试卷7 河南省某实验中学七年级下学期期末考试试题卷(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 河南省某实验中学初中数学期末试卷，以7纳米芯片、电动汽车充电等科技情境，汉字轴对称等文化素材为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，注重推理能力与应用意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学记数法、轴对称、整式运算、三角形性质|结合芯片工艺考科学记数法，汉字图形考轴对称，体现数学眼光| |填空题|5/15|全等条件、补角计算、幂运算、分段函数|第15题轴对称最值问题，融合几何直观与空间观念| |解答题|8/75|杨辉三角应用、代数式无关性、角平分线构造全等|23题角平分线构造全等，从迁移到拓展，培养推理能力；20题结合杨辉三角历史，体现文化传承|

试卷7　河南省某实验中学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.中国在芯片制造领域取得了显著成就，目前已经实现了7纳米工艺的突破.纳米为长度单位，1纳米等于0.000 000 001米，则7纳米用科学记数法表示为（　D　） A.7×10－8米 B.1×10－9米 C.1×10－8米 D.7×10－9米 2.中国汉字形美如画以感目，意美如诗以感心.下列四个汉字中，用数学眼光来看，可近似看作是轴对称图形的是（　D　） A. B. C. D. 3.下列运算正确的是（　C　） A.a2•a3＝a6 B.（－2a2）3＝－6a6 C.a4÷a＝a3 D.2a＋3a＝5a2 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点B在直线b上.若a∥b，∠1＝59°，则∠2的度数是（　A　） A.31° B.41° C.49° D.59° 5.下列说法正确的是（　C　） A.了解河南省中学生的视力和用眼卫生情况，采用普查 B.检查“神舟二十号”载人飞船上某种零部件，采用抽样调查 C.掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件 D.买一张体育彩票，中一等奖是不可能事件 6.如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝15 m，PB＝11 m，那么A，B间的距离不可能是（　C　） A.5 m B.8.7 m C.27 m D.18 m 7.下列说法正确的是（　B　） A.相等的角是对顶角 B.等角的补角相等 C.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8.如图，在△ABC中，AC＝7，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD.若AB＝4，则△ABD的周长是（　B　） A.10 B.11 C.12 D.13 9.若在△ABC中，∠B＝2∠C，则称△ABC为“可爱三角形”，称∠A为“可爱角”.现有一个“可爱且等腰的三角形”，这个三角形的“可爱角”应该是（　C　） A.45°或36° D.72°或360° C.45°或72° D.36°，45°或72° 解析：分两种情况：①当∠B和∠A为底角时，设三角形的底角为2α，顶角为α，则2α＋2α＋α＝180°.解得α＝36°.所以2α＝72°，即∠A为72°；②当∠C和∠A是底角时，设三角形底角为α，顶角为2α，则α＋α＋2α＝180°.解得α＝45°，即∠A为45°.综上所述，这个三角形的“可爱角”应该是45°或72°.故选C. 10.某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80％时，为保护电池，充电速度会明显降低.如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率＝×100％）随充电时间x（分钟）变化的图象，下列说法错误的是（　D　） A.本次充电开始时汽车电池内仅剩10％的电量 B.本次充电40分钟，汽车电池含电率达到80％ C.本次充电持续时间是120分钟 D.若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 解析：由图象，可知本次充电开始时汽车电池内仅剩10％的电量，本次充电40 min，汽车电池含电率达到80％，本次充电持续时间是120 min，A、B、C正确；若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从0到100％的电量变化对应的耗电量是70千瓦时，所以10％到90％的电量变化对应的耗电量为70×＝56（千瓦时），D错误.故选D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，AB＝CD，AC，BD相交于点O，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件，这个条件可以是　AC＝BD（或∠ABC＝∠BCD）　. 12.一个角的补角比它的余角的3倍还多20°，则这个角是　55°　. 13.若a2m＝4，an＝2，则a6m－3n值为　8　. 14.某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按0.5元收费，以后每天按0.7元收费（不足一天按一天计算）.则租金y（元）和租赁天数（x≥2）之间的关系式为　y＝0.7x－0.4　. 15.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M是BC边上一点，AC＝6，AB＝8，BC＝10，若点M1和点M关于AB对称，点M2和点M关于AC对称，则点M1，M2之间的距离的最小值是　9.6　，点M1，M2之间的距离的最大值是　16　. 解析：如图，连接AM，AM1，AM2，MM1，MM2. 由轴对称的性质，得AM＝AM1，∠1＝∠2，AM＝AM2，∠3＝∠4.因为∠BAC＝90°，所以∠1＋∠4＝90°.所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.所以A，M1，M2三点共线.所以M1M2＝AM1＋AM2＝2AM.所以当AM的值最小时，M1M2的值最小.