试卷4 河南省郑州市郑东新区2024-2025学年八年级下学期期末学情调研试题卷(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 郑东新区初中数学期末试卷，以花钿文化、文房四宝购买等真实情境为载体，覆盖几何与代数核心知识，注重抽象能力、推理意识及模型意识的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、因式分解、不等式性质等|花钿图样考查中心对称，反证法强化逻辑推理| |填空题|5/15|因式分解、平行四边形面积、图形剪拼等|平行四边形面积计算结合几何直观，旋转问题体现空间观念| |解答题|8/75|分式化简、尺规作图、函数综合、探究性问题等|文房四宝购买问题培养模型意识，旋转重叠面积探究发展创新思维|

试卷4　郑东新区 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.花钿是中国古代女子脸上的一种花饰，常贴在眉心，通常蕴含着丰富的文化寓意，体现了古人对美好、秩序和规律的追求.下列花钿图样中，是中心对称图形的是　　（　B　） A.　　B.　　C.　　D. 2.下列各式因式分解正确的是（　D　） A.x2－xy＝x2（1－）　　　　B.x2＋x－4＝（x＋2）（x－2）＋x C.4x2y＝2x•2xy　　　　D.x2－2x＋1＝（x－1）2 3.每个外角都是72°的正多边形是（　C　） A.正三角形　　B.正方形　　C.正五边形　　D.正六边形 4.若a＞b，下列说法一定正确的是（　A　） A.－2a＜－2b　　B.a－1＞b＋1 　　C.a－c＜b－c　　D.ac2＞bc2 5.用反证法证明“三角形中最小的角不超过60°”时，应假设最小的角∠A需满足（　D　） A.∠A≤60°　　B.∠A＜60°　　 C.∠A≥60°　　D.∠A＞60° 6.对于分式的判断，下列说法正确的是（　C　） A.分式有意义的条件是：m≠3　　　　 B.分式值为0的条件是：m＝－3或m＝4 C.分式化为最简，得：　　　　 D.当m＞3时，分式的值为正数 7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E.AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，连接AM，AN，则下列说法不正确的有（　C　） 第7题图　　　　 A.△AMN为等边三角形　　　　B.EM＝FN C.△AMN的周长为6　　　　D.△AMN的面积为3  8.分式方程＝－2的解是（　A　） A.x＝0　　B.x＝2　　C.x＝6　　D.无解 9.如图，在平面直角坐标系中，点A（1，），点C（2，0），将平行四边形OABC绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形OA1B1C1，将平行四边形OA1B1C1绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形OA2B2C2……按此规律旋转下去，B2 025的坐标为（　B　） 第9题图　　　　 A.（－，3）　　B.（，－3）　　 C.（－3，－）　　D.（3，） 解析：∵点A（1，），点C（2，0），四边形OABC是平行四边形，∴B的坐标为（3， ）.∵平行四边形OABC绕点O顺时针旋转90°，∴第1次旋转后B1（，－3）；第2次旋转后B2（－3，－）；第3次旋转后B3（－，3）；第4次旋转后B4（3，），……，∴点B的坐标旋转4次为一个循环.∵2 025÷4＝506……1，∴B2 025的坐标和B1一致，即（，－3）.故选B. 10.如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点M，N分别为边AC，BC上的动点，且AM＝CN，则线段MN长度的值不可能为（　D　） 第10题图 A.2　　B.　　C.　　D.1 解析：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，且AM＝CN，设AM＝CN＝x（0≤x≤2），则CM＝2－x.在△MCN中，由勾股定理，得MN2＝CM2＋CN2＝（2－x）2＋x2＝2x2－4x＋4＝2（x－1）2＋2.