提升练2 分类讨论(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 聚焦期末高频几何考点，以分类讨论为主线，通过动态几何问题系统构建“性质分析-分类标准-结果验证”解题体系，强化推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形旋转|题1(3)、题2(2)②|按等腰三角形腰分类，结合旋转性质排除无效解|等腰三角形性质→旋转全等→动态角度分类| |动点与平行四边形|题4(3)、题5(3)|按动点运动区间分类，利用对边相等列方程|平行四边形性质→动点轨迹→分类计算| |三角尺旋转综合|题3(2)、题6(3)|按等腰三角形顶点分类，结合特殊角证全等|直角三角形性质→旋转不变量→分类讨论|

提升练2　分类讨论 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°.将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°），设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N. （1）如图1，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数； 图1　 解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝30°.∴∠BAC＝180°－30°－ 30°＝120°.∵AD⊥BC，∴α＝∠BAM＝∠BAC＝60°. （2）如图2，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论； 图2 解：（2）证明：由旋转的性质，得AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E. ∴∠BAC－∠MAN＝∠DAE－∠MAN，即∠BAM＝∠EAN. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠B＝∠E.∴AB＝AE. 在△ABM和△AEN中，∵∠B＝∠E，AB＝AE，∠BAM＝∠EAN，∴△ABM≌△AEN（ASA）.∴AM＝AN. （3）直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数. 解：（3）旋转角α的度数为30°或75°. 解析：由旋转的性质可知，∠D＝∠B＝30°.分三种情况： ①如图1，当MD＝MO时，则∠MOD＝∠D＝30°.∵∠B＝∠D，∠AMB＝∠OMD，∴α＝∠BAD＝∠MOD＝30°. 图1　 ②如图2，当MD＝DO时，则∠DMO＝∠DOM＝（180°－∠D）＝75°.∴α＝∠DOM＝75°. 图2　 ③如图 3，当OD＝OM时，则∠OMD＝∠D＝30°.∴∠DOM＝180°－∠OMD－∠D＝120°.∴α＝∠DOM＝120°.∵0°＜α＜ 100°，∴这种情形不存在. 图3 综上所述，旋转角α的度数为30°或75°. 2.已知△ABC是等腰三角形，其中AB＝AC，∠BAC＝α，D为BC边上的任意一点，连接AD，将线段AD绕点D逆时针旋转α，使点A落在点E处，连接AE，BE. （1）当α＝120°时，如图1，此时AD恰好平分∠EAC，则AE和AC的数量关系是　AE＝AC　； 图1 （2）当α＝90°时， ①请判断线段AB，BD，BE的数量关系，并根据图2进行证明；（提示：过点D作FD⊥BC，交AB于点F） 　 图2 ①AB＝BD＋BE. 证明：如图，过点D作FD⊥BC，交AB于点F. ∴∠BDF＝90°. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°. ∴△BDF是等腰直角三角形. ∴BD＝FD，∴BF＝＝BD. ∵∠ADE＝∠BDF＝90°，∴∠BDE＝∠FDA. 由旋转的性质，得DE＝DA.∴△BDE≌△FDA（SAS）. ∴BE＝FA.∵AB＝BF＋FA，∴AB＝BD＋BE. ②若AB＝6，在点D的移动过程中，当△ADC是等腰三角形时，直接写出此时△ABE的面积. 　 备用图 ②△ABE的面积为18或18 －18.　分三种情况：（i）当AD＝AC时，此时点D与点B重合，如图①. 图① ∵AB＝6，∴DE＝AB＝6，∠ADE＝90°，∴S△ABE＝×6×6＝18. （ii）当AC＝CD时，如图②. 图② ∵AB＝AC＝CD＝6，∴BC＝＝6 . ∴BD＝BC－CD＝6 －6. 由①可知，AB＝BD＋BE，∠ABC＝∠BFD＝45°，∴BE＝AB－BD＝6－×（6 －6）＝6 －6，∠DFA＝180°－∠BFD＝135°. 由①可得，△BDE≌△FDA.∴∠DBE＝∠DFA＝135°. ∴∠ABE＝∠DBE－∠ABC＝135°－45°＝90°. ∴S△ABE＝BE•AB＝×（6 －6）×6＝18 －18. （iii）当AD＝CD时，如图③，点B与点E重合，此时△ABE不存在，不符合题意. 综上所述，△ABE的面积为18或18 －18. 图③ 3.在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°.取一块含45°角的直角三角尺，将直角顶点放在斜边BC的中点O处，一条直角边过点A（如图1）.三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使两直角边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F（如图2）. （1）探究：在图2中，线段AE与CF之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； 解：（1）AE＝CF.证明如下：如图①，连接AO. 图① ∵AB＝AC，O为BC的中点，∠BAC＝90°， ∴AO⊥BC，∠EAO＝∠CAO＝∠C＝45°，∴AO＝OC. ∵∠EOF＝∠EOA＋∠AOF＝90°，∠FOC＋∠AOF＝90°， ∴∠EOA＝∠FOC.∴△EOA≌△FOC（ASA）.∴AE＝CF. （2）若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC的中点O处（如图3），三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使45°角的两边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F，连接EF（如图4）.在三角尺绕点O旋转的过程中，△OEF是否能成为等腰三角形？若能，直接写出△OEF为等腰三角形时BE的长，若不能，请说明理由. 解：（2）△OEF能成为等腰三角形，BE的长为1或或2. 解析：分三种情况：①当OE＝EF时，如图②，E为AB的中点，点F与点A重合，BE＝AE＝AB＝1. ②当OE＝OF时，如图③，由对称性，得∠BOE＝∠COF. ∵∠B＝∠EOF＝45°， ∴∠BEO＝180°－∠B－∠BOE＝135°－∠BOE， ∠BOE＝180°－∠EOF－∠COF＝135°－∠COF. ∴∠BEO＝∠COF＝∠BOE，∴BE＝BO. ∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴BC＝＝2 . ∵O为BC的中点，∴BE＝BO＝BC＝. ③当EF＝OF时，如图④，F为AC的中点，点E与点A重合，BE＝AB＝2. 综上所述，△OEF为等腰三角形时，BE的长为1或或2. 4.在▱ABCD中，动点P在AD边上以0.5 cm/s的速度从点A向点D运动. （1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且CD＝CP，求∠B的度数； 图1　 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠DPC＝∠PCB.∵CP平分∠BCD，∴∠PCD＝∠PCB，∴∠DPC＝∠PCD，∴DP＝CD.∵CD＝CP，∴CP＝CD＝DP，∴△PDC是等边三角形，∴∠D＝60°，∴∠B＝60°. （2）在（1）的条件下，若AB＝4 cm，求△PCD的面积. 解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝4 cm.∵△PDC是等边三角形，∴△PCD三边上的高相等，等于2  cm，∴S△PCD＝×2 ×4＝4 （cm2）. （3）如图2，另一动点Q在BC边上，以2 cm/s的速度从点C出发，在BC上往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止运动）.若AD＝6 cm，求当运动时间为多少时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形. 图2 解：（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴PD∥BQ.若以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，则PD＝BQ.设运动时间为t s， ①当0＜t≤3时，PD＝6－0.5t，BQ＝6－2t，∴6－0.5t＝6－2t.解得t＝0（不合题意，舍去）； ②当3＜t≤6时，PD＝6－0.5t，BQ＝2t－6，∴6－0.5t＝2t－6.解得t＝4.8； ③当6＜t≤9时，PD＝6－0.5t，BQ＝18－2t，∴6－0.5t＝18－ 2t.解得t＝8； ④当9＜t≤12时，PD＝6－0.5t，BQ＝2t－18，∴6－0.5t＝2t－18.解得t＝9.6. 综上所述，当运动时间为4.8 s或8 s或9.6 s时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形. 5.在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线与边AD，BC分别相交于点E，F.