精品解析：河南省郑州市郑东新区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年下学期学情调研 学科：数学 年级：八年级 时间：100分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日在巴黎开幕，此次奥运会体育项目图标充满了图形变换的元素．下列分别是射箭、篮球、赛艇、冲浪项目的图标，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、原图是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意； B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、原图不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的识别．将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：是乘法运算，则选项A不符合题意； 是单项式，则选项B不符合题意； 符合因式分解的定义，则选项C符合题意； ，原式中左右两边不相等，则选项D不符合题意； 故选：C． 3. 下列分式中，是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查最简分式的定义，熟练掌握最简分式是解题的关键．根据最简分式的定义即可得到答案． 【详解】不可以继续化简，故选项A为最简分式，符合题意； ，故选项B不是最简分式，不符合题意； ，故选项C不是最简分式，不符合题意； ，故选项D不是最简分式，不符合题意； 故选A． 4. 若，则下列不等式中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：， 时，，时，， 选项A不符合题意； ， ， ， 选项B符合题意； ， 时，，时，， 选项C不符合题意； ， 时，，时，， 选项D不符合题意． 故选：B． 5. 在用反证法证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．若用反证法证明“若，，则”，则应假设（　　） A. ， B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反证法．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，的反面是． 【详解】解：用反证法证明“若，，则”， 应假设， 故选：D． 6. 下列正多边形的组合中，不能镶嵌的是（ ） A. 正方形和正三角形 B. 正方形和正八边形 C. 正三角形和正十二边形 D. 正方形和正六边形 【答案】D 【解析】 【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满． 【详解】解：A、正方形和正三角形内角分别为、，，故能镶嵌，不符合题意； B、正方形和正八边形内角分别为、，，故能镶嵌，不符合题意； C、正三角形和正十二边形内角分别为、，，故能镶嵌，不符合题意； D、正方形和正六边形内角分别为，，不能构成的周角，故不能镶嵌，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 7. 如图，已知函数与的图象相交于点，两图象与轴分别交于和，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式（组的关系及数形结合思想的应用．根据函数与的图象相交于点，两图象与轴分别交于和，即可得到结论． 【详解】解：函数与的图象相交于点，两图象与轴分别交于和， 关于的不等式的解集为， 故选：B． 8. 如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（　　）个． A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积是解题的关键．利用面积公式找到其中一个，做平行线即可得到所有满足的点． 【详解】解：根据题意画出， 满足条件的格点6个， 故选D． 9. 若分式方程有增根，则的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式的增根，熟练掌握增根是解题的关键．根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：，即， 两边同时乘以，得：， 化简得， 由分式方程可知，分式方程的增根为， 故， ． 故选C． 10. 风力发电是一种将风能转化为电能的可再生能源技术．常见的风力发电机是由三片两两夹角的叶片底端相连组成（如图1）．以扇叶重合处为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2），若某型号风力发电机的叶片每秒钟绕点O逆时针转动，点A初始位置横坐标为，与y轴正半轴夹角为，则第2024秒时，点A的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质以及勾股定理、点的坐标变化规律及坐标与图形变化旋转．根据所给旋转方式，得出每旋转六次，点的坐标循环出现，再结合直角三角形的性质以及勾股定理即可解决问题． 【详解】解：因为， 所以每旋转六次，点的坐标循环出现． 因为余2， 所以第2024秒和第2秒点的位置相同． 因为三片叶片的两两夹角为， 所以第2秒时点的位置如图所示， 过点作轴的垂线，垂足为， 因为与轴正半轴夹角为， 所以与轴负半轴夹角为， 所以点和点关于轴对称． 因为点横坐标为， 所以点的横坐标为， 所以． 在中， ∴，， 所以点的坐标为， 则第2024秒时，点的坐标为． 故选：B． 二、填空题（共5 小题，每小题3分，共 15分） 11. 若分式有意义，请写出一个满足要求的x的值___． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：要使分式有意义， 即， 则． 故时分式有意义． 故答案为：0（答案不唯一）． 12. 多项式x2+1添加一个单项式后可变为完全平方式,则添加的单项式可以是______.(任写一个符合条件的即可) 【答案】x4(或2x或-2x) 【解析】 【分析】根据a2±2ab+b2=（a±b）2，判断出添加的单项式可以是哪个即可． 【详解】∵x2+1+2x=（x+1）2， ∴添加的单项式可以是2x． 故答案为2x． (或x4或-2x) 【点睛】此题主要考查了完全平方式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：a2±2ab+b2=（a±b）2 13. “等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是___________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查逆命题，将原命题的题设和结论互换，写出逆命题即可． