7.1.2全概率公式 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1.2 全概率公式 第一课时 情景引入 生活中最重要的问题, 其中绝大多数在实质上只是概率问题. ------拉普拉斯（法国数学家） 1. 条件概率： 在事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率，即 由条件概率公式可得 2. 概率的加法公式： 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率. 下面再看一个求复杂事件概率的问题. 3. 概率的乘法公式： 复习旧知 如果事件B，C互斥，则有 如果 和B互为对立事件，则 >0） 问题1：从有个红球和个蓝球的袋子中，每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 那么第2次摸到红球的概率有多大？ 次摸到红球”？ 追问1：“第2次摸到红球”，这个事分几步完成？ 问题探索 第一步：“第1次摸球”，第二步：“第2次摸到红球”. 设 “第次摸到红球”，“第次摸到蓝球”，“第次摸到红球” “第次摸到红球”与“第次摸到蓝球”这两个事件是什么关系？ ，且 与互斥（即） 问题1：从有个红球和个蓝球的袋子中，每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 那么第2次摸到红球的概率有多大？ 解：设 “第次摸到红球”，“第次摸到蓝球”，“第次摸到红球” 那么事件R2可以表示为R1R2和B1R2两个互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2. 如下图： 利用概率的加法公式和乘法公式，得 尝试发现 P(B2|R1) P(R2|B1) P(R2|R1) P(B2|B1) 韦恩图表示 R1R2 B1R2 问题2：如果按照某种标准,将一个复杂事件B表示为n个(A1,A2,....An)两两互斥事件的并（如图）, 根据概率的加法公式和乘法公式，如何求这个复杂事件B的概率？ A1∪A2∪…∪An=Ω B=ΩB=(A1∪A2∪…∪An)B B=BA1∪BA2∪…∪BAn P(B) = P(BA1)+P(BA2)+…+P(BAn) 加法公式 =P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An) 乘法公式 总结：事件B发生可能有各种原因，如果B由原因Ai(i=1,2...,n)(其中A1,A2,....An 两两互斥，构成一个完备事件)所引起，则事件B发生的概率是BAi(i=1,2,...,n)发生概率的总和.即 ····· ····· 延伸探索 P(B) = P(BA1)+P(BA2)+…+P(BAn) =P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An) 简单来说，就是把“大概率”拆解成“小概率”的加权平均。这里的权重就是各个原因发生的概率P(Ai)。 定义 ①A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件； ②A1∪A2∪…∪An=Ω；　 我们称上面的公式为全概率公式（total probability formula）. 全概率公式使用条件: ③P(Ai)>0，i=1,2，，n. “全”考虑了导致事件  发生的所有可能原因（即样本空间的一个完备划分 ）. 它告诉我们，要计算一个复杂事件的概率，必须全面考察各种情况，不能有遗漏. 概念生成 例4. 某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 分析：第2天去A餐厅用餐取决于第1天去那家餐厅用餐，所以可以根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅用餐”和“第1天去B餐厅用餐”两个互斥事件的并. 例题分析 例4 某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 解：记:第1天去A餐厅用餐:第1天去B餐厅用餐； :第2天去A餐厅用餐. 则Ω=. 由全概率公式,得 例题分析 设事件 写概率 代公式 思考：根据本例是否可以归纳利用全概率公式求复杂事件概率的一般步骤？ 利用全概率公式求复杂事件的概率的一般步骤： 利用全概率公式求复杂事件的概率的一般步骤： 归纳总结 1.设事件：将样本空间拆分成若干个两两互斥的事件，分别命名为；命名结果 事件为事件； 2.写概率：由已知写出每一原因发生的概率(即P(A1)，P(A2)…… P(An ) ),及每一原因对结果的影响程度(即P(B|A1 ) ,P(B| A2)….. P(B|An ))； 3.代公式：代入全概率公式求解结果事件发生的概率(即P(B)). 练习1.某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的40%，优质率为80%，乙品牌的优质率为90%．从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为多少？ 课堂练习 练习2.现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率. 1.某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的40%，优质率为80%，乙品牌的优质率为90%．小明从该店中随机买一部手机，则“买到的手机是优质品”的概率为多少？ 解：设事件：A1：买到甲品牌手机.A2：买到乙品牌手机.B：买到优质品. 则 P(A1)=0.4，P(A2)=0.6，P(B∣A1)=0.8，P(B∣A2)=0.9. 所以小明买到的手机是优质品的概率是0.86. 根据全概率公式,得 课堂练习 P(B)=P(A1)P(B∣A1)+P(A2)P(B∣A2) =0.40.8+0.60.9 =0.86 设事件 写概率 代公式 2.现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率. 解： 课堂练习 设事件 写概率 代公式 一、基础达标（必做） 1. 教材P52习题7.1第4题 2. 学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛， 他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.3、0.2、0.5，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.5、0.4、0.6，则该生获得冠军的概率为多少？ 作业布置 二、能力提升（选做） 3. 2024年末 DeepSeeKR1一经发布就火爆全球，在对DeepSeeK进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，DeepSeeK的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，DeepSeeK的回答被采纳的概率为50%.现已知输入的问题中出现语法错误的概率为5%.求DeepSeeK的回答被采纳的概率. 4. 查阅资料，了解“蒙提霍尔问题”（三门问题），尝试用全概率的知识解释为什么换门会增加获奖概率，并写下你的分析过程（100 字左右）。 作业布置 Lavf58.20.100 $