突破练1 计算题(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 聚焦期末高频重难考点，以“类型+典例”构建系统性训练，通过分步解析、错误诊断、方法迁移提升运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解不等式（组）|基础计算+过程性学习+含参数应用|去括号/分母→移项合并→系数化1，数轴表示解集；错因分析（不等号方向）|从单一不等式到组，结合参数讨论，体现“解法→应用→拓展”逻辑| |因式分解|提公因式/公式法+简便计算+分组分解|“一提二套三分组”，符号处理与公式逆用；几何性质应用|从基本公式到综合变形，衔接代数计算与几何判定| |分式化简求值|化简代入+条件求值+开放性试题|通分约分→因式分解→取值验证；整体代入技巧|分式运算与方程、不等式结合，强化应用意识| |解分式方程|基础求解+增根/无解问题|去分母化整式方程→检验；分类讨论无解情形|从解法到易错点分析，构建“求解→检验→拓展”完整链条|

突破练1　计算题 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 类型1　解不等式（组） 1.解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来： （1）7x－3≥3（x－5）； 解：（1）去括号，得7x－3≥3x－15. 移项、合并同类项，得4x≥－12. 两边都除以4，得x≥－3. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. （2）x－＜1－； 解：（2）去分母，得12x－4（2x－1）＜12－3（1－x）. 去括号，得12x－8x＋4＜12－3＋3x. 移项、合并同类项，得x＜5. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. （3）　　 解：（3） 解不等式①，得x＞－1. 解不等式②，得x≤2. 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示. 因此，原不等式组的解集是－1＜x≤2. （4） 解：（4） 解不等式①，得x＜－4. 解不等式②，得x≤－10. 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示. 因此，原不等式组的解集是x≤－10. 2.新过程性学习 下面是小明解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应地任务. 解：解不等式①5－x≥. 去分母，得10－x≥3x－6.………第一步 移项，得－x－3x≥－6－10.……第二步 合并同类项，得－4x≥－16.……第三步 系数化为1，得x≥4.……………第四步 任务一： （1）第二步所用到的不等式的依据是　不等式的基本性质1　； （2）第　四　步开始出现错误，请写出这一步错误的原因； 不等式两边都除以－4时，不等号的方向没有改变. 任务二： （3）不等式②的解集是　x＞1　； （4）直接写出这个不等式组的整数解：　2，3，4　. 3.已知关于x，y的方程组 （1）若x，y为非负数，求a的取值范围； 解：（1） ①＋②，得3x＝6a＋3.解得x＝2a＋1. 将x＝2a＋1代入①，得y＝a－2. ∵x，y为非负数，∴解得a≥2. （2）若x＞y，且2x＋y＜0，求a的取值范围. 解：（2）∵x＞y，∴2a＋1＞a－2.∴a＞－3. ∵2x＋y＜0，∴5a＜0.∴a＜0.∴－3＜a＜0. 类型2　因式分解 4.因式分解： （1）12x2－3y2； 解：（1）原式＝3（4x2－y2）＝3（2x＋y）（2x－y）. （2）4a2－16； 解：（2）原式＝4（a2－4）＝4（a＋2）（a－2）. （3）m（a－3）＋2m2（3－a）；　　 解：（3）原式＝m（a－3）－2m2（a－3）＝m（a－3）（1－2m）. （4）6a（b－a）2－2（a－b）3； 解：（4）原式＝6a（a－b）2－2（a－b）3＝2（a－b）2［3a－（a－b）］＝2（a－b）2（2a＋b）. （5）（x2＋9）2－36x2；　　 解：（5）原式＝（x2＋9＋6x）（x2＋9－6x）＝（x＋3）2（x－3）2. （6）4x3y－4x2y2＋xy3. 解：（6）原式＝xy（4x2－4xy＋y2）＝xy（2x－y）2. 5.利用因式分解进行简便计算： （1）－101×190＋1012＋952；　　 解：（1）原式＝1012－2×101×95＋952＝（101－95）2＝62＝36. （2）2022－542＋256×352； 解：（2）原式＝（202＋54）×（202－54）＋256×352＝256×148＋256×352＝256×（148＋352）＝256×500＝128 000. （3）242－23×48＋232；　　 解：（3）原式＝242－2×23×24＋232＝（24－23）2＝1. （4）25×1012－992×25. 解：（4）原式＝25×（1012－992）＝25×（101＋99）×（101－99）＝25×200×2＝10 000. 6.数学上常用的因式分解的方法有提公因式法、运用公式法，但也有一些多项式无法直接用上述方法因式分解.