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形； 故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 14. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D落在线段上，与交于点F．若，，则___． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质解题即可． 【详解】解：依题意得：， ， ， 故答案为：． 15. 如图，四边形是平行四边形，点E、点F分别是线段上的动点，将四边形沿折叠，使点D的对应点落在对角线的三等分点处（把一条线段平均分成三等份的两个点，都叫线段的三等分点），连接．若，，，则的面积为___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作交的延长线于点，利用直角三角形的性质以及勾股定理求得，，由折叠的性质知，点E在线段的垂直平分线上，再分两种情况讨论，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：作交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴在中，， ，， 在中，， ∴，， 由折叠的性质知，点E在线段的垂直平分线上，设垂足为点， 如图，当点落在对角线的三等分点处（点靠近点）， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∴的面积为； 如图，当点落在对角线的三等分点处（点靠近点）， 同理， ∴，， 由勾股定理求得， ∴面积为； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8 小题，共75 分） 16. （1）因式分解：； （2）先化简：，再从，，0，1，2中选取一个你认为合适的数代入求值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查利用平方差公式因式分解以及化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）根据运算法则进行化简，再代数求值． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式 ． 由分式的定义可知，，即， 将代入， 原式 ． 17. 以下为小颖在解不等式组时草稿纸上演草的过程： 解不等式②，…………………………第一步 …………………………第二步 …………………………第三步 ………………………第四步 （1）小颖发现不等式②解的不对，请指出是第　　　步开始出现错误； （2）请你完成本题的解答： 解：解不等式①，得　　　， 解不等式②，得　　　， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示： 所以原不等式组的解集为　　　． 【答案】（1）一 （2），，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，熟练掌握运算规则是解题的关键． （1）根据运算法则进行解答即可； （2）根据运算法则计算得出解集画图即可． 【小问1详解】 解：第一步， 等式两边同时乘以，故为； 【小问2详解】 解：解不等式①，得， 解不等式②， ， 故该不等式解集为：， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示： 故该不等式解集为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格线的格点上，仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图． （1）关于点A成中心对称的图形为，画出并写出，的坐标； （2）将先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，画出平移后的图形； （3）连接，，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析，，； （2）见解析 （3）15． 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根平移的性质作图即可． （3）利用割补法计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 由图可得，，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：四边形面积为 ． 19. 如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O， （1）尺规作图，作的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在第（1）问的基础上，若直线交于点E，交于点F，试判断四边形是不是平行四边形，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图以及平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的定义画图即可； （2）根据平行四边形的性质与判定进行证明． 【小问1详解】 解：如图，即为所求 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形 四边形是平行四边形， 的垂直平分线， ， 在和中， ， 故四边形是平行四边形． 20. 在等腰三角形中，，，平分，于点，过点作交于点． （1）求的度数； （2）若是的中点，连接，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的性质可得，进而解答即可． （2）由角平分线的定义及平行线的性质可得，即可证明，再利用直角三角形的性质可证明，即可得是的中位线，进而可证明结论． 【小问1详解】 解：平分， ， ∵， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ∵， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 是的中点， 是的中位线， ． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的中位线等知识的综合运用． 21. 为迎接校园艺术节的到来，学校啦啦操社团欲购买A，B两种不同类型的花球，已知1个A型花球比1个B型花球贵3元，用180元购进A型花球的数量与用120元购进B型花球的数量相同． （1）求A、B两种类型花球的单价各是多少元． （2）若啦啦操社团计划购买这两种花球共50个，其中购买A型花球a个，购买两种型号的总费用为W元，请求出W与a之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，若A型花球的数量不少于B型花球的2倍．