因为M是BC上一点，所以AM⊥BC时，AM的值最小，此时S△ABC＝AC•AB＝BC•AM，即6×8＝10AM.解得AM＝4.8.所以M1M2的最小值为2×4.8＝9.6.因为M是BC上一点，所以点M与点B重合时，AM的值最大.所以M1M2的最大值为2×8＝16.所以点M1，M2之间的距离最小值是9.6，最大值是16. 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16.（10分）（1）计算：－22×（－2 025）0＋（－）－2－｜－3｜； 解：原式＝－4×1＋4－3（3分） ＝－4＋4－3 ＝－3.（5分） （2）化简：［（2x＋y）2－5y（y－4x）－（x－2y）（2y＋x）］÷6x. 解：原式＝（4x2＋4xy＋y2－5y2＋20xy－x2＋4y2）÷6x（2分） ＝（3x2＋24xy）÷6x（4分） ＝x＋4y.（5分） 17.（8分）科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，如图1所示，图2是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图. 图1 图2 如图2，AB∥CD，OE平分∠AOC，CF平分∠OCD. 试说明：∠EOF＋∠OFC＝180°. 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）. 解：因为AB∥CD（　已知　）， 所以∠AOC＝∠　OCD　（　两直线平行，内错角相等　）. 因为OE平分∠AOC（已知）， 所以∠EOC＝　∠AOC　（角平分线的定义）. 同理，∠OCF＝　∠OCD　. 所以∠EOC＝∠OCF（等量代换）. 所以OE∥　CF　（　内错角相等，两直线平行　）. 所以∠EOF＋∠OFC＝180°（　两直线平行，同旁内角互补（每空1分，共8分）　）. 18.（9分）如图，P是∠ABC内一点. （1）按下列要求画出图形. ①过点P画BC的垂线，垂足为点D； ②过点P画PF∥BC交AB于点F； 解：①如图，直线PD即为所求.（作法不唯一）（3分） ②如图，直线PF即为所求.（作法不唯一）（6分） （2）点P到直线BC的距离是线段　PD（9分）　的长. 19.（9分）如图1和图2均是一个均匀的可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字.转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°.转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）.小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘. （1）如图1，转到数字5是　随机（2分）　事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） （2）求小明转出的数字小于7的概率； 解：图1被平均分成9等份，分别标有9个数字.即共有9种等可能的情况，（3分） 其中转出的数字小于7的情况有6种， 所以小明转出的数字小于7的概率是＝.（5分） （3）小颖认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？ 图1 图2 解：她的看法对.（6分） 理由如下：因为图2中绿色部分的扇形圆心角是120°，所以红色部分的扇形圆心角是360°－120°＝240°.所以转出的颜色是红色的概率是＝.（8分） 由（2）知小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同.所以小颖的看法是对的.（9分） 20.（9分）阅读材料：北师大版七年级下册教材第22页为大家介绍了杨辉三角. 杨辉三角 如果将（a＋b）n（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： （a＋b）0＝1，它只有一项，系数为1； （a＋b）1＝a＋b，它有两项，系数分别为1，1； （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，它有三项，系数分别为1，2，1； （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1. 将上述每个式子的各项系数排成该表. 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和.按照这个规律可以继续往下写. 该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《黄帝九章算经细草》中的“开方作法本源”图，因而人们把这个表叫作杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫作帕斯卡三角形.帕斯卡（B.Pascal，1623—1662）是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600多年. （1）应用规律：①直接写出（a＋b）4的展开式，（a＋b）4＝　a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4（1分）　； ②（a＋b）6的展开式中共有　7　项，所有项的系数和为　64（5分）　. 解析：因为（a＋b）6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6，所以（a＋b）6的展开式中共有7项，所有项的系数和为1＋6＋15＋20＋15＋6＋1＝64. （2）代数推理：已知m为整数，试说明：（m＋3）3－（m－3）3能被18整除. 解析：因为（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， 所以（m＋3）3－（m－3）3＝（m3＋9m2＋27m＋27）－（m3－9m2＋27m－27）＝m3＋9m2＋27m＋27－m3＋9m2－27m＋27＝18m2＋54＝18（m2＋3）.（8分） 所以（m＋3）3－（m－3）3能被18整除.（9分） 21.（10分）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax－y＋6＋3x－5y－1的值与x的取值无关，求a的值. 