试卷3 河南省郑州市惠济区2024-2025学年八年级下学期期末学情调研试题卷(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 以《周易》卦象、农耕劳动等真实情境为载体，融合几何直观与代数运算，通过动态变换、综合应用等问题设计，考查数学抽象、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称、分式、不等式性质、平行四边形|结合《周易》卦象考中心对称，体现文化传承| |填空题|5/15|分式意义、全等三角形、一次函数、垂直平分线|以坐标系中点坐标考一次函数解集，强化数形结合| |解答题|8/75|因式分解、图形变换、几何证明、动点问题|折叠椅子几何建模（第20题）、劳动工具采购（第21题），突出应用意识；动点问题（第23题）考查动态思维与分类讨论|

试卷3　惠济区 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（　A　） A.　　B.　　C.　　D. 2.下列分式中，是最简分式的是（　A　） A.　　B.　　C.　　D. 3.如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　C　） 第3题图　　 A.a－2＞b－2　　　　B.＞ C.－2a＞－2b　　　　D.5a＋2＞5b＋2 4.如图，在▱ABCD中，若∠A＝70°，则∠C的度数是（　A　） 第4题图 A.70°　　B.110°　　C.120°　　D.140° 5.若一个多边形的内角和为1 800°，则这个多边形的边数为（　D　） A.5　　B.7　　C.10　　D.12 6.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　B　） A.a（x－y）＝ax－ay　　　　B.x2y－y3＝y（x＋y）（x－y） C.（x＋1）（x＋3）＝x2＋4x＋3　　　　D.x2＋2x＋1＝x（x＋2）＋1 7.综合实践课上，小明画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形.下面是其作图过程： （1）作BD的垂直平 分线交BD于点O； （2）连接AO，在AO的 延长线上截取OC＝AO； （3）连接DC，BC，则 四边形ABCD即为所求. 在小明的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　C　） A.两组对边分别平行　　　　B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分　　　　D.一组对边平行且相等 8.如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD＝8，则点P到BC的距离是（　C　） 第8题图　　 A.8　　B.6　　C.4　　D.2 9.如图，平行四边形ABCD的边BC在x轴的负半轴上，点B与原点O重合，DE⊥AB，交BA的延长线于点E，已知∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，则点E的坐标为（　B　） 第9题图 A.（－2，－2 ）　　　　B.（－， ） C.（－3，3 ）　　　　D.（－ ，） 解析：过点E作EF⊥y轴于点F，如图所示. ∵▱ABCD的边BC在x轴的负半轴上，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，∴AD∥BC，AD＝BC＝6.∴∠EAD＝∠ABC＝60°.∵DE⊥AB，∴∠EDA＝30°.∴AE＝AD＝3.∴EO＝AE＋OA＝AE＋AB＝3＋4＝7.∵∠EOF＝90°－∠AOC＝90°－∠ABC＝30°，∴EF＝EO＝.在Rt△EOF中，由勾股定理，得OF＝＝＝ .∴点E的坐标为（－， ）.故选B. 10.若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程＋＝2的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　D　） A.－12　　B.－11　　C.－10　　D.－9 解析：∵关于x的不等式组无解，∴解不等式①，得x≤－2.解不等式②，得x＞－a.∴－a≥－2.解得a≤2.解分式方程＋＝2，得y＝.∵y－3≠0，∴a≠－1.∵分式方程的解为正整数，∴a的值可为2，－4，－7.∴所有满足条件的整数a的值之和为2＋（－4）＋（－7）＝－9.故选D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.要使分式有意义，则x的取值范围为　x≠1　. 12.如图，AC⊥BC，BD⊥BC，垂足分别为C，B，要根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，应添加的条件是　AB＝CD　.第12题图　　第13题图 13.如图，点A（－1，2）在一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上，则不等式kx＋b＞2的解集是　x＜－1　. 14.如图，在△ABC中，边AC，BC的垂直平分线相交于点P.若∠C＝110°，则∠APB的度数为　140°　. 第14题图　　 15.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，点D，E分别为AB，BC的中点，将△BDE沿EC平移得到△NMP，点B，D，E的对应点分别是点N，M，P，连接DN，DM，当△DMN为直角三角形时，PE的长为　或1　. 第15题图 解析：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴∠C＝60°，BC＝2AC＝2.∵点D，E分别为AB，BC的中点， ∴DE∥AC，DE＝AC＝，BE＝BC＝1.∴∠DEB＝∠C＝60°.∵△BDE沿EC平移得到△NMP，∴NP＝BE＝1，DM∥BN，DB∥MN.∴四边形DMNB是平行四边形.∴∠DMN＝∠B＝30°.当△DMN为直角三角形时，分两种情况：①当∠NDM＝90°时，如图1.∵DM∥BN，∴∠DNE＝180°－∠NDM＝90°.∵∠DEB＝60°，∴∠EDN＝30°.∴NE＝DE＝.∴PE＝NP－NE＝1－＝. 图1 ②当∠DNM＝90°时，即点E和点N，点C和点P重合，如图2.∴PE＝NP＝1.综上所述，PE的长为或1. 图2 三、解答题（共8题，共75分） 16.（10分）（1）解不等式组： 解：（1） 解不等式①，得x≤4.（2分） 解不等式②，得x＞1.（4分） 在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示. ∴原不等式组的解集为1＜x≤4.（5分） （2）解方程：＝－. 解：（2）去分母，得x＋5＝5x－3（x－1）.（2分） 去括号，得x＋5＝5x－3x＋3. （3分） 移项、合并同类项，得－x＝－2.（4分） 两边都除以－1，得x＝2.（5分） 17.（9分）先化简，再求值：（＋1）÷，其中a＝－2. 解：原式＝（＋）÷＝•（4分） ＝a＋1.（7分） 当a＝－2时，原式＝－2＋1＝－1.（9分） 18.（9分）下面是“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲：x2－xy＋4x－4y ＝（x2－xy）＋（4x－4y）（分成两组） ＝x（x－y）＋4（x－y）（直接提公因式） ＝（x－y）（x＋4）. 乙：a2－b2－c2＋2bc ＝a2－（b2＋c2－2bc）（分成两组） ＝a2－（b－c）2（直接运用公式） ＝（a＋b－c）（a－b＋c）. 请你在他们解法的启发下，解答下面各题： （1）因式分解：4a2－b2＋1＋4a； 解：（1）原式＝（4a2＋4a＋1）－b2（1分） ＝（2a＋1）2－b2（2分） ＝（2a＋1＋b）（2a＋1－b）.（4分） （2）已知a－b＝3，a－c＝－5，求式子a2－ac－ab＋bc的值. 解：（2）a2－ac－ab＋bc ＝（a2－ab）＋（bc－ac）（5分） ＝a（a－b）－c（a－b）（6分） ＝（a－b）（a－c）.（8分） 当a－b＝3，a－c＝－5时， 原式＝（a－b）（a－c）＝3×（－5）＝－15.（9分） 19.（9分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（－2，6），B（－6，2），C（－3，1）. （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′； 解：（1）如图，△A′B′C′即为所求.（3分） （2）将△A′B′C′向上平移3个单位长度得到△A″B″C″，直接写出△A″B″C″顶点的坐标； 解：（2）A″（2，－3），B″（6，1），C″（3，2）（6分） （3）点P（a，b）是△ABC某条边上的一点，直接写出点P在△A″B″C″边上的对应点P″的坐标. 解：（3）（－a，－b＋3）（9分） 20.（9分）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得AC＝EF＝CG＝50 cm，BD＝20 cm，GF＝80 cm，∠ABD＝118°，∠GFE＝62°，已知BD∥CE∥GF. （1）求证：四边形BCED是平行四边形； 解：（1）证明：∵BD∥CE∥GF，∠ABD＝118°，∠GFE＝62°， ∴∠ACE＝∠ABD＝118°，∠DEC＝∠GFE＝62°. ∴∠ACE＋∠DEC＝180°.（2分） ∴BC∥DE.又∵BD∥CE，∴四边形BCED是平行四边形.（4分） （2）求椅子最高点A到地面GF的距离. 解：（2）如图，连接AG，延长AC交GF于点H. ∵四边形BCED是平行四边形， ∴CE＝BD＝20 cm. 由（1）可知，CH∥EF，CE∥HF， ∴四边形CHFE是平行四边形. ∴CH＝EF＝50 cm，HF＝CE＝20 cm. ∴AH＝AC＋CH＝100 cm，GH＝GF－HF＝60 cm.（6分） ∵AC＝EF＝CG＝CH， ∴∠CAG＝∠CGA，∠CGH＝∠CHG. ∴∠CAG＋∠AGH＋∠CHG＝2（∠CGA＋∠CGH）＝180°. ∴∠AGH＝90°.∴AG＝＝＝80（cm）. ∴椅子最高点A到地面GF的距离为80 cm.（9分） 21.（9分）教育部印发的《义务教育劳动课程标准（2022版）》中指出，劳动课程要以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质.郑州市某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批铁锹和锄头开展种植活动.据了解，市场上铁锹的单价比锄头的单价贵10元，用1 000元购买铁锹的数量和用800元购买锄头的数量相同. （1）求铁锹和锄头的单价； 解：（1）设铁锹的单价为x元，则锄头的单价为（x－10）元.（1分） 由题意，得＝.解得x＝50.（3分） 经检验，x＝50是所列方程的根，且符合题意. ∴x－10＝40. 答：铁锹的单价为50元，锄头的单价为40元.（5分） （2）学校计划购买铁锹和锄头共100把，若购买费用不超过4 600元，那么至少购买多少把锄头？ 解：（2）设购买锄头m把，则购买铁锹（100－m） 把.（6分） 由题意，得40m＋50（100－m）≤4 600.解得m≥40.（8分） 答：至少购买锄头40把.（9分） 22.（10分）如图，点P为等边三角形ABC内部一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BM，点P的对应点为点M，连接MP，MA；将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CN，点P的对应点为点N，连接NP，NA. （1）判断：∠MBA与∠PBC的数量关系为　相等　； （2）求证：MA＝PC； 解：（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°.（3分） ∵线段BP绕点B旋转60°得到线段BM， ∴BM＝BP，∠PBM＝60°.（4分） ∴∠PBM－∠PBA＝∠ABC－∠PBA，即∠ABM＝∠CBP.∴△ABM≌△CBP（SAS）.∴MA＝PC.（6分） （3）求证：四边形AMPN为平行四边形. 解：（3）证明：∵线段CP绕点C旋转60°得到线段CN， ∴CP＝CN，∠PCN＝60°.∴△PCN是等边三角形 .同理可得，△PBM是等边三角形 .（8分） 与（2）同理可得，△ACN≌△BCP（SAS）. ∴AN＝BP，∴AN＝MP. 由（2）知MA＝PC.∴PN＝MA. ∴四边形AMPN为平行四边形.（10分） 23.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝24，AB＝26，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC向终点C运动，动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿CA→AB向终点B运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒. （1）用含t的式子表示CP的长度为　24－2t（2分）　； （2）当点Q在边AC上运动时. ①是否存在△CPQ是等腰三角形？请说明理由； ①不存在.（3分） 理由如下：∵∠C＝90°，若△CPQ是等腰三角形， 则CP＝CQ，即24－2t＝3t.解得t＝. ∵3t＝＞10，∴边AC上不存在点Q使得△CPQ是等腰三角形.（4分） ②PQ能否把△ABC的周长平分？请说明理由； ②不能.（5分） 理由如下：若PQ平分△ABC的周长，则CP＋CQ＝（AC＋BC＋AB）， 即24－2t＋3t＝×（10＋24＋26）.解得t＝6.∵3t＝18＞10，∴PQ不能把△ABC的周长平分. （6分） （3）当点Q在边AB上运动时. ①是否存在△BPQ是以∠B为顶角的等腰三角形？若存在，请求出t的值； ①存在.（7分） 若△BPQ是以∠B为顶角的等腰三角形，则BP＝BQ，即2t＝26－（3t－10）.解得t＝. ∵10＜3t＝＜10＋26＝36，2t＝＜24，∴存在△BPQ是以∠B为顶角的等腰三角形.（8分） ②是否存在△ACQ是以AC或CQ为底边的等腰三角形？若存在，直接写出t的值. ②存在，t的值为或.（10分） 解析：分两种情况：Ⅰ.当△ACQ是以AC为底边的等腰三角形时，AQ＝CQ，如图所示.∵AQ＝CQ，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ACQ，∠A＋∠B＝90°，∠ACQ＋∠BCQ＝90°，∴∠B＝∠BCQ，∴BQ＝CQ＝AQ，∴AQ＝AB，即3t－10＝13.解得t＝.Ⅱ.当△ACQ是以CQ为底边的等腰三角形时，AQ＝AC，即3t－10＝10.解得t＝.综上所述，t的值为或. 学科网（北京）股份有限公司 $