小明思考后发现，可以分组进行因式分解，例如： a2－b2＋a－b＝（a－b）（a＋b）＋（a－b）×1＝（a－b）（a＋b＋1）. 请解决以下问题： （1）将多项式m2－9n2因式分解：m2－9n2＝　（m－3n）（m＋3n）　； （2）将多项式m2－9n2＋m－3n因式分解； 原式＝（m－3n）（m＋3n）＋（m－3n）×1＝（m－3n）•（m＋3n＋1）. （3）若△ABC的三边a，b，c满足ac－bc＋a2－b2＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由. △ABC是等腰三角形. 理由如下：∵ac－bc＋a2－b2＝0，∴c（a－b）＋（a－b）（a＋b）＝0.∴（a－b）（a＋b＋c）＝0.∵a＋b＋c≠0，∴a－b＝0，即a＝b.∴△ABC是等腰三角形. 类型3　分式的化简求值 7.（1）先化简，再求值：÷（x－2＋），其中x＝－1； 解：（1）原式＝÷＝•＝. 当x＝－1时，原式＝＝＝. （2）先化简，再求值：（－）÷，然后从－3≤x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值； 解：（2）原式＝÷＝•＝•＝.∵－3≤x＜且x为整数，∴x的值为－3，－2，－1，0，1. ∵x≠±3，∴x可取的值为－2，－1，0，1. 当x＝－2时，原式＝＝3.（或当x＝－1时，原式＝＝或当x＝1时，原式＝＝或当x＝0时，原式＝＝1.） （3）先化简，再求值：（－）÷，其中x2－x－1＝0； 解：（3）原式＝÷＝•＝. ∵x2－x－1＝0，即x2＝x＋1.∴原式＝＝1. （4）先化简，再求值：÷＋，其中x的值从不等式组的整数解中选取. 解：（4）原式＝•＋＝＋＝＋＝. 解不等式组得－1＜x≤3. ∴不等式组的整数解为0，1，2和3. 要使分式有意义，则x≠－3，0和3.∴x可取1，2. 当x＝1时，原式＝＝－. （或当x＝2时，原式＝＝－.） 8.（1）先化简，再求值：1－÷，其中x＝－2，y＝1； 解：（1）原式＝1－÷＝1－•＝1－＝－＝－. 当x＝－2，y＝1时，原式＝－＝－4. （2）已知＝5，求＋＋的值； 解：（2）原式＝－－＝＝－＝ －. ∵＝5，∴x＝5y.∴原式＝－＝－. （3）已知x＋2y＝－2，求（x－）•的值. 解：（3）原式＝•＝•＝2（x＋2y）. ∵x＋2y＝－2，∴原式＝2×（－2）＝－4. 9.　开放性试题 有这样一道题：“先化简，再求值：（＋）•，然后从－1，0，1，2中选取一个作为x的值代入求值.” 下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 甲同学：原式＝•； 乙同学：原式＝•＋•. （1）甲同学解法的依据是　①　，乙同学解法的依据是　③　；（填序号） ①分式的基本性质　　　　②等式的基本性质 ③乘法分配律　　　　④乘法交换律 （2）请选择一种你喜欢的解法，先化简再代入求值，并写出完整的解答过程. 选择甲同学的解法. 原式＝•＝•＝2x. 由题意知，x≠0，x≠±1，∴x＝2. 当x＝2时，原式＝2×2＝4. （或选择乙同学的解法. 原式＝•＋•＝•＋•＝x－1＋x＋1＝2x. 由题意知，x≠0，x≠±1，∴x＝2. 当x＝2时，原式＝2×2＝4.） 类型4　解分式方程 10.新过程性学习 下面是小明同学解分式方程＝－2的过程： 解：方程两边同乘（x－2），得1＋x＝－1－2.…第一步 解得x＝－4.……………………………………　第二步 检验：当x＝－4时，x－2＝－4－2＝－6≠0.…第三步 所以x＝－4是原分式方程的解.………………第四步 （1）小明的解法从第　一　步开始出现错误，错误的原因是　等号右边数字－2漏乘了（x－2）　； （2）写出正确的解分式方程的过程. 方程两边都乘（x－2），得1＋x＝－1－2（x－2）. 解得x＝.检验：当x＝时，x－2≠0.∴x＝是原分式方程的根. 11.解分式方程： （1）＝－2；　　　　　 解：（1）方程两边都乘x－2，得1－x＝－1－2（x－2）. 解这个方程，得x＝2. 检验：把x＝2代入x－2，得2－2＝0.∴x＝2是原方程的增根.∴原方程无解. （2）－＝1. 解：（2）方程两边都乘（x＋1）（x－1），得（x－1）2－3＝（x＋1）•（x－1）. 解这个方程，得x＝－. 检验：把x＝－代入（x＋1）（x－1），得（－＋1）（－－1）＝－≠0.∴x＝－是原方程的根. 12.已知关于x的分式方程－＝1. （1）若方程的增根为x＝1，求a的值； 解：（1）去分母并整理，得（a＋2）x＝3. 由于方程的增根为x＝1.∴（a＋2）×1＝3. 解得a＝1. （2）若此方程无解，求a的值； 解：（2）分式方程无解，分两种情况： ①当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝－2. ②当a＋2≠0时，要使原分式方程无解，则x（x－1）＝0. 解得x＝0或x＝1. 把x＝0代入整式方程，得a的值不存在. 把x＝1代入整式方程，得a＝1. 综上所述，a的值为－2或1. （3）当此方程的解为正数时，求a的取值范围. 解：（3）解关于x的分式方程，得x＝. ∵方程有解，且解为正数，∴＞0且≠1. ∴a＞－2且a≠1. 练 学科网（北京）股份有限公司 $