突破练3 分式与分式方程的应用(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

突破练3　分式与分式方程的应用 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240 km的某景区美术实践基地写生.已知共有200名师生参加了最近一次活动. （1）一部分师生乘大巴车先行，出发36 min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门.已知中巴车的速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； 解：（1）设大巴车的速度为x km/h，则中巴车速度为1.25x km/h. 根据题意，得－＝.解得x＝80. 经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意. 答：大巴车的速度是80 km/h. （2）该景区对学生（或儿童）实行门票优惠：学生每人10元，成人每人30元.如果购买门票的费用共计2 200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 解：（2）设参加本次活动的学生人数是y人，则成人人数为（200－y）人. 根据题意，得10y＋30（200－y）＝2 200，解得y＝190. 答：参加本次活动的学生人数是190人. 2.在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A，B两种型号的收割机参加水稻收割比赛.已知乙每小时收割的亩数比甲少40％，两人各收割6亩水稻，乙比甲多用0.4小时完成任务.甲、乙在收割过程中对应收的稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3％，2％. （1）甲、乙两人分别操控A，B两种型号的收割机每小时能收割多少亩水稻？ 解：（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1－40％）x亩水稻. 根据题意，得－＝0.4.解得x＝10. 经检验，x＝10是原方程的根，且符合题意. ∴（1－40％）x＝（1－40％）×10＝6. 答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻. （2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4％，则最多安排甲收割多少小时？ 解：（2）设安排甲收割y小时. 根据题意，得3％×10y＋2％×（100－10y）≤2.4％×100.解得y≤4. 答：最多安排甲收割4小时. 3.为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等. （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ 解：（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为（x＋0.3）万元. 根据题意，得＝.解得x＝0.9. 经检验，x＝0.9是原方程的根，且符合题意. ∴x＋0.3＝1.2. 答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元. （2）该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的.问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 解：（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25－m）个. 根据题意，得解得≤m≤. ∵m为整数，∴m＝14，15，16. ∴该停车场有3种购买方案. 方案一：购买14个A型充电桩，11个B型充电桩. 方案二：购买15个A型充电桩，10个B型充电桩. 方案三：购买16个A型充电桩，9个B型充电桩. ∵A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价，∴方案三所需购买总费用最少，最少总费用为16×0.9＋9×1.2＝25.2（万元）. 4.某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，加工成如图2所示的竖式和横式两种无盖的长方体纸箱.（加工时接缝材料不计） 图1　　图2 （1）若该厂仓库里有100张正方形纸板和200张长方形纸板，问竖式和横式纸箱各加工多少个，恰好将库存的两种纸板全部用完？ 解：（1）设加工竖式纸箱x个，横式纸箱y个. 根据题意，得解得 答：加工竖式纸箱20个，横式纸箱40个. （2）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个？ 解：（2）设原计划每天加工纸箱a个. 根据题意，得－＝2. 解得a＝20. 经检验，a＝20是原方程的根，且符合题意. 答：原计划每天加工纸箱20个. 5.［济南中考］某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型.已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2 000元购买A型机器人模型和用 1 200 元购买B型机器人模型的数量相同. （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元； 解：（1）设A型机器人模型的单价是x元，则B型机器人模型的单价是（x－200）元. 根据题意，得＝.解得x＝500. 经检验，x＝500是原方程的根，且符合题意. ∴x－200＝300. 答：A型机器人模型的单价是500元，B型机器人模型的单价是300元. （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 解：（2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型（40－m）台，购买A型和B型机器人模型共花费w元.根据题意，得40－m≤3m.解得m≥10. w＝500×0.8m＋300×0.8（40－m）＝160m＋9 600. ∵160＞0，∴w随m的增大而增大. ∴当m＝10时，w取得最小值，最小值为160×10＋9 600＝11 200，此时40－m＝30. 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11 200元. 6.［南通中考］为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：m2） 每天施工费用（单位：元） 甲 x＋300 3 600 乙 x 2 200 信息二 甲工程队施工1 800 m2所需天数与乙工程队施工1 200 m2所需天数相等. （1）求x的值； 解：（1）根据题意，得＝.解得x＝600. 经检验，x＝600是原方程的根，且符合题意. ∴x的值为600. （2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15 000 m2.该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？ 解：（2）设甲工程队单独施工m天，则乙工程队单独施工（22－m）天. 根据题意，得（600＋300）m＋600（22－m）≥15 000.解得m≥6. 设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，则w＝3 600m＋2 200（22－m）＝1 400m＋48 400. ∵1 400＞0，∴w随m的增大而增大. ∴当m＝6时，w取得最小值，最小值为1 400×6＋48 400＝ 56 800. 答：该段时间内体育中心至少需要支付56 800元施工费用. 学科网（北京）股份有限公司 $