思路，可知∠DFP，∠BEP与∠EPF之间的数量关系为　∠DFP＝∠BEP＋∠EPF（2分）　. 【迁移探究】（2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点P在直线CD的下方，且在点F的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由. 不成立.（3分） 理由如下：如图，作PQ∥AB， 因为PQ∥AB，AB∥CD，所以PQ∥CD. 所以∠BEP＝∠QPE，∠DFP＝∠FPQ. 所以∠BEP＝∠QPE＝∠DFP＋∠EPF，即∠DFP＝∠BEP－∠EPF.所以（1）中的结论不成立.（5分） 【拓展探究】（3）如图4，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点P是直线AB，CD之间一点，∠EPF＝80°，EG平分∠BEP，FH平分∠DFP，EG与FH交于点M，请直接写出∠EMF的度数. ∠EMF的度数为140°.（8分） 解析：如图，过点P作PN∥CD， 因为PN∥CD，AB∥CD，所以PN∥CD∥AB.所以∠PEB＋∠PFD＝180°－∠EPN＋180°－∠NPF＝180°＋180°－（∠EPN＋∠NPF）＝360°－∠EPF＝360°－80°＝280°.因为EG平分∠BEP，FH平分∠DFP，所以∠PEG＋∠PFH＝（∠PEB＋∠PFD）＝140°.在四边形EPFM中，∠EMF＝360°－（∠PEG＋∠PFH＋∠EPF）＝140°. 图1 图2 图3 图4 学科网（北京）股份有限公司 $