请求出当购买A型花球多少个时，总费用最少，并求出最少总费用． 【答案】（1）A型花球单价是9元，型花球的单价是6元； （2）； （3）当型花球购买34个时，总费用最少，最少总费用是402元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，掌握一次函数的增减性是解题的关键． （1）设型花球单价是元，型花球的单价是元，根据题意列方程组并求解即可； （2）型花球购买个，根据“总费用型花球单价购买型花球数量型花球单价购买型花球数量”写出与之间的函数关系式； （3）根据该关系的增减性和的取值范围，确定当为何值时的值最小，求出最小值即可． 【小问1详解】 解：设型花球单价是元，型花球的单价是元．根据题意，得： ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 型花球单价是9元，型花球的单价是6元； 【小问2详解】 解：购买型花球个，则型花球购买个，则， 与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：依题意得： ， 解得：， ，， 随的减小而减小， 当时，值最小，（元）， 当型花球购买34个时，总费用最少，最少总费用是402元． 22. 同学们准备研究“最值问题”，回顾已有知识，发现涉及到“最值”的有“两点之间，线段最短”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，同学们进行了如下探究： （1）最值初体验 如图1，，是角平分线上一点，点在上，．为射线上一动点，连接，则线段的最小值为　　　； （2）探究与迁移 如图2，小明发现如果是边长为4的等边三角形，点是边上的中点，是边上的一个动点（点不与，重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时线段的长度有一个最小值，请你画出图形并帮助小明同学求出此最小值； （3）拓展与应用 如图3，在中，，，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1） （2）图见解析，； （3）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求的长，由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可求解； （2）由旋转的性质知，点与点重合，，，则点在射线上，根据垂线段最短，当时，有最小值，据此可求解； （3）由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，则当时，有最小值为，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于，于， ，平分， ， 又．， ，，， ， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， 由旋转的性质知，点与点重合，，， ∴点在射线上， ∴当时，有最小值， ∵点是边上的中点， ， ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：取中点，连接，， ，，， ，， 点是的中点， ， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，，，，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”． 小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢? 某数学兴趣小组的研究过程如下： 【阶段一】 特殊情况探讨：，，，，，…… 【阶段二】 一般性探究：同学们想到设是正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵①　　　， ∴除4外，所有能被②　　　整除的偶数都是智慧数． ∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数． 如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即 …… 【阶段三】 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③　　　个智慧数外，其余各组都有④　　　个智慧数，而且每组中第⑤　　　个不是智慧数． 请你完成以下任务： （1）下列偶数中是智慧数的是　　　； A．2018 B．2022 C．2024 D．2026 （2）请将【阶段二】【阶段三】中的①~⑤分别补充完整； （3）请完成【阶段二】“……”部分的研究； （4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是　　　． 【答案】（1）C；（2）①；②4；③1；④3；⑤二；（3）见解析；（4）2701 【解析】 【分析】（1）除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； （2）根据平方差公式即可求解； （3）根据平方差公式即可求解； （4）综合（1）和（2）可得，除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． 【详解】解：（1）A、， B、， C、， D、， 是智慧数的是C． 故答案为：C； （2）一般性探究：同学们想到设是正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． 故答案为：①；②4；③1；④3；⑤二； （3）如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即． 因为和这两个数的奇偶性相同， 所以①式中等号右边要么是4倍数，要么是奇数， 而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数， 可见等式左、右两边不相等， 所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． （4）把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又， 第2022个智慧数在（组），并且是第1个数，即． 故答案为：2701． 【点睛】本题考查了同余问题，新定义“智慧数”以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年下学期学情调研 学科：数学 年级：八年级 时间：100分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日在巴黎开幕，此次奥运会体育项目图标充满了图形变换的元素．下列分别是射箭、篮球、赛艇、冲浪项目的图标，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列分式中，是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 在用反证法证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．