突破练4 几何作图(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 聚焦期末高频几何作图考点，系统整合网格作图与尺规作图两大模块，通过典型例题构建从基础操作到综合应用的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |网格作图|5题（含格点、坐标变换等）|结合坐标系考查平移、旋转、中心对称及距离相等点确定|从格点作图到坐标几何，培养空间观念与几何直观| |尺规作图|5题（含垂直平分线、角平分线等）|涉及基本作图及与等腰、等边三角形性质的综合应用|从基本作图技能到推理证明，发展推理意识与应用能力|

突破练4　几何作图 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 类型1　网格作图 1.如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，M，N均为格点，请按下列要求画图（尺规作图或三角尺作图均可，不要求写作法）： （1）在格点上找一点B，使得AM为∠NMB的平分线； 解：（1）如图所示，点B即为所求.（作图方法不唯一） 或 （2）在线段AM上找一点P，使得PM＝PN. 解：（2）如图所示，点P即为所求.（作图方法不唯一） 2.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，3），B（0，0），C（4，0）. （1）∠ABC的度数为　45°　； （2）在图中画出△ABC向上平移2个单位长度后得到的△A1B1C1，此时点B1的坐标为　如图，△A1B1C1即为所求. （0，2）　； （3）连接AB1，则线段AB1可以看作是线段AC绕点A顺时针旋转　90　°得到的，四边形BB1AC的面积为　9　. 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－3，4），B（－5，2），C（－2，1），且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称. （1）画出△A1B1C1，此时点A1的坐标为　如图，△A1B1C1即为所求.（3，－4）　； （2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，△ABC经平移后，点P的对应点为P′（a＋5，b＋1），请画出平移后的△A2B2C2； 如图，△A2B2C2即为所求. （3）在平面直角坐标系内找一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为　（0，3）或（－6，5）或（－4，－1）　. 4.在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，顶点A的坐标是（4，4）.M是线段AB上的动点，连接OM，将△AOM向左平移5个单位长度得到△CDN；将△AOM绕点O按顺时针方向旋转90°得到△BOE.（其中点C与点A对应，点D与点O对应，点E与点M对应） （1）如图，当点M的坐标为（4，1）时，画出相应的△CDN和△BOE； 解：（1）如图，△CDN和△BOE即为所求. （2）直接写出点M运动过程中，对应点E到点C距离的最小值. 解：（2）观察图象可知，点E在直线y＝－4上运动， 根据垂线段最短可知，点E到点C的最短距离为8. 5.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，△ABC与△A1B1C1的顶点均在格点上.请按照要求完成下列各题.（注：保留作图痕迹，不写作法） （1）在图中画出点O的位置； 解：（1）如图，点O即为所求. （2）利用方格纸的特点并结合尺规作图，在方格纸上找一点P，使点P满足条件：①PA＝PA1；②点P到∠CAB两边的距离相等； 解：（2）如图，点P即为所求. （3）连接PA，PA1，求△PAA1的周长. 解：（3）如图，连接PA，PA1.在Rt△POA中，∠POA＝90°，OA＝3，OP＝1，∴PA＝＝，∴PA1＝PA＝. ∵AA1＝6，∴△PAA1的周长为2＋6. 类型2　尺规作图 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜60°，线段BD，AF是△ABC的高，能否在△ABC外部找到一个角等于∠BAC的一半？小智分别以点C，点D为圆心，BD，BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接CE，DE，则∠E＝∠BAC，请你证明这种做法的正确性. 证明：由作图可知BD＝CE，BC＝DE.∴四边形BCED为平行四边形.∴∠E＝∠CBD. ∵线段BD，AF是△ABC的高，AB＝AC，∴∠AFC＝∠BDC＝90°，∠CAF＝∠BAC.∵∠CBD＝∠CAF＝90°－∠ACB，∴∠CBD＝∠BAC.∴∠E＝∠BAC. 7.如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE＝CD. （1）求∠E的度数； 解：（1） ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°. ∵∠ACB为△DCE的外角，∴∠ACB＝∠E＋∠CDE. 又∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE＝∠ACB＝×60°＝30°. （2）用尺规作图的方法，过点D作DM⊥BE，垂足为M；（不写作法，保留作图痕迹） 解：（2）如图，DM即为所求. （3）求证：BM＝EM. 解：（3）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD＝30°.由（1）可得，∠E＝30°.∴∠DBC＝∠E.∴BD＝ED.又∵DM⊥BE，∴BM＝EM. 8.如图，在△ABC中，∠ACB＝54°，请根据要求完成以下任务： （1）利用直尺与圆规，作线段BC的垂直平分线交AB，BC于点D，E，连接CD； 解：（1）如图，直线DE，线段CD即为所求. （2）利用直尺与圆规，作∠ABC的平分线交CD于点F； 解：（2）如图，射线BF即为所求. （3）若BD＝AC，求∠DFB的度数. 解：（3）∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD.∴∠DBC＝∠DCB.∵AC＝BD，∴AC＝CD.∴∠A＝∠CDA.设∠DBC＝∠DCB＝x，则∠A＝∠CDA＝∠DBC＋∠DCB＝2x.∴∠A＋∠DBC＋∠ACB＝3x＋54°＝180°.∴x＝42°.∴∠DBC＝∠DCB＝42°.∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠DBC＝21°. ∴∠DFB＝∠FBC＋∠DCB＝21°＋42°＝63°. 9.如图，在△ABC中，D是AB边上的一点. （1）尺规作图：过点D作AB的垂线，交BC于点E，在AC边上取点F，使AF＝AD，连接DF；（保留作图痕迹，不写作法） 解：（1）如图，直线DE，线段DF即为所求. （2）根据（1）中作图，直接回答：当△ABC满足什么条件时，四边形DECF是平行四边形？ 解：（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形DECF是平行四边形. 解析：∵四边形DECF是平行四边形，∴DF∥BC，DE∥AC.∴∠ADF＝∠ABC，∠AFD＝∠ACB.∵AD＝AF， ∴∠ADF＝∠AFD.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.由（1）得DE⊥AB，∴∠BDE＝90°.∵DE∥AC，∴∠A＝∠BDE＝90°.∴△ABC是等腰直角三角形. 10.下面是某数学兴趣小组探索三角形的一条中位线和第三边上的中线关系的过程.在图中，运用尺规作△ABC三边的垂直平分线，分别与边AB，AC，BC交于点D，E，F（此三点均为垂足），连接DE，AF.请你一起完成探索过程. （1）使用直尺和圆规完成作图；（保留作图痕迹） 解：（1）如图，线段DE，AF即为所求. （2）通过观察图形，猜想DE和AF互相平分，请你写出证明过程； 解：（2）证明：连接DF，EF.∵D是AB的中点，F是BC的中点， ∴DF是△ABC的中位线.∴DF∥AC. ∵E是AC的中点，F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线.∴EF∥AB. ∴四边形ADFE是平行四边形.∴DE和AF互相平分. （3）通过证明，可以得到结论：　三角形的中位线和第三边上的中线互相平分　.（用文字表述） 学科网（北京）股份有限公司 $