当x＝1时，MN2最小，最小为2，即MN的最小值为.当x＝0或x＝2时，MN2＝4，即MN的最大值为2.∴MN的取值范围是≤MN≤2.∴线段MN长度的值不可能为1.故选D. 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11.因式分解：ax2－9a＝　a（x＋3）（x－3）　. 12.如图是一个不等式的解集在数轴上的表示，试写出一个符合要求的不等式　2x≥－2（答案不唯一） 　. 第12题图　　 13.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AC＝8，BD＝10，则平行四边形ABCD的面积为　24　. 第13题图 14.图1是有一个内角为60°的平行四边形透明纸片，MN＝4，MQ＝6，沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放成一个新图形，则线段ST的值是　1　. 图1　　图2 第14题图　　　　 15.如图，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，BC＝2 ，DE＝1，点F为CD的中点，将三角形ADE绕点A按顺时针方向旋转一周，则在旋转过程中，点F　不会　（填“会”或“不会”）落在直线AB上，点F到直线AB的距离的最大值是 　　. 第15题图 解析：在Rt△ACB中，∵∠BAC＝30°，BC＝2 ，∴AB＝2BC＝4 .∴由勾股定理，得AC＝＝6.在Rt△AED中，∵∠DAE＝30°，DE＝1，∴AD＝2DE＝2.∴由勾股定理，得AE＝＝.如图，取AC的中点O，连接FO，BO. ∵点F是CD的中点，点O是AC的中点，∴FO∥AD，FO＝AD＝1，OA＝AC＝3.∴点F在以点O为圆心，半径为1的圆上运动.如图，过点O作△AOB的高ON，反向延长ON交圆于点F′.∵S△AOB＝OA•BC＝AB•ON，∴ON＝＝＝.∵FO＝1＜＝ON，∴点F不会落在直线AB上.由图易知，点F到直线AB的最大距离为F′N.∴F′N＝F′O＋ON＝1＋＝. 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16.（9分）（1）化简：÷（a－2＋）；　　　　 解：（1）原式＝÷（2分） ＝•＝.（4分） （2）解不等式组： 解：（2） 解不等式①，得x＞－1. 解不等式②，得x＜2.（3分） 在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示. ∴ 原不等式组的解集为－1＜x＜2.（5分） 17.（9分）已知：如图，△ABC. 求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD是平行四边形. 作法：①作线段AC的垂直平分线，交AC于点O； ②作射线BO，并在线段BO的延长线上截取OD，使OD＝OB； ③连接AD，CD. （1）根据小颖的上述尺规作图步骤，使用圆规和无刻度的直尺，在图1中补全图形（保留作图痕迹）； 解：（1）补全图形如图所示.（3分） 图1　 （2）请尝试用其他方法，使用圆规和无刻度的直尺，画出平行四边形ABCD，并说明理由（保留作图痕迹，不写作法）. 图2 解：（2）如图，平行四边形ABCD即为所求.（作法不唯一）（6分） 理由如下：由作图，可得∠DAC＝∠ACB，∠ACD＝∠BAC.∴ AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形.（9分） 18.（9分）借助拼图，通过部分、整体两种方法分别计算同一图形的面积，可以更直观地判断和理解因式分解.如图1，有①②③三种不同型号的卡片若干张，开展探究活动. 图1　　 （1）若利用图1中的一张①和两张③卡片，拼成图2中的长方形，借助图形的面积，可以将多项式a2＋2ab进行因式分解：a2＋2ab＝　a（a＋2b）（3分）　； 图2　　 （2）若利用图1中的两张①，一张②和三张③卡片，拼成图3中的大长方形，借助图形的面积，可以将多项式2a2＋3ab＋b2进行因式分解：2a2＋3ab＋b2＝　（2a＋b）（a＋b）（6分）　； 图3 （3）请利用图1中的卡片，设计拼图，借助图形面积，将多项式3a2＋7ab＋2b2进行因式分解：3a2＋7ab＋2b2＝　（3a＋b）（a＋2b）（9分）　. 