若用反证法证明“若，，则”，则应假设（　　） A. ， B. ， C. D. 6. 下列正多边形的组合中，不能镶嵌的是（ ） A. 正方形和正三角形 B. 正方形和正八边形 C 正三角形和正十二边形 D. 正方形和正六边形 7. 如图，已知函数与的图象相交于点，两图象与轴分别交于和，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（　　）个． A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 9. 若分式方程有增根，则的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 风力发电是一种将风能转化为电能的可再生能源技术．常见的风力发电机是由三片两两夹角的叶片底端相连组成（如图1）．以扇叶重合处为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2），若某型号风力发电机的叶片每秒钟绕点O逆时针转动，点A初始位置横坐标为，与y轴正半轴夹角为，则第2024秒时，点A的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5 小题，每小题3分，共 15分） 11. 若分式有意义，请写出一个满足要求的x的值___． 12. 多项式x2+1添加一个单项式后可变为完全平方式,则添加的单项式可以是______.(任写一个符合条件的即可) 13. “等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是___________． 14. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D落在线段上，与交于点F．若，，则___． 15. 如图，四边形是平行四边形，点E、点F分别是线段上动点，将四边形沿折叠，使点D的对应点落在对角线的三等分点处（把一条线段平均分成三等份的两个点，都叫线段的三等分点），连接．若，，，则的面积为___． 三、解答题（本大题共8 小题，共75 分） 16. （1）因式分解：； （2）先化简：，再从，，0，1，2中选取一个你认为合适的数代入求值． 17. 以下为小颖在解不等式组时草稿纸上演草过程： 解不等式②，…………………………第一步 …………………………第二步 …………………………第三步 ………………………第四步 （1）小颖发现不等式②解的不对，请指出是第　　　步开始出现错误； （2）请你完成本题的解答： 解：解不等式①，得　　　， 解不等式②，得　　　， 在同一数轴上表示不等式①和②解集，如图所示： 所以原不等式组的解集为　　　． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格线的格点上，仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图． （1）关于点A成中心对称图形为，画出并写出，的坐标； （2）将先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，画出平移后的图形； （3）连接，，请直接写出四边形的面积． 19. 如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O， （1）尺规作图，作的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在第（1）问的基础上，若直线交于点E，交于点F，试判断四边形是不是平行四边形，并说明理由． 20. 在等腰三角形中，，，平分，于点，过点作交于点． （1）求的度数； （2）若是的中点，连接，求的长． 21. 为迎接校园艺术节的到来，学校啦啦操社团欲购买A，B两种不同类型的花球，已知1个A型花球比1个B型花球贵3元，用180元购进A型花球的数量与用120元购进B型花球的数量相同． （1）求A、B两种类型花球的单价各是多少元． （2）若啦啦操社团计划购买这两种花球共50个，其中购买A型花球a个，购买两种型号的总费用为W元，请求出W与a之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，若A型花球的数量不少于B型花球的2倍．请求出当购买A型花球多少个时，总费用最少，并求出最少总费用． 22. 同学们准备研究“最值问题”，回顾已有知识，发现涉及到“最值”的有“两点之间，线段最短”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，同学们进行了如下探究： （1）最值初体验 如图1，，是角平分线上一点，点在上，．为射线上一动点，连接，则线段的最小值为　　　； （2）探究与迁移 如图2，小明发现如果是边长为4的等边三角形，点是边上的中点，是边上的一个动点（点不与，重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时线段的长度有一个最小值，请你画出图形并帮助小明同学求出此最小值； （3）拓展与应用 如图3，在中，，，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出线段的最小值． 23. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，，，，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”． 小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢? 某数学兴趣小组的研究过程如下： 【阶段一】 特殊情况探讨：，，，，，…… 【阶段二】 一般性探究：同学们想到设是正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵①　　　， ∴除4外，所有能被②　　　整除的偶数都是智慧数． ∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数． 如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即 …… 【阶段三】 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③　　　个智慧数外，其余各组都有④　　　个智慧数，而且每组中第⑤　　　个不是智慧数． 请你完成以下任务： （1）下列偶数中是智慧数的是　　　； A．2018 B．2022 C．2024 D．2026 （2）请将【阶段二】【阶段三】中的①~⑤分别补充完整； （3）请完成【阶段二】“……”部分的研究； （4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是　　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $