拓展练1 综合与实践(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 聚焦期末几何综合与实践应用，以折叠操作、函数建模、平面镶嵌为载体，系统整合几何性质与代数方法，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等边三角形折叠|3小题|折叠性质+垂直平分线性质+勾股定理+分类讨论|从特殊三角形折叠操作（概念生成）到等腰三角形迁移（原理推导），再到面积与距离计算（应用拓展）| |背带长度优化|3任务|一次函数建模+待定系数法|从数据测量（情境观察）到函数关系建立（模型抽象），再到最佳比例应用（实际决策）| |平面图形镶嵌|2小题|平移性质+分式方程+优化策略|从图形平移镶嵌（空间观念）到瓷砖费用计算（方程应用），再到成本优化（推理分析）|

拓展练1　综合与实践 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.综合与实践：数学课上，同学们以“等边三角形的折叠”为主题开展数学活动. （1）【操作判断】 操作一：将如图1所示的等边三角形纸片折叠，使点B和点C重合，得到折痕AD，把纸片展开，如图2； 操作二：将如图1所示的等边三角形纸片折叠，分别使点B和点C重合，点A和点C重合，点A和点B重合，折叠三次，得到三条折痕AD，BE，CF，三条折痕相交于点O，把纸片展开，如图3； 若等边三角形的边长为4，根据以上操作，①AB＋BC；②AD＋BC；③OA＋OB＋OC.这三种线段的和中，线段和最小的是　③　（填序号），最小值是　4　； （2）【迁移研究】 小帅同学将等边三角形纸片换成等腰三角形纸片继续研究，过程如下：将等腰三角形纸片ABC按照（1）中的操作二进行折叠，折痕交点为O，把纸片展开，如图4.若AB＝AC＝10，BC＝12，求点O到点A的距离； （2）如图①，连接OC.由题意得，AD是等腰三角形的底边BC的垂直平分线，OE是AC的垂直平分线. ∵BC＝12，∴CD＝BD＝BC＝6，OC＝OA.∵AC＝10，∴AD＝＝8.设OC＝OA＝x， 则OD＝8－x.在Rt△COD中，由勾股定理，得 OC2－OD2＝CD2，即x2－（8－x）2＝62. 解得x＝.∴点O到点A的距离是. （3）【拓展应用】 在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，点O到△ABC三个顶点的距离相等，请直接写出点O到点A的距离. （3）点O到点A的距离为或. 解析：∵点O到△ABC三个顶点的距离相等，∴点O在△ABC三边的垂直平分线上.又∵S△ABC＝10，∴∠BAC≠90°.分两种情况： ①如图②，当∠BAC＜90°时，过点B作BE⊥AC于点E，连接OC，∴S△ABC＝AC•BE＝10. ∵AB＝AC＝5，∴×5•BE＝10.∴BE＝4.∴AE＝＝3.∴CE＝AC－AE＝2. ∴BC＝＝2.∵AD⊥BC，AB＝AC， ∴CD＝BD＝BC＝.∴AD＝＝2. 设OA＝OC＝r，则OD＝2－r. 在Rt△COD中，由勾股定理，得OC2－OD2＝CD2， 即r2－（2－r）2＝（）2.解得r＝. ∴点O到点A的距离为. ②如图③，当∠BAC＞90°时，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于点D.∴S△ABC＝AC•BD＝10. ∵AB＝AC＝5，∴×5•BD＝10.∴BD＝4.∴AD＝＝3. ∴CD＝AD＋AC＝8.∴BC＝＝4. ∵OA⊥BC，AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝2. ∴AE＝＝.设OA＝OC＝t， 则OE＝OA－AE＝t－. 在Rt△COE中，由勾股定理，得OC2－OE2＝CE2， 即t2－（t－）2＝（2）2.解得t＝. ∴点O到点A的距离为. 综上所述，点O到点A的距离为或. 2.［郑州市］下面是“智慧”小组开展综合与实践活动的片段，请仔细阅读并完成任务. 素材 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成，使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）. 问题 如何确定单肩包最佳背带长度 （1）任务一：对该背包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是x cm，单层部分的长度是y cm，得到如下数据： 双层部分长度x/cm 2 4 6 单层部分长度y/cm 116 112 108 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，对应的y为纵坐标，描出所表示的点，画出函数图象； 解：（1）函数图象，如图所示. （2）任务二：求出y与x之间的关系式，并确定x的取值范围； 解：（2）根据图象可知，变量x，y满足一次函数关系.设y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）.将x＝2，y＝116 和x＝4，y＝112分别代入y＝kx＋b，得解得 ∴y与x之间的关系式为y＝－2x＋120. 当背带都为单层部分时，x＝0；当背带都为双层部分时，y＝0，即－2x＋120＝0.解得x＝60.∴x的取值范围是0≤x≤ 60. （3）任务三：资料显示，当单肩包的背带总长度与身高比例为35时，背包效果最佳，若小宇同学身高170 cm，当背这款背包效果最佳时，求背带双层部分的长度x的值. 解：（3）由题意，可知当背这款背包效果最佳时，单肩包的背带总长度为＝102（cm）.∵y＝－2x＋120，∴x＋y＝x－2x＋120＝102.解得x＝18.∴背带双层部分的长度x的值为18. 3.［深圳市］生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌. （1）如图1，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠BAD＝60°，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成，其中，平移的距离是　3　.同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成.我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是　18 　； 解析：如图，过点B 作BE⊥AD于点E.∵∠BAD＝60°， ∴∠ABE＝90°－∠BAD＝30°.∴AE＝ AB＝1.∴BE＝＝.∵四边形ABCD是平行四边形，∴S▱ABCD＝AD•BE＝3×＝ 3 .由平移的性质，可得图4中的四边形ABCD的面积与图1中的平行四边形ABCD的面积相同，∴图5的面积为 6×3 ＝18 . 图1图2图3 图4　图5 （2）小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌.小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元；用500元购买正三角形瓷砖与用2 500元购买正六边形瓷砖的数量相等. 图6　　图7 ①请问两种瓷砖每块各多少元？ ①设正三角形瓷砖每块的价格为x元，则正六边形瓷砖每块的价格为（x＋40）元. 由题意得，＝.解得x＝10. 经检验，x＝10是原方程的根. ∴x＋40＝50. 答：正三角形瓷砖每块的价格为10元，正六边形瓷砖每块的价格为50元. ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少.按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要　520　元. 解析：由题意，得一个正六边形所占的区域相当于6个正三角形所占的区域，而50＜6×10＝60，∴为了使总费用会更少，则正六边形瓷砖要尽可能的多. 根据图7结合题意可知，正六边形瓷砖最多可以使用8块，此时正三角形瓷砖需要12块，∴购买瓷砖最少需要50×8＋12×10＝520元. 学科网（北京）股份有限公司 $