19.（9分）已知：如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，BD和CE相交于点O，AO平分∠BAC. （1）求证：AB＝AC； 证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，AO平分∠BAC，∴OE＝OD，∠AEO＝∠ADO＝90°，∠EAO＝∠DAO.∵AO＝AO， ∴Rt△AEO≌Rt△ADO（AAS）.（2分） ∴AE＝AD.∵∠AEC＝∠ADB＝90°，∠EAC＝∠DAB，AE＝AD，∴△AEC≌△ADB（ASA）. ∴AB＝AC.（4分） （2）求证：AO垂直平分线段BC. 证明：（2）由（1）知，AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形.∵AO平分∠BAC，∴AO为∠BAC的平分线.根据等腰三角形的“三线合一”定理.（8分） ∴AO垂直平分线段BC.（9分） 20.（9分） 数学活动：购买“文房四宝” 问题 背景 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期.某中学开设了书法社团，计划为学生购买“文房四宝”. 素材1 社团需要： 为方便成员开展社团活动，需要购买A，B两种型号的“文房四宝”，共计40套. 素材2 商品信息： ①A型号“文房四宝”的单价比B型号“文房四宝”的单价高30元； ②用3 500元购进A型号的数量与用2 800元购进B型号的数量相同. 素材3 学生意愿： 通过调查，了解到社团成员喜欢A型号的人较多，计划购进A型号的数量不少于B型号数量的2倍. 问题解决 任务1 确定 单价 （1）求各型号的“文房四宝”的单价. 解：（1）设B型号单价为x元，则A型号单价为（x＋30）元. 由题意，得＝.解这个方程，得x＝120.（3分） 经检验，x＝120是所列方程的根. ∴x＋30＝120＋30＝150. 答：A型号单价为150元，B型号单价为120元.（4分） 问题解决 任务2 确定最优方案 （2）请你帮忙设计最省钱的购买方案，并计算出最低花费. 解：（2）设购买B型号m套，则A型号（40－m）套. 由题意，得40－m≥2m.解得m≤.（6分） 设所需总费用为w，则w＝150（40－m）＋120m＝－30m＋6 000. ∵－30＜0，∴w随m的增大而减小. ∵m是正整数，∴当m＝13时，40－m＝27，w的值最小，w最小＝－30×13＋6 000＝5 610. 答：购买A型号27套，B型号13套，花费最低，最低是5 610元.（9分） 21.（9分）如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上，建立平面直角坐标系，顶点A的坐标为A（－1，6），点M的坐标是（1，4）. （1）将△ABC竖直向下平移4个单位长度，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，请画出△A1B1C1，平移过程中△ABC扫过的面积为　16（3分）　； 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.（2分） （2）将△ABC绕点M逆时针旋转90°，点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2，请画出△A2B2C2，点A2的坐标为　（－1，2）（6分）　； 解：（2）如图，△A2B2C2即为所求.（5分） （3）直线AB与直线A2B2的夹角为　90（7分）　°，请说明理由. 理由如下：∵△ABC绕点M逆时针旋转90°，A2B2是AB的对应边，∴直线AB与直线A2B2的夹角为90°.（9分） 22.（9分）下面内容摘自小明的学习日记： 　　我发现，函数、方程、不等式三者彼此关联，方程或不等式的问题可以转化为函数的问题来解决…… 图1 图2 （1）如图1，一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点B（－2，－3），与x轴交与点A（4，0）.