试卷5 河南省郑州市高新区2024-2025学年八年级下学期期末学情调研试题卷(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 立足核心素养，融合河南文旅、樱桃采摘等生活与文化情境，梯度设计考查数学抽象、推理及应用能力，涵盖图形变换、函数、实际问题解决等关键知识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、分式意义、新定义“和平数”|以河南文旅标识考中心对称，结合弹簧测力计考不等式实际意义| |填空题|5/15|正五边形角度、三角形中点、平行四边形最值|纸条打结生成正五边形，考查几何直观与空间观念| |解答题|7/75|分式化简、图形变换、樱桃运费最优、超市优惠方案|设计多方案构造平行四边形，探究动态折叠中线段长度，培养推理与创新意识|

试卷5　高新区 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1.下面四幅图是“河南文旅品牌”标识设计图案，其中是中心对称图形的是（　C　） A　　B　　C　　D 2.某弹簧测力计的测量范围是0至50 N，小明未注意弹簧测力计的测量范围，用弹簧测力计测量一个物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状，由此可判断这个物体所受的重力x（N）范围是（　C　） A.x＜50　　B.x≤50　　C.x＞50　　D.x≥50 3.下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（　A　） A.　　B.　　C.　　D. 4.如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝13，∠B＝60°，将△ABC沿着BC的方向平移得到△A′B′C′，连接A′C.若BB′＝4，则△A′B′C的周长为（　C　） A.12 B.26 C.27 D.31 5.已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是（　B　） A　B　C　D 6.小刚从家到学校骑车需要走1 km的上坡路、2 km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h，则小刚从家到学校需要的时间t（h）可以表示为（　B　） A.　　B.　　C.　　D. 7.数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰.给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　D　） A.甲：M＋N　　B.乙：M－N　　 C.丙：N＋P　　D.丁：N－P 8.下列说法，正确的是（　A　） A.两个等腰三角形的顶角和底边分别相等，那么这两个三角形全等 B.两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 C.用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”，先假设底角等于90° D.三角形三条角平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等 9.若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“和平数”，例如，因为2＝12＋12，所以2是“和平数”.已知S＝x2＋2x＋k（x是任意整数，k是常数），若S为“和平数”，则下列k值中不符合要求的是（　C　） A.5　　B.10　　C.15　　D.17 10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，∠ BAC的平分线交CD于点E，EF∥BC交AB于点F，连接EF.下列结论：①∠ACD＝∠B；②AF＝AC；③CF平分∠BCD；④点E是CD的中点.其中所有正确结论的序号是（　C　） 第10题图 A.①③　　B.②④　　C.①②③　　D.②③④ 解析：∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAB＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.①正确；∵EF∥BC，∴∠AFE＝∠B.∴∠ACD＝∠AFE.∵∠BAC的平分线交CD于点E，∴∠CAE＝∠FAE.∵ AE＝AE，∴△AEC≌△AEF（AAS）.∴AF＝AC.②正确；∵EF∥BC，∴∠EFC＝∠BCF.∵△AEC≌△AEF，∴EF＝EC.∴∠EFC＝∠ECF.∴∠BCF＝∠ECF， 即CF平分∠BCD.③正确；∵CE＝EF，EF＞DE，∴CE＞DE，∴点E不是CD的中点，④错误.综上所述，正确结论的序号是①②③.故选C. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.“若a＝2，则｜a｜＝2”的逆命题是　假　命题.（填“真”或“假”） 12.写出一个x的值，使3－2x＞x，则这个x的值可以是　0（答案不唯一）　. 13.用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE.在图2中，∠ACD的度数为　72°　. 