某数学学习小组组员对直线EF有以下发现： 甲同学：如图1，当直线EF⊥AD时，△AOE≌△COF，所以四边形ABFE的面积＝S△AOE＋S△AOB＋S△BOF＝S△COF＋S△AOB＋S△BOF＝S△ABC＝S▱ABCD. 图1  乙同学：如图2，当E为边AD的中点时，F也为边BC的中点，△AOE≌△COF，所以四边形ABFE的面积＝S△AOE＋S△AOB＋S△BOF＝S△COF＋S△AOB＋S△BOF＝S△ABC＝S▱ABCD. 图2  猜想：过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形的面积等分. （1）甲同学证明△AOE≌△COF的判定方法可以是　③④　；（填序号） ①SSS　　②SAS　　③ASA　　④AAS　　⑤HL （2）请就图3证明上述猜想是否正确； 图3 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC，S△ABC＝S▱ABCD. ∴∠OAE＝∠OCF.又∵∠AOE＝∠COF， ∴△OAE≌△OCF（ASA）.∴S△OAE＝S△OCF. ∴S四边形ABFE＝S四边形ABFO＋S△OAE＝S四边形ABFO＋S△OCF＝S△ABC＝ S▱ABCD. 即过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形的面积等分. （3）如图4，▱ABCD的面积为12，直线EF和GH均过对角线AC，BD的交点O，E是边AD的三等分点，G是边AB的三等分点，则四边形BGOF的面积是　2或3或4　.   图4 解析：∵平行四边形的对角线分得的四个小三角形面积相等，S▱ABCD＝12，∴S△AOD＝S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S▱ABCD＝3. ∵E是边AD的三等分点，G是边AB的三等分点， ∴S△BOG＝S△AOB＝1或S△BOG＝S△AOB＝2， S△BOF＝S△BOC＝1或S△BOF＝S△BOC＝2. ∵S四边形BGOF＝S△BOG＋S△BOF，∴可分四种情况： ①当S△BOG＝1，S△BOF＝1时，S四边形BGOF＝2. ②当S△BOG＝1，S△BOF＝2时，S四边形BGOF＝3. ③当S△BOG＝2，S△BOF＝1时，S四边形BGOF＝3. ④当S△BOG＝2，S△BOF＝2时，S四边形BGOF＝4. 综上所述，四边形BGOF的面积是2或3或4. 6.已知四边形ABCD是平行四边形，∠ACB＝∠ACD＝60°，AB＝6，点P是对角线AC所在直线上的一个动点，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到CQ，点P的对应点为点Q，连接BP和AQ，直线BP和直线AQ相交于点M. （1）如图1，当点P是对角线AC的中点时，直线BP和直线AQ所夹的锐角为　60　°； 图1　　　 （2）如图2，当点P在AC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的判断并说明理由； 图2　　　 （1）中的结论仍然成立. 理由如下：在▱ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝∠ACB＝60°.∴∠ABC＝60°.∴△ABC是等边三角形.∴AC＝ BC.由旋转的性质，得CQ＝CP，∠PCQ＝60°，∴∠ACQ＝∠BCP. 在△ACQ和△BCP中，∵AC＝BC，∠ACQ＝∠BCP，CQ＝CP，∴△ACQ≌△BCP（SAS）.∴∠CAQ＝∠CBP. ∵∠CBP＋∠AMB＝∠CAQ＋∠ACB，∴∠AMB＝∠ACB＝60°，即（1）中的结论仍然成立. （3）点P在直线AC上运动的过程中，当△PQM为直角三角形时，请直接写出CQ的长. 备用图 当△PQM为直角三角形时，CQ的长为12或6. 解析：由（2）可知，△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝6.分三种情况：①如图①，当点P在CA的延长线上且∠MPQ＝90°时.∵CQ＝CP，∠PCQ＝60°，∴△CPQ是等边三角形.∴∠CPQ＝60°＝∠ACB.∴∠CPB＝90°－60°＝30°. ∴∠PBC＝180°－∠CPB－∠PCB＝180°－30°－60°＝90°.∴在Rt△PBC中，CP＝2BC＝2AB＝12.∴CQ＝CP＝12. 图①　　 ②如图②，当点P在AC的延长线上且∠MQP＝90°时.∵∠QCP＝60°，CP＝CQ，∴△CPQ是等边三角形.∴∠CQP＝∠CPQ＝60°.∴∠PAQ＝90°－60°＝30°. ∵∠AQC＝∠MQP－∠CQP＝90°－60°＝30°，∴∠PAQ＝∠AQC，∴CQ＝AC＝AB＝6. 图②　　 ③如图③，当点P在线段AC上时，由（1）知∠AMB＝60°，∴∠PMQ＝180°－60°＝120°.∴△PQM是钝角三角形，不符合题意. 综上所述，当△PQM为直角三角形时，CQ的长为12或6. 图③ 学科网（北京）股份有限公司 $