结合图象，回答以下问题： ①关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解为　x＝4　，一元一次不等式kx＋b≥－3的解集为　x≥－2（2分）　； ②若一次函数y1＝k1x＋b1（k1，b1为常数，且k1≠0）与一次函数y＝kx＋b的图象相交于点C（2，－1），则一元一次不等式k1x＋b1＞kx＋b的解集为　x＜2（4分）　； （2）如图2，函数y＝｜x－2｜＋｜x＋1｜的图象经过格点M（－1，3），N（2，3），结合图象，回答下列问题： ①不等式｜x－2｜＋｜x＋1｜＞5的解集为　x＜－2或 x＞3（6分）　； ②若关于x的方程｜x－2｜＋｜x＋1｜＝kx（k＞0）有两个不同的解，则k的取值范围为　 1.5＜k＜2（9分）　. 解析：当x≥0时，函数y＝｜x－2｜＋｜x＋1｜＝结合图象可知，当k≥2时，方程｜x－2｜＋｜x＋1｜＝kx只有一个解；当y＝kx过点N（2，3）时，代入解析式，得3＝2k.解得k＝1.5.此时方程｜x－2｜＋｜x＋1｜＝kx只有一个解；当k＜1.5时，方程｜x－2｜＋｜x＋1｜＝kx无解.综上可知，当1.5＜k＜2时，方程｜x－2｜＋｜x＋1｜＝kx有两个不同的解. 23.（12分）【提出问题】点O是正多边形的中心，它到正多边形各顶点的距离都相等.如图1，四边形EFGH是一个足够大的纸板，∠E＝∠G＝90°，∠F＝60°，∠H＝120°.将四边形纸板EFGH的某一个顶点放置在正多边形的中心O处，并将纸板绕点O逆时针旋转α，探究运动过程中重叠部分的面积S的变化情况.（已知正多边形的边长为3） 图1 【活动一　操作发现】（1）如图2，点O为正方形的中心，将纸板90°角的顶点E放置在点O处，并绕点O旋转.当OF经过点B时，重叠部分的面积S＝　　；当OF⊥BC时，重叠部分的面积S＝　（2分）　. 图2　 【活动二　类比探究】点O是等边三角形ABC的中心，将纸板60°角的顶点F放置在点O处，边OG经过点B，将纸板绕点O逆时针旋转α（0°≤α≤120°），探究过程中四边形EFGH和等边三角形ABC重叠部分的面积S的变化情况. 特殊情况切入：（2）①如图3，当α＝0°时，重叠部分的面积S为　（3分）　； 图3　 ②如图4，当α＝90°时，求重叠部分的面积S. 图4 多次举例验证：（3）自行选取几组α的值进行探究，并将结果呈现在表格中； 旋转角α …… 30° 60° 120° … 重叠部分的面积S …… … 描述变化规律： ②如图，过点O作OD垂直BC于点D. ∵△ABC是边长为3的等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝3. ∵O是等边△ABC的中心， ∴OB＝OC＝OA.∵OA＝OA， ∴△ACO≌△ABO≌△CBO（SSS）. ∴S△BCO＝S△ABC，OA，OB，OC为△ABC的角平分线， ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°.（4分） 在Rt△ABD中，AB＝3，∠BAD＝∠BAC＝30°，∴BD＝AB＝.∴由勾股定理，得AD＝＝. ∴S△ABC＝BC•AD＝.∴S△BCO＝S△ABC＝×＝. ∵S△BOC＝BC•OD＝，∴OD＝. ∴OA＝AD－OD＝.∴OB＝. 在Rt△BOM中，∠OBM＝∠ABC＝30°，∴BM＝2OM. ∴由勾股定理，得BM2＝OM2＋OB2.∴OM＝1. ∴S△BOM＝OB•OM＝.（5分） ∴S△OMC＝S△BCO－S△BOM＝－＝. 当α＝90°时，∠MOC＝∠BOC－∠BOM＝∠BOC－α＝120°－90°＝30°，∠NOC＝60°－∠MOC＝30°，∴∠MOC＝∠NOC.∵OC＝OC，∠MCO＝∠NCO＝∠ACB，∴△OMC≌△ONC（ASA）.∴S△ONC＝S△OMC，即重叠部分的面积为2S△OMC＝.（6分） （4）点O是等边三角形ABC的中心，将纸板60°角的顶点F放置在点O处时，重叠部分面积的变化情况为　当°≤α≤120°时，重叠部分的面积随着旋转角的增大，先减小，后增大，再减小.（10分）　. 【活动三　联系拓广】要像“活动一”那样，运动中重叠部分的面积保持不变，“活动二”应该怎样调整？ 备用图 将纸板的60°角改为与等边三角形中心角（120°）匹配的角度（或让纸板的角度等于正多边形的中心角），即可使重叠部分的面积保持不变. （12分） 学科网（北京）股份有限公司 $