图1　图2 第13题图　 14.如图，△ABC的周长为12，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M.若BC＝5，则MN的长度为　1　. 第14题图　 15.如图，在△ABC中，AC＝2 ，∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，则AB的长为　3＋　.若P为直线AB上一动点，以CP，CB为邻边构造平行四边形CPQB，则对角线CQ的最小值为　2 　. 第15题图 解析：如图，过点C作CH⊥AB于点H，连接CQ交AB于点O. ∵∠CHA＝∠CHB＝90°，∠CAB＝30°，AC＝2 ，∴CH＝AC＝. ∴AH＝＝＝3. ∵∠ABC＝45°，∴∠HCB＝∠HBC＝45°. ∴HB＝CH＝.∴AB＝AH＋HB＝3＋. 若四边形CPQB是平行四边形，则CQ＝2CO. 当CO与CH重合时，由垂线段最短，可知CO的长最小，为，此时CQ的最小值为2 . 三、解答题（本大题共7个小题，共75分） 16.（9分）先化简（a＋1－）÷，再从－2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值. 解：原式＝（－）÷（2分） ＝÷ ＝•（4分） ＝.（6分） ∵a≠1，a≠－2，∴a可取0和2.（7分） 当a＝0时，原式＝－1.（9分） （或当a＝2时，原式＝0.（9分）） 17.（10分）在平面直角坐标系中，△ABC位置如图所示： （1）点A关于y轴对称的点的坐标为　（2，1）　，点B关于原点的对称点的坐标为　（3，2）（4分）　； （2）若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得△A1B1C1，其中点A，B，C分别和点A1，B1，C1对应，则点C1的坐标为　（5，－5）　；若△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，其中点A，B，C分别和点A2，B2，C2对应，则点C2的坐标为　（2，1）（8分）　； （3）在x轴上找一点P，使得点P到B，C两点的距离相等，则点P的坐标为　（－1，0）（10分）　. 18.（8分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，请用尺规作图法，在边BC上求作一点D，使AC＋BC＝2BD（保留作图痕迹，不写作法）. 解：如图，点D即为所求.（8分） 19.（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现在，小智、小慧两个同学给出了两种不同的方案如下： 小智的方案：分别取AO，CO的中点E，F； 小慧的方案：作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F； 小智的方案　　小慧的方案　　你的方案 （1）请你在两个方案中任选一个证明四边形BEDF为平行四边形； 解：（1）选择小智的方案. 证明：如图，连接BD. ∵在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点， ∴AO＝CO，BO＝DO.（3分） ∵E，F分别为AO，CO的中点， ∴EO＝FO. ∴四边形BEDF为平行四边形.（6分） （或选择小慧的方案. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥CB. ∴∠EAD＝∠FCB. ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠BEF＝∠AFD＝90°. ∴BE∥DF.（3分） 在△ADF和△CBE中，∠AFD＝∠CEB，∠DAF＝∠BCE，AD＝BC，∴△ADF≌△CBE（AAS）. ∴BE＝DF. ∵BE∥DF，∴四边形BEDF为平行四边形.（6分）） （2）请你给出一种和他们不同的方案，用文字表达你的方案，并在图中标记字母（不必证明）. 解：（2）我的方案：如图，在AC上取AE＝CF.（答案不唯一） （10分） 20.（12分）阅读以下素材，完成相关任务. 素材1 某果园有布鲁克斯和明5－5两种樱桃供游客采摘，采摘布鲁克斯比明5－5每千克少3元，小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5－5的1.25倍. 素材2 该果园提供运送服务，从果园寄送到A市按重量收费，当樱桃重量不超过6千克时，需要运费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克. （1）任务1：求在该果园采摘明5－5的单价； 解：（1）设采摘明5－5的单价是x元/千克，则采摘布鲁克斯的单价是（x－3）元/千克.（1分） 由题意，得＝×1.25.解得x＝15.（4分） 经检验，x＝15是所列方程的根，且符合题意. 答：在该果园采摘明5－5的单价是15元/千克.（5分） （2）任务2：若寄送8千克樱桃运费为42元，求出m的值； 解：（2）由题意，得30＋（8－6）m＝42.解得m＝6. 答：m的值为6.（8分） （3）任务3：若使用该果园运送服务，小智将15千克采摘的樱桃寄送给A市的朋友，则运费最少需　78（12分）　元（可一次寄送也可分多次寄送）. 