提升练1 数形结合(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 以数形结合思想为核心，通过情境应用与几何模型，系统训练从形到数的转化能力，衔接期末高频考点 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |综合应用|3题（含2道情境题、1道探究题）|通过图形面积/体积计算构建代数关系，用拼图、分割验证因式分解及立方公式推导|从平面图形面积差到立体体积分割，形成“形助数”递进链条，衔接因式分解、代数式求值等核心知识点|

提升练1　数形结合 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.［石家庄市］如图所示，骐骥中学劳动实践基地有两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为S，左边正方形能使用部分的面积为S左，右边正方形能使用部分的面积为S右. （1）用含m，n，S的代数式表示图中能使用部分的面积之和为　m2＋n2－2S　； （2）设两个正方形能使用部分的面积差为S差＝S左－S右. ①求S差的值（用含m，n的代数式表示），并对S差分解因式； ①∵S左＝m2－S，S右＝n2－S，∴S差＝S左－S右＝m2－S－（n2－S）＝m2－S－n2＋S＝（m＋n）（m－n）. ②若S差＝56，且m＋n＝14，求m，n的值. ②∵S差＝（m＋n）（m－n）＝56，m＋n＝14，∴m－n＝4.解方程组解得 2.如图1，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a＞1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg. （1）①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为　　kg/m2；“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为　　kg/m2；　丰收2号　小麦试验田的单位面积产量高； 图1　　 ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ ②÷＝•＝＝. （2）如图2，在试验田四周（图2虚线部分）修建隔离网，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为1 800元和3 300 元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值. 图2 由题图可知，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田的周长分别为4a m，4（a－1）m.由题意，得＝2×.解得a＝12.经检验，a＝12是原方程的根，且符合题意. 故a的值为12. 3.“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解，运用到了“数形结合”的数学思想.下面让我们一起来探索其中的规律. 【实践操作】如图，有足够多的边长为a的小正方形纸片（A类）、长为a宽为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）.我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式. （1）用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形，a2＋2b2＋3ab可以因式分解得　（a＋b）（a＋2b）　； （2）根据图2，若a2＋b2＋c2＝45，ab＋bc＋ac＝38，求a＋b＋c的值； 由图2，得a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝（a＋b＋c）2，即（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ac）.∵a2＋b2＋c2＝45，ab＋bc＋ac＝38，∴（a＋b＋c）2＝45＋2×38＝121.∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b＋c＞0.∴a＋b＋c＝11. 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式. （3）如图3，在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割（如图4），得到三个长方体①、②、③（如图5）.易得长方体①的体积为ab（a－b）.则长方体②的体积为　b2（a－b）　，长方体③的体积为　a2（a－b）　（结果不需要化简）.则因式分解a3－b3＝　（a－b）（a2＋ab＋b2）　； 【拓展延伸】（4）因式分解：a3＋b3； 由（3）可知，a3＋b3＝a3－（－b）3＝［a－（－b）］［a2＋a（－b）＋（－b）2］＝（a＋b）（a2－ab＋b2）. （5）应用：已知x＋2y＝3，xy＝2，求出x4y＋8xy4的值. ∵x4y＋8xy4＝xy（x3＋8y3）＝xy［x3＋（2y）3］＝xy（x＋2y）（x2－2xy＋4y2）＝xy（x＋2y）［（x＋2y）2－6xy］，x＋2y＝3，xy＝2，∴x4y＋8xy4＝2×3×（32－6×2）＝－18. 学科网（北京）股份有限公司 $