通常的解题思路：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项.因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0. 具体解题过程：原式＝（a＋3）x－6y＋5，因为代数式的值与x的取值无关，所以a＋3＝0.解得a＝－3. 【理解应用】（1）已知A＝（2x＋1）（x－2），B＝x（m－x），且A＋2B的值与x的取值无关，求m的值； 解：因为A＝（2x＋1）（x－2）＝2x2－4x＋x－2＝2x2－3x－2，2B＝2x（m－x）＝2mx－2x2，所以A＋2B＝2x2－3x－2＋2mx－2x2＝2mx－3x－2＝（2m－3）x－2.因为A＋2B的值与x的取值无关，所以2m－3＝0.解得m＝.（5分） 【能力提升】（2）7张如图1所示的小长方形，长为a，宽为b，按照图2所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两部分都是长方形.设右上角长方形的面积为S1，左下角长方形的面积为S2，当AB的长变化时，S1－S2的值始终保持不变，求a与b的数量关系. 图1 图2 解：设AB＝x，由图可知S1＝a（x－3b），S2＝2b（x－2a），所以S1－S2＝a（x－3b）－2b（x－2a）＝ax－3ab－2bx＋4ab＝（a－2b）x＋ab.因为当AB的长变化时，S1－S2的值始终保持不变，所以S1－S2的值与x的取值无关.所以a－2b＝0.所以a＝2b.（10分） 22.（10分）“鹿鸣博约”数学兴趣小组探究如下问题： 【问题引入】 从1，2，3，…，n（n为整数，且n＞5）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ 【模型探究】 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法.从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果. （1）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有　5（2分）　种不同的结果； （2）从1，2，3，…，10这10个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有　22（4分）　种不同的结果； （3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n＞5）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果；（结果用含n的式子表示） 解析：由题意，得从1，2，3，…，n（n为整数，且n＞5）这n个整数中任取5个整数，其中它们和的最小值为1＋2＋3＋4＋5＝15，最大值为n－4＋n－3＋n－2＋n－1＋n＝5n－10.（6分） 所以这5个整数之和共有的结果为5n－10－15＋1＝（5n－24）种.（8分） 【问题解决】 （4）从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有　276（10分）　种不同的金额. 解析：由（3）可得当n＝60时，5n－24＝5×60－24＝276，所以共有276种不同的金额. 23.（10分）张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯.下面是张老师在“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务. 活动1：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图1所示，则由△APD≌△APE，可得∠DAP＝∠EAP. 活动2：如图2，在△ABC中，AB＜AC，AP是△ABC的角平分线，在AC上截取AQ＝AB，连接PQ，则△ABP≌△AQP. 请完成下列任务： （1）在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是　④　，　①（2分）　（填序号）； ①SAS 　②AAS 　③ASA 　④SSS （2）【迁移探究】 如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD＋BC，∠DAB的平分线与∠ABC的平分线恰好交于CD边上的点P，试判断PD与PC的数量关系，并说明理由； 解：PD＝PC.（3分） 理由如下：如图①，在AB上截取AH＝AD，连接PH. 图① 所以AB＝AH＋BH＝AD＋BH. 因为AB＝AD＋BC， 所以BH＝BC.（4分） 因为∠DAB的平分线与∠ABC的平分线恰好交于CD边上的点P，所以∠HAP＝∠DAP，∠HBP＝∠CBP. 在△APH和△APD中， AH＝AD，∠HAP＝∠DAP，AP＝AP， 所以△APH ≌△APD（SAS）. 所以PH＝PD. 在△BPH和△BPC中， BH＝BC，∠HBP＝∠CBP，BP＝BP， 所以△BPH ≌△BPC（SAS）. 所以PH＝PC.所以PD＝PC.（6分） （3）【拓展探究】 如图4，在△ABC中，∠C＝60°，AE，BF是△ABC的两条角平分线，且交于点P.试猜想PE与PF的数量关系，并说明理由. 图1 图2 图3 图4 解：PE＝PF.（7分） 理由如下：如图②，在AB上截取AK＝AF，连接PK. 图② 因为在△ABC中，∠C＝60°， 所以∠CAB＋∠CBA＝180°－∠C＝120°. 因为AE，BF是△ABC的两条角平分线，且交于点P， 所以∠KAP＝∠FAP＝∠CAB，∠KBP＝∠EBP＝∠CBA.所以∠KAP＋∠KBP＝（∠CAB＋∠CBA）＝×120°＝60°.所以∠APB＝120°. 所以∠FPA＝60°. 所以∠EPB＝∠FPA＝60°.（8分） 在△APK和△APF中， AK＝AF，∠KAP＝∠FAP，AP＝AP， 所以△APK≌△APF（SAS）. 所以PK＝PF，∠KPA＝∠FPA＝60°. 所以∠KPB＝∠APB－∠KPA＝120°－60°＝60°. 所以∠KPB＝∠EPB＝60°. 在△BPK和△BPE中， ∠KPB＝∠EPB，BP＝BP，∠KBP＝∠EBP， 所以△BPK≌△BPE（ASA）. 所以PK＝PE，所以PE＝PF.（10分） 学科网（北京）股份有限公司 $