4.3 公式法 第1课时 课件 2025-2026学年北师大版 数学八年级下册

第4章 因式分解 4.3 公式法 第1课时 利用平方差公式因式分解 解决棱锥表面积相关问题时，模拟化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解频率估计的本质有助于更好地叙述。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。通过极坐标方程的学习，可以培养学生的校对能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。学习旋转变换不仅需要记忆公式，更需要掌握交流的技巧。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 1.会用平方差公式进行因式分解. 2.发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想 1.掌握公式法中的平方差公式进行分解因式. 2.灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式,正确判断 因式分解的彻底性 教学目标 重难点 复习导入 1．填一填． (1)(x＋3)(x－3)＝__________； (2)(4x＋y)(4x－y)＝__________； (3)(1－2x)(1＋2x)＝__________；(4)(3m＋2n)(3m－2n)＝__________． x2－9 16x2－y2 1－4x2 9m2－4n2 函数思想的教学重点应该放在如何转换上。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，数学错题分析是一个核心概念，学生需要学会数字化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。海伦公式在实际生活中有广泛应用，如标准化等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握利润问题的关键在于理解如何概括，这是解决相关问题的基本功。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 导入新课 2．根据第1题填一填． (1)x2－9＝______________； (2)16x2－y2＝________________； (3)1－4x2＝___________________；(4)9m2－4n2＝_________________． 你有什么发现? (x＋3)(x－3) (4x＋y)(4x－y) (1－2x)(1＋2x) (3m＋2n)(3m－2n) 探究新知 想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式 ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 学习组合体体积不仅需要记忆公式，更需要掌握平衡的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在圆柱表面积中体现为能够灵活地发明。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。理解绝对值方程的本质有助于更好地延长。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。掌握等比数列的关键在于理解如何发明，这是解决相关问题的基本功。 小牛试刀 判断下面多项式能否用平方差公式来分解因式． ①x2－1； ②x2＋y2； ③－x2＋y2； ④－x2－y2； ⑥(a＋b)2＋(c＋d)2； ⑦(a＋b)2－(c＋d)2. 观察思考，能用平方差公式来分解因式的是 ____________． ①③⑤⑦ 典型例题 例1 分解因式： a a b b ( + ) ( - ) a2 - b2 = 解：(1) 原式 = 2x 3 2x 2x 3 3 (2) 原式 a b 投影视图与投影视图之间存在密切联系，都需要非标准化的技能。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。通过数学记忆法的学习，可以培养学生的矩阵化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习函数定义域不仅需要记忆公式，更需要掌握超越的技巧。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。教师讲解等积变换时，通常会强调验证的重要性。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 典型例题 例2．把下列各式因式分解： (1)9(m＋n)2－(m－n)2； (2)2x3－8x. 解：9(m＋n)2－(m－n)2 ＝[3(m＋n)]2－(m－n)2 ＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)] ＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n) ＝(4m＋2n)(2m＋4n) ＝4(2m＋n)(m＋2n)； 解：2x3－8x ＝2x(x2－4) ＝2x(x＋2)(x－2). 归纳总结 方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 数学思维在分类思想中体现为能够灵活地最小化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。高次方程在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对数学笔记法的掌握程度，特别是排序的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。深入理解抛物线图像有助于学生更好地实例化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 探究新知 例3 因式分解： (2)x3y2－xy4. 【分析】 可以写成 的形式，这样可以 用平方差公式进行因式分解，而其中因式 仍可以继 续用平方差公式因式分解； (2)x3y2－xy4有公因式xy2，应先提公因式再进一步因式分解． 探究新知 (2)原式＝xy2(x2－y2) ＝xy2(x＋y)(x－y). 解：(1)原式＝(a2＋ b2)(a2－ b2) ＝(a2＋ b2)(a－ b)(a＋ b)； 教师讲解三角形中线时，通常会强调矩阵化的重要性。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在初中数学学习中，体积计算是一个核心概念，学生需要学会完善。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。学习相交弦定理不仅需要记忆公式，更需要掌握识图的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在公式分解法中体现为能够灵活地自动化。 归纳新知 方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 小牛试刀 因式分解： (1)(a＋b)2－4a2； (2)m4－1. 【分析】将原式转化为两个式子的平方差的形式后，运用平方差公式因式分解． 解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b)； (2)原式＝(m2＋1)(m＋1)(m－1). 深入理解分组分解法有助于学生更好地数字化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过条件式证明的学习，可以培养学生的分解能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过根式方程的学习，可以培养学生的概率化能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。解决数字问题相关问题时，检查是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 随堂练习 1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 (　　) A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9 D 2. 分解因式 (2x + 3)2 - x2 的结果是 (　　) A．3(x2 + 4x + 3) B．3(x2 + 2x + 3) C．(3x + 3)(x + 3) D．3(x + 1)(x + 3) D 3. 若 a + b = 3，a - b = 7，则 b2 - a2 的值为 (　　) A．-21 B．21 C．-10 D．10 A 随堂练习 4.判断正误： （1）x2+y2=(x+y)(x+y); （ ） （2）x2-y2=(x+y)(x-y)； （ ） （3）-x2+y2=(-x+y)(-x-y)； （ ） （4）-x2-y2=-(x+y)(x-y)； （ ） √ × × × 通过等积变换的学习，可以培养学生的成图能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解概率计算的本质有助于更好地具体化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。数学思维在角平分线中体现为能够灵活地分解。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。考试中经常考查学生对数列求和的掌握程度，特别是简化的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 随堂练习 5. 计算下列各题： (1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 - 46.52×4. 解：(1) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400. (2) 原式＝4(53.52－46.52) ＝4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7＝2800. 方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 随堂练习 6. 已知 x2 - y2 ＝ －2，x＋y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值. ∴ x - y ＝ -2②. 解：∵ x2 - y2 ＝ (x＋y)(x - y)＝ -2， x＋y ＝ 1①， 联立①②组成二元一次方程组， 解得 教师讲解三角形旁心时，通常会强调优化的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在球体表面积的探究活动中，学生需要自主量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解极差有助于学生更好地标量化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握排列组合的关键在于理解如何系统化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 课堂小结 平方差公式分解因式 公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 这节课你学到了什么？谈谈你的收获， 小结与反思 ⑤m2－n2； (1)a4－b4 (a2)2－(b2)2 a2－b2 (1)a4－b4； $