提升练3 转化思想(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 聚焦转化思想，通过多边形问题、面积转化、最短路径三大模块，系统提炼对称、模型构建等方法，形成从概念到应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多边形外角问题|3题（含类比迁移）|正多边形外角和模型|从图形缩放外角不变到实际行走路径建模| |四边形面积转化|2题（含实际应用）|平行线构造平行四边形|从四边形面积转化到池塘扩建应用| |最短路径问题|3题（含拓展探究）|对称转化与路径最短模型|从将军饮马到等边三角形及坐标几何综合应用|

提升练3　转化思想 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.［教材P12第14题改编］课本再现：如图1、图2、图3，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果. （1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来. 图1　 图2　 图3　… 解：（1）四边形对应的各个外角的大小不会发生变化.将四边形不断缩小下去，这些外角的顶点会重合为一点，所画的图形如图所示. 类比迁移： （2）如图④，若小明从O点向西走10 m，左转30°，再向前走10 m，左转30°，如此重复，求小明第一次回到O点时所走过的路程. 图4 由题意，可知小明第一次回到O点时所走过的路线构成一个正多边形，由于多边形的每一个外角是30°，所以这个正多边形的边数为360°÷30°＝12（条），因此所走的路程为10×12＝120（m）. 因此小明第一次回到O点时所走过的路程是120 m. （3）若小明从O点向西走16 m，左转x°，再向前走16 m，左转x°，如此重复，已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320 m，则x＝　18　. 解析：由题意，可得这个正多边形的边数为320÷16＝20（条），即这个正多边形是正二十边形，正二十边形的外角为＝18°，即x＝18. 2.几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么能否转化为平行四边形来求呢？ （1）下面是两种转化方法： 方法1：如图1，连接四边形ABCD的对角线AC，BD，分别过四边形ABCD的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形EFGH，易证四边形EFGH是平行四边形. ①请直接写出S四边形ABCD和S▱EFGH之间的数量关系：　S四边形ABCD＝S▱EFGH　； 方法2：如图2，取四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE. ②请直接写出S四边形ABCD和S▱EFGH之间的数量关系：　S四边形ABCD＝2S▱EFGH　； （2）如图3，某村有一个四边形池塘， 它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，还要求扩建后的池塘成平行四边形的形状. ①请问能否实现这一设想？若能，请画出你设计的图形； 若不能，请说明理由； ①能.如图，连接对角线AC，BD交于点O，过点D，B分别作AC的平行线HG，EF，过点A，C分别作BD的平行线EH，GF.四边形EFGH即为所求. ②已知在四边形池塘ABCD中， 对角线AC与BD交于点O.若AC＝8 m，BD＝6 m，∠AOB＝60°，则四边形池塘ABCD的面积为　12 　m2. 解析：如图，过点H作HM⊥EF于点M.∵∠AOB＝60°，∴∠AEM＝60°.∴∠EHM＝30°. ∵AC＝8 m，BD＝6 m，∴EH＝6 m，EM＝3 m，EF＝8 m. ∴HM＝＝3（m）. ∴S▱EFGH＝EF•HM＝24（m2）.∴S四边形ABCD＝S▱EFGH＝12 （m2）. 3.【课题回顾】在学习《问题解决活动：最短距离》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段最小值的数学问题. 【问题探究】（1）如图1，A，B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直） 将这个实际问题抽象出来，如图2，直线a∥b，点A，B分别位于直线a，b的两侧，请你在直线a上找到点M，使得MN垂直于直线b，垂足为N，且AM＋MN＋NB的长度最小.在图2中画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明），如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从A地到达B地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）. 图1　 图2　 图3 解：（1）如图①，在直线a上任取一点C，过点C作CD⊥b于点D，画AA′∥CD，且AA′＝CD，连接A′B交直线b于点N，作NM⊥a于点M，点M，N即为所求. 图①　　 如图②，在直线a上任取一点C，过点C作CD⊥b于点D，作AA′∥CD，且AA′＝CD，在直线c上任取一点E，过点E作EF⊥d于点F，作BB′∥EF，且BB′＝EF，连接A′B′交直线b于点N，交直线c于点P，作NM⊥a于点M，作PQ⊥d于点Q，点M、N、P、Q即为所求. 图② 【拓展探究】（2）如图4，在等边三角形ABC中，D为BC中点，点P，Q分别为AC，BC上的点，AP＝CQ＝2，DQ＝1，M是线段AD上的动点，连接MP，MQ，求MP＋MQ的最小值. 小明提出的探究思路如下：如图5，作点Q关于直线AD的对称点Q′，连接PQ′交AD于点M，连接MQ，根据“两点之间，线段最短”，可知此时MP＋MQ的值最小，请你运用小明的探究思路，证明此时MP＋MQ的值最小，并求出MP＋MQ的最小值. 图4　图5 证明：由对称的性质，知DQ′＝DQ，MQ′＝MQ，∴PM＋MQ＝PM＋MQ′＝PQ′.∵两点之间，线段最短，∴此时MP＋MQ的值最小.∵△ABC是等边三角形，D为BC中点，∴AB＝AC＝BC＝2CD，∠C＝60°，AD⊥BC.∵CQ＝2，DQ＝1，∴BD＝CD＝CQ＋DQ＝3.∴AB＝AC＝BC＝6.∵点Q关于直线AD的对称点为Q′，∴DQ＝DQ′＝1.∴BQ′＝CQ＝AP＝BD－DQ′＝2.∴CP＝CQ′＝AC－AP＝BC－BQ′＝4.∵∠C＝60°，∴△CPQ′是等边三角形.∴PQ′＝CP＝4，∴MP＋MQ的最小值为4. 图③ 【类比探究】（3）如图6，在平面直角坐标系中，点A坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上一点，连接AB，∠ABO＝30°，C为AB中点，OD平分∠AOB交边AB于点D，P为边OB上的一个动点，若点M在线段OD上，连接MC，MP，当MC＋MP的值最小时，则点P的坐标为　（0，2）　. 图6 解析：如图③，作点P关于OD的对称点N.∵OD平分∠AOB，∴点N在OA上.连接MN，由两点之间线段最短及垂线段最短得当C，M，N三点共线，且CN⊥OA时，PM＋MC最小.∴MP⊥OB.∴∠OPM＝∠ONM＝90°，PM＝MN.由题，可得OA⊥OB.∵OD平分∠AOB，∴∠POM＝∠MON＝45°.∴△MPO和△MNO都是等腰直角三角形.∴OP＝PM＝MN＝ON.∵CN⊥OA，OB⊥OA，∴OB∥CN.∴∠ACN＝∠ABO＝30°.∵点A坐标为（4，0），∴AO＝4.∴AB＝2OA＝8.∵C是AB的中点，∴AC＝AB＝4.∴AN＝AC＝2.∴OP＝ON＝OA－AN＝2.∴P（0，2）. 学科网（北京）股份有限公司 $