解析：分一次寄送所需运费为30＋6×（15－6）＝84（元）；分两次寄送（且两次均不低于6千克）所需运费为30×2＋6×（15－6－6）＝78（元）；分三次寄送（且每次均不超过6千克）所需运费为30×3＝90（元）.∵78＜84＜90，∴运费最少需78元. 21.（13分）A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如表： A超市 B超市 优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元 （1）当购物金额为90元时，选择　A　超市更省钱；当购物金额为120元时，选择　B（2分）　超市更省钱；（均填“A”或“B”） （2）当购物金额为x（0≤x＜200）元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ 当0≤x＜200时，在A超市购物实付金额yA＝0.75x； 当0≤x＜200时，在B超市购物实付金额 yB＝（4分） 当x＝0时，yA＝yB＝0； 当0＜x＜100时，yA＜yB； 当100≤x＜200时， 若yA＜yB，则0.75x＜x－40.解得x＞160； 若yA＝yB，则0.75x＝x－40.解得x＝160； 若yA＞yB，则0.75x＞x－40.解得x＜160.（6分） 综上所述，当0＜x＜100或160＜x＜200时，在A超市购物更省钱；当x＝0或x＝160时，在A超市购物和B超市购物实付金额一样多，任选一家即可；当100≤x＜160时，在B超市购物更省钱.（8分） （3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为25％（注：优惠率＝×100％）.若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明. 在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大.（10分） 举例说明如下：当在B超市购物金额为100元时，返40元，实付金额为100－40＝60（元），优惠率为×100％＝40％；当在B超市购物金额为160元时，返40元，实付金额为160－40＝120（元），优惠率为×100％＝25％，∴在B超市购物金额越大，享受的优惠率不一定越大.（13分） 22.（13分）在复习图形的变化时，同学们准备了两张全等的直角三角形纸片，并且把它们的一条直角边重合在一起（如图1），已知∠BAC＝∠ACD＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2. 图1　 （1）【初步探究】如图2，把△ABC沿直线BA平移，当点B与点A重合时，点C与点D重合，点A的对应点为点A′，连接CA′，则CA′＝　4（3分）　； 图2 解析：如图，连接CA′.∵∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2，∴BC＝2AB＝4.由平移的性质可知，AB＝A′A，∠A′AC＝180°－∠BAC＝90°.∵AC＝AC，∴△BAC≌△A′AC（SAS）.∴CA′＝BC＝4. （2）【深入探究】如图3，把△ABC绕点A顺时针旋转，当点C的对应点C′恰好落在边AD上时，点B的对应点为点B′，B′C′与边AC交于点E，求图中四边形CEC′D的面积； 图3 由旋转的性质可知，AB′＝AB＝2，∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∠B′C′A＝∠BCA＝30°. ∴∠B′＝60°，B′C′＝2AB′＝4. 在Rt△AB′C′中，由勾股定理，得 AC′＝＝＝2 .（5分） ∵∠CAD＝30°，∴∠B′AE＝∠B′AC′－∠CAD＝60°，∠AEB′＝∠B′C′A＋∠CAD＝60°. ∴△AB′E是等边三角形. ∴AE＝AB′＝2.（8分） 如图，过点E作EF⊥AD于点F，则EF＝AE＝1. ∴S△AEC′＝AC′•EF＝×2 ×1＝. ∵S△ACD＝CD•AC＝×2×2 ＝2 . ∴S四边形CEC′D＝S△ACD－S△AEC′＝2 －＝.（10分） （3）【拓展延伸】如图4，若点M是射线BC上的动点，将△BMA沿着直线AM对折，点B的对应点为B′，当MB′与四边形ABCD的一条边垂直时，直接写出BM的长. 图4 BM的长为4－2 或1＋.（13分） 解析：由（2）知∠B＝60°，∵∠BAC＝∠DCA＝90°，∠ACB＝∠CAD＝30°，∴BC∥AD，AB∥CD.当MB′与四边形ABCD的一条边垂直时，分两种情况：①当MB′⊥AB，此时MB′⊥CD，如图①.由折叠的性质可知，∠GB′A＝∠B＝60°，AB′＝AB＝2，∴∠GAB′＝30°，∴B′G＝AB′＝1.在Rt△AB′G中，由勾股定理，得AG＝＝＝.∴BG＝AB－AG＝2－.∵∠B＝60°，∠MGB＝90°，∴∠BMG＝30°，∴BM＝2BG＝4－2 . 图①　 ②当MB′⊥BC，此时MB′⊥AD，如图②.由折叠的性质可知，∠BMA＝∠AMB′＝45°.∵∠B＝60°，∴∠BAM＝180°－∠B－∠BMA＝75°.过点A作AH⊥BC于点H，∴∠HAM＝45°，∠BAH＝30°，∴AH＝HM，BH＝AB＝1.在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH＝＝.∴HM＝.∴BM＝BH＋HM＝1＋.综上所述，BM的长为4－2 或1＋. 图② 学科网（北京）股份有限公司 $