4.3 公式法 第1课时 课件 2025—2026学年北师大版八年级数学下册

4.3 公式法 第 1 课时 平方差公式 教学目标 知识与技能 掌握利用平方差公式进行因式分解的方法，能准确识别符合平方差公式结构特征的多项式。 过程与方法 经历通过整式乘法的平方差公式逆向运用得到因式分解的平方差公式的过程，发展逆向思维能力。在探究过程中，渗透“整体思想”和“换元思想”，感受数学知识的完整性。 情感态度与价值观 在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流中学会清晰表达自己的思维和想法。 复习导入 问题1：计算下列各式： (1) (x＋5)(x－5)； (2) (3x＋y)(3x－y). 解： =x2-5x+5x-52 =x2－52 =x2－25 解： =(3x)2-3xy+3xy-y2 =(3x)2-y2 =9x2－y2 所以，x2－25=(x＋5)(x－5)，9x2－y2=(3x＋y)(3x－y) 新知探究 问题2：我们把这些式子推广到一般式 a2－b2，你能将它分解因式吗？ 把乘法公式等号两边互换位置，就得到： 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 a2－b2＝(a＋b)(a－b) 运用这个公式，可以把形如平方差的多项式分解因式. 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形， 探究点：用平方差公式进行因式分解 新知探究 例1 把下列各式因式分解： (1) 25－16x2； (2) 9a2－ b2. 探究点：用平方差公式进行因式分解 解:=52-(4x)2 =(5+4x)(5-4x) 新知探究 例2 分解因式： (1) 2x3－8x； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. ＝(4m＋2n)(2m＋4n) 解:＝(3m＋3n)2－(m－n)2 ＝4(2m＋n)(m＋2n)． ＝[(3m＋3n)＋(m－n)][(3m＋3n)-(m－n)] ＝2x(x2－ 4) ＝2x( x + 2 )( x - 2) 探究点：用平方差公式进行因式分解 ＝2(2m＋n)•2(m＋2n) 解:=2x•x2-2x•4 新知探究 1.分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查. 2.分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 探究点：用平方差公式进行因式分解 归纳总结 新知探究 【操作·思考】 如图，在一块边长为 a cm 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为 b cm 的正方形，求剩余部分的面积。当 a = 3.6，b = 0.8 时，剩余部分的面积是多少 ? a b 大正方形面积：a2 . 小正方形面积：4b2 . S剩余部分 = 3.62 -4×0.82 =10.4 cm2. 当 a = 3.6，b = 0.8 时： S剩余部分 = a2 -4b2. 探究点：用平方差公式进行因式分解 新知探究 1. 判断下列等式是否一定成立： 探究点：用平方差公式进行因式分解 【练一练】 (1)x2+y2=(x+y)(x+y) ( ) (2)x2-y2=(x+y)(x-y) ( ) (3)-x2+y2=(-x+y)(-x-y) ( ) (4)-x2-y2=-(x+y)(x-y) ( ) × √ × × 2.把下列因式分解： (1)a2b2-m2 解：=(ab)2-m2 =(ab+m)(ab-m) (2)(m-a)2-(n+b)2 解：=[(m-a)+(n+b)][(m-a)-(n+b)] =(m-a+n+b)(m-a-n-b) 【课堂反馈】 (3)x2-(a+b-c)2 【课堂反馈】 解：=[x+(a+b-c)][x-(a+b-c)] =(x+a+b-c)(x-a-b+c) (4)-16x4+81y4 解：=-(16x4-81y4) =-(24x4-34y4) =-[(2x)4-(3y)4] =-[(2x)2]2-[(3y)2]2 =-[((2x)2+(3y)2][((2x)2-(3y)2] =-(4x2+9y2)(2x+3y)(2x-3y) 【课堂反馈】 4.下列因式分解结果正确的是( ) A.-4m3+12m²=-m²(4m-12) B.x4-1= (x2+1) (x²-1) C.x²+2x+4=(x+2)2 D.(a²+b²) ²-4a²b²=( a+b)2(a-b)2 D 【课堂反馈】 5.下列多项式能用平方差公式因式分解的是( ) A.a²+2a B. x2-xy+ y2 C. a2-2a+ D.-b2+a2 D 【课堂反馈】 6.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是( ） A、y2-49 B、 C、-m4-n4 D、 C 【课堂反馈】 7.因式分解：x3-4x=( ) A、x(x2-4x) B、x(x+4)(x-4) C、x(x+2)(x-2) D、x(x2-4) C 【课堂反馈】 8.如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R=6.8cm,r=1.6cm,请利用因式分解求出剩余阴影部分的面积(结果保留π） 解：由题意得，剩余阴影部分的面积为： πR2-4πr2 =π(R2-4r2) =π(R+2r)(R-2r) 当R=6.8cm,r=1.6cm时 原式=π(6.8+2×1.6)(6.8-2×1.6) =π(6.8+3.2)(6.8-3.2) =π×10×3.6 =36π(cm2) 答：剩余阴影部分的面积为36πcm2。 课堂小结 平方差公式分解因式 公式 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. $